Aufgabensammlung zum UK Mathematische Optimierung

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1 Aufgabensammlung zum UK Mathematische Optimierung Mehrdimensionale Analysis Stetigkeit. Man bestimme den natürlichen Definitionsbereich D f der folgenden Funktionen f: a) f(x, y) = ln(x y ) b) f(x, y) = x + y xy c) f(x, y) = y x d) f(x, y) = sin(x + y) x + y e) f(x, y) = x3 + y 3 x + y. Man zeige, dass die Funktion f(x, y) = y für x 0, y 0 jeden beliebigen x y Grenzwert annehmen kann. Man konstruiere Folgen {f(x n, y n )} mit (x n, y n ) (0, 0) so, dass lim n f(x n, y n ) die Werte 3,,, 0, - annimmt. Hinweis: man wähle y n = kx n..3 Man zeige, dass bei beliebiger Annäherung an den Punkt (0, 0) gilt: sin(xy) lim x 0,y 0 xy =.4 Sind folgende Funktionen im Nullpunkt stetig? a) f(x, x ) = x + x b) f(x, x ) =.5 Man untersuche die Stetigkeit folgender Funktionen: a) x y b) xy.6 Sei f : R n R n ; f(x) = x x. c) e x+y d) x y (x > 0) Ist f stetig? Wenn nein, an welchen Stellen ist f unstetig? { x /x für x 0 0 für x = 0 e) x + y sgn x

2 .7 Man untersuche die folgende Funktion: f(x, x ) = x x. Diese Funktion ist x + x im Nullpunkt nicht definiert. Kann man dort einen Funktionswert so ergänzen, dass die so modifizierte Funktion im Nullpunkt stetig ist? Differenzieren.8 Man untersuche die Differenzierbarkeit der folgenden Funktionen: a) f(x, y) = xy b) f(x, y) = xe y c) f(x, y) = xy x + y.9 Man finde die Richtungsableitung von f: a) f(x, y, z) = x x y im Punkt (, 0, ) t in Richtung (4, 3, 0) t b) f(x, y, z) = xz + y + z 3 im Punkt (, 0, ) t in Richtung (,, 0).0 Man berechne die partiellen Ableitungen: a) f(x, y) = x + y b) f(x, y) = x y x + y c) f(x, y) = cos(xy) d) f(x, y) = x 3 + 3x y xy 3y 3 e) f(x, y) = x 3 + 3x y 3xy + y 3 f) f(x, y) = sin x cos y sin y cos x. Man berechne die partiellen Ableitungen und bilde den Gradientenvektor: a) f(x, y, z) = xz + yz + xy c) f(x, y, z) = (x + y)(x + z)(y + z) b) f(x, y, z) = e xyz. Man bilde das vollständige Differential nachstehender Funktionen: a) f(x, y) = x y b) f(x, y) = xy x y c) f(x, y) = e x/y d) f(x, y) = x + y.3 Man bestimme das Differential folgender auf dem R n definierten Funktionen; x = (x,..., x n ) t : a) f(x) = x t Ax (A sei eine symmetrische Matrix) b) f(x) = x + x + x x n n c) f(x) = x t Ax + x t Bx d) f(x) = (x t B) t (B sei eine (n m)-matrix) e) f(x) = (y Ax) t (y Ax) (A sei eine (m n)-matrix; y R m )

3 .4 Man bilde die ersten partiellen Ableitungen von f : R R : ( ) x + x a) f(x) = e c) f(x) = x e x x x sin x x + sin(x x ) x b) f(x) = + x x x + x d) f(x) = + e x e x x x + x.5 Es seien die Funktion f(x) = und g(x) = x x x +x gegeben, wobei x = (x, x ) t R. Man differenziere: a) g f (Kettenregel) b) h, wobei h = g f.6 Man bilde dz dx für: a) z(x, y) = xe y y = f(x) b) z(u, v) = v u u = e x ; v = e x c) z(u, v) = u v u = f(x); v = g(x).7 Man stelle jeweils die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P an folgende Funktion auf: a) f(x, y) = x y 3 in P = b) f(x,..., x n ) = n x i i= in P = (,..., ) t.8 Man bestimme den Gradientenvektor und die Hesse-Matrix; x = (x, x ) t R : a) f(x) = x + x b) f(x) = x + x x + x c) f(x) = x + x + λ(x + x 4) λ R d) f(x) = sin x cos x + x x e) f(x) = x cos x 3x sin x f) f(x) = e x +x g) f(x) = ln(x x ) 3

