Anleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2 IR berechne man die Gradienten und erstelle ein Bild im Bereich [ 1, 1] [ 1, 1], auf dem verschiedene Höhenlinien der Funktion angegeben sind. Dies sind Linien, für die fx, y = c mit c IR gilt. a fx, y = 5x 2 3y 2, b fx, y = 5x + 3y, c fx, y = 5x 2 + 3y 2. Aufgabe 2: Gegeben sei die Funktion f : IR 2 IR mit fx, y = 5x 2 3y 2. a Man berechne von f alle partiellen Ableitungen bis zur 3. Ordnung. b Die Tangentialebene an den Graphen einer differenzierbaren Funktion f im Punkt x 0, y 0 D IR 2 lautet z = fx 0, y 0 + f x x 0, y 0 x x 0 + f y x 0, y 0 y y 0. Man bestimme die Tangentialebene für das gegebene f im Punkt x 0, y 0 = 3, 4. c Man gebe eine Parameterdarstellung der Höhenlinie von f an, die durch den Punkt 3, 4 läuft. d Man berechne den Winkel α zwischen gradf3, 4 und der Tangentialrichtung der Höhenlinie von f im Punkt 3, 4.

2 2 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Aufgabe 3: Gegeben sei die Funktion f : IR 2 IR mit xy 3, falls x, y 0, 0 fx, y = x 4 + y 4 0, falls x, y = 0, 0. a Man überprüfe, ob f im Nullpunkt stetig ist. b Man zeichne die Funktion im Bereich [ 1, 1] [ 1, 1]. c Man berechne die ersten partiellen Ableitungen von f und d überprüfe, ob diese im Nullpunkt stetig sind. Aufgabe 4: a Man zeige, dass die Wellengleichung u tt = c 2 u xx für eine Ortsvariable mit einer Konstanten c IR von der Funktion gelöst wird. b Man zeige, dass die Funktion ux, t = 2 sinx + ct + 3e x ct ux, y = e x sin y + x + 5y 6 mit den Konstanten a, b, c, d IR die Laplace-Gleichung u = 0 löst. Aufgabe 5: a Man berechne div f und rot f für das Vektorfeld fx, y, z = yz + cosx + y, xz + 1 y + z, xy + 1 T. y + z b Gegeben sei das Vektorfeld i Man berechne div g und rot g und gx, y = ux, y, vx, y T = 1, 3x 2 T. ii zeichne das Vektorfeld und einige Stromlinien im Bereich [ 1, 1] [ 1, 1]. Aufgabe 6: Man berechne für die Funktion f : IR 2 IR mit fx, y = x 2 + y im Punkt x 0, y 0 die Ableitung in Richtung h = h 1, h 2 T. Welchen Anstieg besitzt die Funktion im Punkt 2, 3 in den durch die Gerade 2x + 7y = 3 gegebenen Richtungen.

3 Dr. K. Rothe, Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften, WiSe 2011/12 3 Aufgabe 7: Gegeben sei die Funktion f : IR 2 IR mit x 2 y, falls x, y 0, 0 fx, y = 2x 2 + 3y 2 0, falls x, y = 0, 0. a Man zeichne die Funktion im Bereich [ 1, 1] [ 1, 1]. b Man berechne für f im Punkt x 0, y 0 = 0, 0 alle Richtungsableitungen. c Man überprüfe, ob f im Punkt x 0, y 0 = 0, 0 vollständig differenzierbar ist. Aufgabe 8: a Man berechne die Jacobi-Matrix unter Verwendung der Kettenregel und direkt: f : IR 2 f 1 IR 3 f 2 IR 2 r s u = sinrs v = e r + s w = 1 2s 3 uw vw. b Man berechne die Jacobi-Matrix von: h : IR 2 f IR 2 g IR x y ux, y vx, y gu, v. Aufgabe 9: Gegeben sei die Koordinatentransformation ux, y Φx, y = = vx, y mit u, v D := [0.5, 2] [2, 4]. xy x/y a Man berechne J Φx, y und detj Φx, y sowie b bzgl. D: Φ 1 u, v, JΦ 1 u, v und detjφ 1 u, v. c Man skizziere Φ 1 D im x, y-koordinatensystem. d Man transformiere w = w xx +w yy mit Hilfe der Kettenregel in eine Darstellung bzgl. u, v-koordinaten.

