Serie 1. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS Beschreiben und zeichnen Sie das Niveaulinienportrait folgender Funktionen.

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1 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 06 Serie. Beschreiben und zeichnen Sie das Niveaulinienportrait folgender Funktionen. a) f : R R, (x, y) f(x, y) := x 4 + y Die Gleichung x 4 + y = c definiert für c > 0 eine Ellipse mit Halbachsen c bzw. c und Zentrum in (0, 0); für c = 0 den Nullpunkt alleine; für c < 0 die leere Menge. y 4 4 b) g : R R, (x, y) g(x, y) := xy Die Gleichung xy = c definiert für c 0 eine Hyperbel mit der x und y Achse als Asymptoten und für c = 0 die Vereinigung dieser beiden Achsen selbst. c) h : R \ {(, 0)} R, (x, y) h(x, y) := (x ) +y (x+) +y Es gilt (x ) + y (x + ) + y = c (x ) + y = c(x + x + y + ) (c )(x + y + ) + (c + )x = 0.

2 Für c = ist dies äquivalent zu 4x = 0 und damit x = 0, die Lösungsmenge ist dann die y Achse. Für c setzen wir d := c+ c, alle Werte d sind dabei möglich. Die Gleichung ist dann äquivalent zu x + dx + y + = 0 (x + d) + y = d. Für d > definiert dies einen Kreis um den Mittelpunkt ( d, 0) mit dem Radius d < d. Für d = (d.h. c = 0) besteht die Lösungsmenge nur aus dem Punkt (, 0). Der Wert d = (d.h. c ) ist bereits ausgeschlossen und für d < ist die Lösungsmenge leer. y c= c= c=/ c=3 c=/3 c c= x - -. Bestimmen Sie die folgenden partiellen Ableitungen. a) f xyz und f yzz, wobei f(x, y, z) = cos(4x + 3y + z) f x (x, y, z) = sin(4x + 3y + z) 4, f xy (x, y, z) = cos(4x + 3y + z) 4 3, f xyz (x, y, z) = 4 sin(4x + 3y + z). f y (x, y, z) = sin(4x + 3y + z) 3, f yz (x, y, z) = cos(4x + 3y + z) 3, f yzz (x, y, z) = sin(4x + 3y + z). b) f rss und f rst, wobei f(r, s, t) = r ln(rs t 3 )

3 f r (r, s, t) = ln(rs t 3 ) + r rs t 3 s t 3 = ln(rs t 3 ) + f rs (r, s, t) = rs t 3 rst3 = s f rss (r, s, t) = s f rst (r, s, t) = 0 c) 3 z u v w für z = u v w u z(u, v, w) = v w u v z(u, v, w) = v w 3 z(u, v, w) = u v w w ( (v w) = (v w) 3 ( ) = 4(v w) 3 ) d) alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von w(x, y, z) = sinh(y + e x+z ) Wir müssen insgesamt sechs (verschiedene) Ableitungen berechnen, nämlich w xx, w yy, w zz, w xy (= w yx ), w xz (= w zx ), w yz (= w zy ). 3

4 Zwischenschritt: Ableitungen erster Ordnung w x (x, y, z) = cosh(y + e x+z )e x+z, w y (x, y, z) = cosh(y + e x+z ), w z (x, y, z) = cosh(y + e x+z )e x+z. Damit ergeben sich die gesuchten Ableitungen als w xx (x, y, z) = sinh(y + e x+z )(e x+z ) + cosh(y + e x+z )e x+z, w yy (x, y, z) = sinh(y + e x+z ), w zz (x, y, z) = sinh(y + e x+z )(e x+z ) + cosh(y + e x+z )e x+z, w xy (x, y, z) = sinh(y + e x+z )e x+z, w xz (x, y, z) = sinh(y + e x+z )(e x+z ) + cosh(y + e x+z )e x+z, w yz (x, y, z) = sinh(y + e x+z )e x+z. 3. Bestimmen Sie die Tangentialebene an die Fläche z = y x im Punkt P = (,, ). Wir suchen also die Tangentialebene an den Graphen der Funktion f(x, y) = y x im Punkt (x 0, y 0 ) = (, ). Mit Hilfe der partiellen Ableitungen von f erhalten wir zwei Vektoren, welche die Tangentialebene aufspannen. Wir berechnen zuerst x f(x, y) = ( ) = y x y x, y f(x, y) = = y x y x und erhalten somit die beiden Vektoren v = 0 = 0, v = f x (x 0, y 0 ) 0 = f y (x 0, y 0 ) 0. Die Tangentialebene ist daher gegeben durch t: (s, t) p + s v + t v, wopei p den Ortsvektor OP bezeichnet. Um auf die Koordinatengleichung zu kommen berechnen wir den Normalenvektor n = v v = Also gilt x y + z = x 0 y 0 + z 0, beziehungsweise x y + z =. 4. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x y + 4y.. 4

