Selbsteinschätzung Mathe 2 Dieser Fragebogen wächst Woche für Woche mit. 1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen

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1 Institut für Wissenschaftliches Rechnen Dr. Ute Feldmann, Maximilian Becker Selbsteinschätzung Mathe 2 Dieser Fragebogen wächst Woche für Woche mit. Die 3 Kreise mit Ampelfarben dienen der Selbsteinschätzung. Kreuzen Sie an: Ich kann die Frage vollständig beantworten und bin mir sicher, dass meine Antwort richtig ist. Ich kann die Frage nur teilweise beantworten und bin mir nicht so sicher. Ich kann die Frage nicht beantworten bzw. ich bin mir sehr unsicher, wie die richtige Antwort lautet. 1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen 1. Sind Ihnen die Begriffe Zerlegung, Unter- und Obersumme sowie Riemann-integrierbar klar? 2. Können Sie den Ansatz zur Berechnung der Untersumme für die Fläche unter der Funktion y = x 2 zwischen x = 3 und x = 4 hinschreiben? 3. Können Sie problemlos zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen umformen z.b. x 4 x = x 5 4 oder 3 x = e ln(3)x 4. Können Sie eine einfache Partialbruchzerlegung durchführen? 5. Wie gehen Sie mit einer doppelten Nullstelle bei der PBZ um? 6. Wie gehen Sie mit einem konjugiert komplexen Nullstellenpaar um? 7. Wie entscheiden Sie mit welcher Technik Sie eine Integration durchführen? 8. Können Sie ein Integration mittels Substitution durchführen? 1

2 9. Können Sie eine partielle Integration durchführen? 10. Wissen Sie wann und wie sie die Generalsubstitution tan x 2 anwenden können? 11. Wissen Sie worauf Sie bei 3 2 x 2 dx achten müssen? 12. Wie gehen Sie mit einem Integral wie 3 f(x)dx um? 13. Wie setzen Sie an, wenn die Bogenlänge einer Funktion f(x) für x 1 x x 2 gesucht ist? 14. Wie setzen Sie an, wenn die Bogenlänge einer Kurve in Parameterdarstellung gesucht ist? 15. Können Sie sich unter dem Rotationskörper der entsteht, wenn die Fläche zwischen x 2 +y 2 = 9 und 8y = x 2 um die y-achse rotiert, etwas vorstellen 16. Können Sie das Volumen des obigen Rotationskörpers berechnen? 17. Können Sie die Mantelfläche eines durch y = sin(x), x [0, π] beschriebenen Rotationskörpers bestimmen? 2 Funktionen mehrerer Veränderlichen 1. Verstehen Sie was eine Vektornorm ist und können mindestens zwei Vektornormen nennen? 2. Können Sie sich die durch x 2 +y 2 = z 2 beschriebene Fläche vorstellen oder diese skizzieren? 2

3 3. Was sind Niveaulinien in Skalarfeldern? 4. Wie bestimmen Sie einen Grenzwert wie z.b. lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 +y 4? 5. Können Sie überprüfen, ob eine Funktion wie z.b. f(x) = ist { x 3 y x 4 +y 4 für (x,y) (0,0) 0 für (x,y) = (0,0) stetig 6. Wissen Sie, wie man eine partielle Ableitung erster Ordnung bestimmt? 7. Können Sie partielle Ableitungen beliebiger Ordnung bestimmen? 8. Wissen Sie wann und wie Sie den Satz von Schwarz anwenden können? 9. Können Sie eine Funktion mehrerer Veränderlicher in einem gegebenen Punkt mittels einer Taylorentwicklung 2-ter Ordnung approximieren? 10. Wie bestimmen Sie die Tangentialebene an einer Funktion z = f(x, y) im Entwicklungspunkt P(x 0 ;y 0 )? z.b. z = arctan( y x ), P(1;1) 11. Können Sie die Jacobimatrix für (x,y) T = (ρcos(φ),ρsin(φ)) T bestimmen? J f = (x,y) (ρ, φ) 12. Wissen Sie, was die erweiterte Kettenregel ist und wie man diese anwendet? 3