4 4 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Aufgabe 10: Man berechne das Taylor-Polynom 3.Grades der folgenden Funktion fx, y = x + y + 1 coshx + y im Entwicklungspunkt 0, 0 und schätze den Fehler, der dadurch entsteht, wenn man T 3 anstelle von f verwendet, im Rechteck [0, 1] [ 1, 0] nach oben ab. Aufgabe 11: Man berechne alle stationären Punkte der folgenden Funktionen und klassifiziere diese: a fx, y = xy 4x + 3y 12, b fx, y = 2x 2 + y 2 2 x 2 y 2, c fx, y = x 2 + y 2, d fx, y = x sin y. Aufgabe 12: Gegeben sei die Funktion fx, y = 9x 4 12x 2 y + 4y 2. a Man berechne alle stationären Punkte von f. b Man versuche, die hinreichende Bedingung zur Klassifikation der stationären Punkte anzuwenden. c Man weise nach, dass f im Ursprung längs jeder Geraden durch Null ein lokales Minimum besitzt. d Man klassifiziere alle stationären Punkte von f. e Man zeichne die Funktion beispielweise mit Hilfe der MATLAB-Routinen ezsurf und ezcontour. Aufgabe 13: Man untersuche die durch die Niveaumenge fx, y := y 4 2y 2 + x 4 2x 2 = 0 implizit gegebenen Kurven. Im Einzelnen sind gesucht a die Symmetrien der Kurven, b die Kurvenpunkte mit horizontaler und c vertikaler Tangente, d die singulären Punkte der Kurve mit Klassifikation und e eine Zeichnung der Niveaumenge.

5 Dr. K. Rothe, Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften, WiSe 2011/12 5 Aufgabe 14: Gegeben sei die Funktion h : IR 3 IR mit hx, y, z = 16z 2 + x 2 + 4y 2 + 2x 8y + 5. a Man überprüfe, ob die Niveaumenge gx, y, z = c, die durch den Punkt 3, 1, 0 festgelegt wird, in der Umgebung dieses Punktes eine glatte Fläche bildet. b Man gebe im Punkt 3, 1, 0 die Tangentialebene bezüglich der Fläche aus a in Parameterform an. c Man löse obige Gleichung gegebenenfalls nach einer der Variablen auf, um die Fläche explizit anzugeben. d Man zeichne die Fläche. Aufgabe 15: Man berechne die Extremwerte der Funktion f : IR 2 IR mit fx, y = x+y auf dem Kreis x 2 + y 2 = 1 a unter Verwendung der Lagrangeschen Multiplikatorenregel und b über Parametrisierung des Kreises durch c und anschließendes Lösen der Extremalaufgabe in ht := fct. Aufgabe 16: Für die Funktion fx, y, z = y + 2z berechne und klassifiziere man die Extrema auf dem Schnitt des parabolischen Zylinders z = x 2 1 mit der Ebene z = 2y unter Verwendung der Lagrangeschen Multiplikatorenregel. Aufgabe 17: Zur Berechnung eines Extremums der Funktion soll das Newton-Verfahren auf angewendet werden. fx, y = 0.1x 2 + cosx + y 2 Fx, y := grad fx, y T = 0 a Man berechne Fx, y und die Jacobi-Matrix J F x, y. b Man stelle das Newton-Verfahren auf und starte es mit x 0 = 2, 1 T. Als Abbruchkriterium verwende man x k+1 x k < c Man klassifiziere das gefundene Extremum. d Man erstelle einen Funktionsplot von f im Bereich [0, 4.5] [ 1, 1].