5 a) Veranschaulichen Sie f mit Hilfe der Schnitte S x=x0, x 0 {,, 0,, } und S y=y0, y 0 {,, 0,, }. S x= : f(, y) = 4 y + 4y = (y ) + 6 S x= : f(, y) = y + 4y = (y ) + 3 S x=0 : f(0, y) = y + 4y = (y ) + S x= : f(, y) = y + 4y = f(, y) S x= : f(, y) = 4 y + 4y = f(, y) f(x,y) 5 x=± x=± x= y S y= : f(x, ) = x 6 S y= : f(x, ) = x + S y= : f(x, ) = x 6 S y= : f(x, ) = x = f(x, 0) S y=0 : f(x, 0) = x b) Skizzieren Sie die Niveaulinien. Niveaulinien: z = c = x (y ) + Definiere c := c. Damit folgt c = x (y ) resp. für c 0 = x c 5 (y ). c/

6 f(x,y) 0 5 y= y=0, x 3 y= y=- -5 Die Niveaulinien sind für c 0 also Hyperbeln mit (0, ) als Mittelpunkt. Dabei gilt c > 0: c < 0: Öffnung links-rechts; Öffnung oben-unten. Für c = 0 erhält man gerade die Asymptoten. c) Skizzieren Sie die Fläche, welche von f(x, y) beschrieben wird. 6

7 d) Bestimmen Sie einen Punkt (x, y ), so dass die Tangentialebene an den Punkt (x, y, f(x, y )) parallel zur (x, y)-ebene liegt. Die Tangentialebene an einen Punkt P (x, y ) ist gegeben durch n(x, y ) r(x, y) = d wobei r(x, y) = (x, y, z(x, y)) den Ortsvektor auf die Fläche darstellt und 0 z x n(x, y) = r x r y = 0 z x z y = z y die Flächennormale ist. Damit die Ebene horizontal liegt, muss sie also von der Form z = d sein, d.h. es muss z x (x, y ) = z y (x, y ) = 0 gelten. Mit z x (x, y ) = x, z y (x, y ) = 4y + 4 folgt also x = 0 und y =. In der Skizze entspricht das dem tiefsten Punkt des Sattels. Hier liegt in x- und y-richtung je eine Extremalstelle vor, was man auch aus den Schnitten ablesen kann. e) Wo durchstösst die Verlängerung der Flächennormalen durch (,, f(, )) die (x, y)-ebene? Mit der Formel aus Teilaufgabe d) folgt für die Flächennormale n(x, y) = x 4y 4 Der Punkt P ist gegeben durch P = (,, z(, )) = (,, ) und somit also n(x, y) = 4. 7.

8 Die Gerade durch P in Richtung n ist gegeben durch (,, ) + t(, 4, ), die (x, y)-ebene ist gegeben durch (x, y, 0), damit muss gelten: x + t 4 = y 0. Daraus folgt, dass t = und somit x = 3, y =. 5. (Die Wellengleichung) Wenn Sie vom Meeresufer aus eine Momentaufnahme der Wellen machen, zeigt das Bild ein regelmässiges Muster aus Bergen und Tälern zu einem festen Zeitpunkt. Sie beobachten die periodische vertikale Bewegung im Raum als Funktion des Ortes. Wenn Sie sich ins Wasser stellen, können Sie fühlen, wie sich das Wasser mit den vorbeilaufenden wellen hebt und senkt. Sie beobacheten damit die periodische vertikale Bewegung in der Zeit. In der Physik wird diese wunderbare Symmertie durch die eindimensionale Wellengleichung w t = c w x () beschrieben. Dabei ist w = w(x, t) die Höhe der Welle, x die Ortsvariable, t die Zeit und c die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellen ausbreiten. Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen Lösungen der Wellengleichung () sind. a) w(x, t) = sin(x + ct) t sin(x + ct) = c sin(x + ct) = c sin(x + ct). x b) w(x, t) = sin(x + ct) + cos(x + ct) t (sin(x + ct) + cos(x + ct)) = c sin(x + ct) 4c cos(x + ct) c) w(x, t) = ln(x + ct) = c (sin(x + ct) + cos(x + ct)). x t ln(x + ct) = c t x + ct = 4c (x + ct) = c x x + ct = c ln(x + ct). x 8

9 d) w(x, t) = tan(x ct) t tan(x ct)) = c t cos (x ct) c = ( ) cos 3 ( sin(x ct) ( c)) (x ct) = c ( ) cos 3 ( sin(x ct) ) (x ct) = c x cos (x ct) = c tan(x ct)). x e) w(x, t) = f(u). Dabei ist f eine differnzierbare Funktion von u und u = a(x + ct) mit der Konstanten a. t f(a(x + ct)) = t f (a(x + ct)) (ac) = f (a(x + ct)) (a c ) = c x f (a(x + ct)) a = c f(a(x + ct)), x wobei f, f die Ableitungen von f nach u beschreiben. 6. (Cobb-Douglas-Funktion) Mit der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion lässt sich die Produktion eines wirtschaftlichen Systems in Abhängigkeit der Arbeit L und des Kapitals K berechnen. Wir betrachten den Fall Q(L, K) = cl a K b () mit a = 3, b = 3 and c =. a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen Q L und Q K. Q L = cal a K b = 3 L 3 K 3, Q K = cl a bk b = 3 L 3 K 3. 9

10 b) Zeichnen Sie die Niveaulinien der Produktionsfunktion im ersten Quadrant der LK-Ebene für Q =,, 3. Für festes Q erhalten wir durch Umformung die Gleichung für die Niveaulinien. Q = L 3 K 3 K = Q 3 L. Für die Werte Q =,, 3 sehen diese folgendermassen aus. K Q Q Q 3 0