4 .9 Wie.8; x = (x, x, x 3 ) t R 3 a) f(x) = x x + x 3 b) f(x) = x x + 3x x 3.0 Man ermittle für die nachstehenden Funktionen jeweils den Gradienten und die Hesse-Matrix: a) f(x) = n x i x i+ i= ( n ) m b) f(x) = x i i= c) f(x) = e. Man überprüfe die Gültigkeit der Beziehung f(x, y) x y a) f(x, y) = sin(ax by), a, b R n i= x i = f(x, y) y x anhand von b) f(x, y) = x y c) f(x, y) = ln(x y). Man berechne die Jakobi-Matrix: x + y a) F (x, y) = x y b) F (x, y) = sin x cos y e xy c) F (x, y) = log x xz d) F (x, y, z) = xy yz.3 Entwickeln Sie folgende Funktion in eine Taylor-Reihe um (x 0, y 0 ) t : a) f(x, y) = x 3 + y 3 xy b) f(x, y) = 4x + y 3 x y x0 0.4 Wie.3 mit = 0 y 0 c) f(x, y) = 3x + y + xy a) f(x, y) = sin(xy) b) f(x, y) = e x+y.5 Wie.3; mit f(x, y) = ln( + x + y) und ( x0 y 0 ) =. 4

5 Inverse Funktionen.6 Welche der folgenden Funktionen sind am angegebenen Punkt P lokal invertierbar? x a) F (x, y)= y x, P = b) F (x, y)= 3 y+ xy x +x, P =.7 Ist die Funktion F : R n R n in einer Umgebung des Punktes x bijektiv? Berechnen Sie für eine solche Umgebung die Umkehrfunktion F und verifiziere D(F ) F (x ) = (D(F ) x )! a) F (x, y) = (x, y) t, x = (, ) t b) F (x) = e 3x, x = 0 c) F (x, y, z) = (x y, x, y + z) t, x = (, 0, 0) t d) F (x, y) = (x + y, xy) t, x = (, ) t e) F (x, y, z) = (x + y, x, xyz + ) t, x = (,, 3) t.8 Welche der folgenden Funktionen sind in einer Umgebung des Punktes x bijektiv? Berechnen Sie für diese D(F ) F (x )! a) F (x, y) = (x 4x y, xy) t, x = (, ) t b) F (x, y) = (x 4x y, xy) t, x = (, ) t c) F (x, y, z) = (x 3 y +, y, z) t, x = (0,, ) t d) F (x, y, z) = (x 3 y +, y, z) t, x = (,, ) t.9 Finden Sie alle Punkte, in denen die Funktion F lokal invertierbar ist und F differenzierbar ist! x a) F (x, y) = y x b) F (x, y) = 4 + y 4 xy x y Implizite Funktionen.30 Man löse folgende implizite Funktionen (gegebenenfalls in einer Umgebung des angegebenen Punktes (x 0, y 0 ) t, der die Gleichung löst) als Funktionen y = f(x) auf (Mehrdeutigkeit!): a) x y x0 =0, = y 0 + xy c) 3 x y = 3 d) x + b) y 4 =y x x0, = 4 3 y = 3 e 3 e) e y y = cos x 0 f) ln y = x 5

6 .3 Man löse folgende implizite Funktionen (gegebenenfalls in einer Umgebung des angegebenen Punktes P = (x 0, y 0, z 0 ) t ) als Funktionen z = f(x, y) auf (Mehrdeutigkeit!): a) x +y +z =9, P =(,, ) t b) e x+y+z 4 = 0 c) z + xy =3, P = (,, x 4)t z 3 d) x + yz 8z = 3.3 Man löse (gegebenenfalls in( einer ) Umgebung ( des) angegebenen Punktes P = y (x 0, y 0, z 0 ) t f (x) ) als Funktionen = f(x) = auf (Mehrdeutigkeit!): z f (x) a) {3x + y + z =, 4x + y z = } b) {e x+y+z 4 = 0, x + z = 3}, P = (, ln 4, ) t c) {x 4 + z =, 4x + y z = 0}.33 Berechnen Sie die Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix der impliziten Funktionen aus den vorigen 3 Beispielen..34 Man berechne y durch implizite Differentiation: a) x + y r = 0, r R b) xy = 0 c) y( x 3 ) = a d) b x a y = a b, a, b R e) e xy = f) ax α y β =, a, α, β R.35 Man berechne die. Ableitung folgender impliziter Funktionen: a) x 3 y y 3 x = b) x y x 4 y 4 = c) xe y + ye x = e xy d) xy ln y = e) yx e y = 0 f) sin(xy) e xy x y = 0.36 Bestimmen Sie y durch implizite Differentiation: a) F (x, y) = ye 3x x = 0 b) F (x, y) = x 4 + sin(x + y) = 0 c) F (x, y) = (x y) xy = 0 d) F (x, y) = y 5 xy = 0 6