6 6 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Aufgabe 18: Mit Q := [0, 2] [0, 1] berechne man für die Funktion f : Q IR, fx, y = 2 x a Riemannsche Unter- und Obersumme zu folgender Zerlegung Z von Q Q i,j = [2i 1/n, 2i/n] [j 1/n, j/n], i, j = 1,...,n b und das Integral von f über Q nach dem Satz von Fubini. Aufgabe 19: Man berechne die folgenden Integrale: a b c d D B 2 x 2 3y + 1 dx dy, y x 2 dy dx, xy x + y 1 4xy y dx, y mit D = [ 1, 0] [1, 3], sin y + zx 2 dx, y, z mit B = [0, 1] [0, π/2] [0, 2]. Aufgabe 20: Man zeichne folgende Mengen und beschreibe sie durch Normalbereiche: a den durch die Funktionen fx = 2x und gx = 24 2x 2 eingeschlossenen Bereich P, b den durch die Höhenline x + y = 5 eingeschlossenen Bereich Q, c den durch x 0, y 0, z 0 und x 2 + y 2 + z 2 = 9 eingeschlossenen Bereich K. Aufgabe 21: Man skizziere den Bereich und berechne D = {x, y T IR 2 0 x 1 0 y x }. xy dx, y D a indem zuerst nach y und dann nach x integriert wird und b indem zuerst nach x und dann nach y integriert wird.

7 Dr. K. Rothe, Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften, WiSe 2011/12 7 Aufgabe 22: Man zeichne den durch 1 z 2, 0 y und x 2 +y 2 9 gegebenen halben Zylinder Z und berechne seinen Schwerpunkt mit der Dichtefunktion ρx, y, z = z unter Verwendung von Zylinderkoordinaten. Aufgabe 23: a Für das Vektorfeld f : IR 2 IR 2 mit fx, y = Kurvenintegral fxdx. c y + sin x xy 2 berechne man das Dabei ist c die mathematisch positiv durchlaufene Randkurve des durch x 2 y x mit 0 x 1 eingeschlossenen Gebietes G. z 2 /2 b Für das Vektorfeld f : IR 3 IR 3 mit fx, y, z = 0 xz berechne man das Kurvenintegral fxdx mit der Kurve c c : [ 2 cos π, π 2 2] t IR 3 und ct = 2 sin t cost. 2 sint Aufgabe 24: Gegeben sei das Vektorfeld f : IR 3 IR 3 mit fx, y, z = e y+z + cosx + y + 1 x cosx + y + e y+z + z2 z y y a Man zeige, dass f ein Potential besitzt, ohne es zu berechnen. b Man berechne ein Potential von f durch Hochintegrieren und c mit Hilfe des Hauptsatzes für Kurvenintegrale. d Man zeichne die Kurven c i, i = 1, 2 und berechne die Kurvenintegrale c i fxdx: i c 1 : [0, 2π] IR 3 mit c 1 t = 0, cost, sin t T, ii c 2 : [0, 1] IR 3 mit c 2 t = t, t 2, t 3 T.

8 8 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Aufgabe 25: Man verifiziere den Satz von Green für das Vektorfeld fx, y = x 2 + y, sinx T und das Gebiet G, das von der Funktion y = 1 x 1 2 und der x-achse eingeschlossen wird. Aufgabe 26: Gegeben sei die Mantelfläche M = { x, y, z T IR 3 x 2 + y 2 = 4, z x + 2 } eines durch zwei Ebenen begrenzten Zylinders. a Man zeichne die Ebenen und die begrenzte Mantelfläche M, b parametrisiere M und c berechne den Flächeninhalt von M mit Hilfe eines Oberflächenintegrals. Hinweis: In b eignen sich Zylinderkoordinaten. Aufgabe 27: Gegeben seien der Körper K = { x, y, z T IR 3 x 2 + y 2 + z 2 9, x 0 } und das Vektorfeld fx, y, z = y, x, z 3 T. a Man skizziere K. b Der Rand von K ist beschreibbar durch ein ebenes Flächenstücke S und ein nicht ebenes Flächenstück H. Man gebe jeweils Parametrisierungen für die beiden Randflächenstücke S und H an. c Man berechne jeweils den Fluss von f durch die beiden Randflächenstücke S und H. d Man berechne das Volumenintegral div fx, y, z dx, y, z. E

9 Dr. K. Rothe, Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften, WiSe 2011/12 9 Aufgabe 28: Gegeben seien das Geschwindigkeitsfeld vx, y, z = y, z, x T einer Strömung sowie die Fläche x K = y IR 3 0 z x z 2 + y 2 + z 2 = 1. a Man zeichne die Fläche K. b Man berechne auf K das Integral über alle Wirbelstärken rot vx do. c Man berechne die Zirkulation vx dx von v längs der Randkurve K von K K und bestätige damit den Integralsatz von Stokes im IR 3. K