4 13. Welche Möglichkeiten haben Sie prinzipiell, wenn Sie ein implizit gegebene Funktion F(x, y) = 0 nach y ableiten sollen? 14. Wie stehen y (x) und x (y) bei einer eindeutig umkehrbaren Funktion im Zusammenhang? 15. Wie bestimmen Sie die Tangente einer implizit gegebenen Funktion im Punkt P? z.b. x 2 +xy yx 2 +3 = 0,P(3,2) 16. Können Sie die notwendigen Bedingung für eine Extremstelle einer Funktion f(x,y) aufstellen und die Kandidaten bestimmen? 17. Wie überprüfen Sie für die so ermittelten Kandidaten, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt (kein Extremum) handelt? 18. Wie gehen Sie vor, wenn bei der Extremwert-Bestimmung einer Funkton f(x, y) eine einschränkende Bedingung gegeben ist? z.b. x 2 = 5y 19. Wie ermitteln Sie dann die Kandidaten? 20. Wie gehen Sie vor, wenn Sie ein Bereichsintegral f(x,y)db bestimmen sollen? B 21. Können Sie aus einer Bereichs/Körper Beschreibung (z.b. Körper begrenzt durch Ebenen x=1, y=1, x+y=1, z=0 und z=xy) ein Integral für die Fläche/das Volumen aufstellen? 22. Wissen Sie, wie Sie den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Volumens bestimmen? 4

5 23. Können Sie die Bogenlänge einer Kurve in kartesischen sowie Polar-Koordinaten berechnen? 24. Können Sie sich unter dem geometrischen Schwerpunkt einer Kurve etwas vorstellen und wissen wie Sie diesen berechnen? 25. Wie gehen Sie bei der Lösung eines Kurvenintegrals 2. Art vor? Beispiel: [(x+y +z)dx+( y +z)dz] längst eines in (0;0;0) gebrochenen Streckenzuges (1;1; 1) ( 1;0;0) 26. Was ist das besondere bei einem Kurvenintegral über ein Gradientenfeld und wie erkennen Sie ein Gradientenfeld? 27. Können Sie für ein Oberflächenintegral 1. Art das Oberflächenelement bestimmen. 28. Warum ist bei einem Oberflächenintegral 2. Art die Richtung des Flächenelements da wichtig? 29. Können Sie ein Oberflächenintegral 2. Art berechnen? 30. Wann können Sie den Integralsatz von Gauß anwenden und wann ist dies sinnvoll? 31. Wann können Sie den Integralsatz von Stokes anwenden und wann ist dies sinnvoll? 3 Vektoranalysis 1. Wissen Sie was grad/div/rot berechnen und auf welche Ausdrücke sie jeweils anwendbar sind? 2. Wie entscheiden Sie, ob ein skizziertes Vektorfeld wirbelfrei bzw. quellenfrei ist? 5

6 3. Können Sie die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes berechnen? 4. Können Sie bei gegebenen Niveaulinien eines Skalarfeldes ϕ (in etwa) den Gradienten des Feldes grad ϕ einzeichnen? 5. Können Sie den Gradienten eines Skalarfeldes berechnen? 4 Differenzialgleichungen 1. Was ist eine Differenzialgleichung und wie bestimmt sich die Ordnung einer DGL? 2. Ist jede DGL lösbar? Wie viele Lösungen besitzt eine lösbare DGL im Allgemeinen? 3. Welche DGLs können Sie mittels Trennung der Variablen lösen und wie gehen Sie dabei vor? 4. Was tun Sie, wenn Sie Anfangsbedingungen zu einer DGL gegeben haben? z.b. y(1) = 4 5. Wie funktioniert Variation der Konstanten? 6. Wie gehen Sie bei einer inhomogenen DGL 1. Ordnung vor? 7. Wie lösen Sie eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanter Koeffizienten? 8. Was ist die charakteristische Gleichung einer linearen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten? 6

7 9. Was machen Sie wenn die charakteristische Gleichung mehrfache Nullstellen oder komplexe Nullstellen hat? 10. Können Sie die spezielle Lösung einer linearen DGL n-ter Ordnung mit konstanter Koeffizienten mit einem speziellen Ansatz bestimmen? 11. Was müssen Sie bei dem speziellen Ansatz im Zusammenhang mit der charakteristischen Gleichung beachten? 7