7 .37 Bestimmen Sie y und geben Sie jene Bereiche an, für die F explizit nach y auflösbar ist: a) F (x, y) = y e 3x + x = 0 b) F (x, y) = 3x 4y 5 = 0.38 Bestimmen Sie Dz = ( z, z ) im Punkt P = (, 3, x y )t für die durch die Gleichung F (x, y, z) = x + yz + z 3 = 0 implizit gegebene Funktion z. x0.39 Drücken Sie y aus F (x, y) = 0 lokal in P = als Funktion von x aus (d.h. y = f(x), f(x 0 ) = y 0, F (x, f(x)) = 0 für x bei x 0 ). - Bestimmen Sie f (x 0 ). - Invertieren Sie, falls möglich, die Funktion f und bestimmen Sie (f ) (y 0 ). a) F (x, y) = x + xy + y 3 3, P = 0 b) F (x, y) = x + xy + y 3, P = c) F (x, y) = x xy + y 3, P = d) F (x, y) = xe y y +, P = 0 Optimierung. Bestimmen Sie die Definitheit der folgenden quadratischen Formen x t Ax: 4 a) A = c) A = b) A = 3 d) A = An welchen Stellen ist die Hesse-Matrix der Funktion f(x, y) = x 3 + y x positiv semidefinit? y 0 7

8 .3 Welche der folgenden Funktionen f : R R sind konvex bzw. konkav? a) f(x, y) = (x ) + y b) f(x, y) = y x c) f(x, y) = x 4 + y 5x d) f(x, y) = x 3 xy + y 3.4 Bestimmen Sie die (lokalen) Extrema von f(x, y) = x + y + xy..5 Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f(x) = x t Ax + b t x und geben Sie an, ob Minima oder Maxima vorliegen: a) A = 3 b = 0 b) A = b = 5 c) A = ( ) b = 0.6 Man untersuche folgende Funktionen auf Extremalstellen und Sattelstellen: a) f(x, y) = x + y D f = R b) f(x, y) = x y D f = R c) f(x, y) = xy D f = R d) f(x, y) = (x y) 3 D f = R e) f(x, y) = x (y ) D f = R f) f(x, y) = y x y x + 6y D f = R + R.7 Man bestimme a) unter allen Zylindern mit gleicher Oberfläche jenen mit größtem Volumen. b) unter allen Dreiecken mit gegebenem Umfang jenes mit größter Fläche..8 Man finde die Extremwerte der folgenden Funktionen unter den angegebenen Bedingungen: a) x + y = min! NB: x + y = b) x + xy + y + yz + z = max! NB: x + y + z = c) cos x + cos y = max! NB: x y = π 4 d) 4x + 3y = max! NB: x + y = e) x + y = min! NB: xy = f) xy = min! NB: x + y = 8

9 .9 Bestimmen Sie die Extremwerte unter den angegebenen Nebenbedingungen: ) nach der Substitutionsmethode ) mittels Lagrange-Funktion 3) graphisch a) f(x, y) = xy D f = R NB: x + y = b) f(x, y) = x + y D f = R NB: x + y = c) f(x, y) = e xy D f = R NB: x + y = 4 d) f(x, y) = x + y D f = R + NB: x + y = e) f(x, y) = x xy+y D f = R NB: x+y+ = 0 f) f(x, y) = ln(xy) D f = R + NB: x + y =.0 Finden Sie die Extremwerte der folgenden Funktionen unter den angegebenen Bedingungen! a) f(x, y, z) = x + y + z NB: x + z = 0, x z = 0 b) f(x, y, z, w) = x + y + z + w NB: x = 0, y z = 0 c) f(x, y, z) = x + y + z NB: x + z =, y + z =. Finden Sie n n x i = max! unter der NB: x i =. i=. Ermitteln Sie mit Hilfe der Karush/Kuhn/Tucker-Bedingungen alle Extremstellen der folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen und stellen Sie diese graphisch dar: (D f = R ) a) f(x, y) = (x ) + (y ) NB: x + y b) f(x, y) = x + xy + y 6x 4y NB: x + y c) f(x, y) = x + y + NB: x + y 4 d) f(x, y) = x + 3xy + y NB: x + y e) f(x, y) = 3x + xy + y NB: x + y, x 0, y 0.3 Zeigen Sie, dass das folgende Optimierungsproblem ein konvexes Programm ist. Bestimmen Sie mit den KKT-Bedingungen einen globalen Minimizer: f(x, y, z) = x 0 + y + z min! y x z y Welche der Nebenbedingungen sind in diesem Minimizer aktiv, welche inaktiv? i= 9

10 .4 Zeigen Sie, dass das folgende Optimierungsproblem ein konvexes Programm ist. Bestimmen Sie mit den KKT-Bedingungen einen globalen Minimizer: f(x, y, z) = x y + z min! y + x z y Welche der Nebenbedingungen sind in diesem Minimizer aktiv, welche sind inaktiv?.5 Stellen Sie die KKT-Bedingungen für das folgende Optimierungsproblem auf: Z = x 3 4x + y max! x + y x y Berechnen Sie die Punkte, die als Maximizer in Frage kommen! Handelt es sich um ein konkaves Optimierungsproblem?.6 Stellen Sie die KKT-Bedingungen für das folgende Optimierungsproblem auf: Z = x 3 3x + y min! x 3 x + y 5 Berechnen Sie die Punkte, die als Minimizer in Frage kommen! Zeigen Sie außerdem, dass die Zielfunktion auf dem zulässigen Bereich konvex ist, und bestimmen Sie den globalen Minimizer!.7 Ermittlen Sie mit Hilfe der KKT-Bedingungen alle kritischen Punkte der folgenden Funktionen unter den gegebenen Nebenbedingungen. Zeichnen Sie außerdem den zulässigen Bereich und einige Niveaulinien von f, insbesondere auch solche, die durch die kritischen Punkte gehen. a) f(x, y) = 4x + 3y NB: x + y 5, x + y 5 b) f(x, y) = x + y NB: 4 + x 4y, y 3 Anwendungen aus der VWL/Statistik 3. Eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f : R n R sei gegeben als f(x) = x α... x αn n mit n i= α i = (x i > 0, α i > 0, i =,..., n). Man sagt eine Produktionsfunktion hat konstante Skalenerträge (oder ist homogen vom Grad ), wenn die Bedingung γf(x) = f(γx) für beliebiges γ 0 erfüllt ist. Zeigen Sie, 0

11 dass die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweist! 3. Ein Konsument lebt in einer Welt, die nur zwei Güter kennt, nämlich Brot und Kuchen. Sein Nutzen durch den Konsum (von Brot und Kuchen) kann durch u(x, y) = x + y beschrieben werden, wobei x die Menge an Brot und y die Menge an Kuchen angibt. Weiters sei die Nebenbedingung (Budgetbeschränkung) x + 4y = 00 gegeben. a) Bestimmen Sie das Güterbündel (x, y ), für das der Nutzen des Konsumenten am größten ist! b) Nehmen Sie an, die Budgetbeschränkung wird auf px+qy = m abgeändert, die Nutzenfunktion bleibt gleich: Bestimmen Sie die nachgefragten Mengen der zwei Güter, wenn m > q 4p. 3.3 Lösen Sie Beispiel 3. exakt, indem sie die Nutzenfunktion gleich lassen, aber die Nebenbedingungen auf x + 4y 00 sowie x 0 und y 0 abändern! 3.4 Die Nachfrage nach einem Gut lässt sich durch die Funktion D = f(t, p) beschreiben, wobei p der Preis ist und t eine Verkaufssteuer. Die Angebotsfunktion des Gutes ist durch S = g(p) gegeben. Im Marktgleichgewicht sind zwei Punkte erfüllt.. D = S (Angebot ist gleich groß wie die Nachfrage) und. p = p(t) (der Gleichgewichtspreis ist eine Funktion der Verkaufssteuer). Bestimmen Sie mit Hilfe des impliziten Differenzierens die Ableitung dp im Marktgleichgewicht! dt 3.5 Ein Unternehmen produziert Q = f(l) Einheiten eines Gutes unter Einsatz von L Arbeitseinheiten. Wir nehmen an, dass f (L) > 0 (streng monoton wachsend) und f (L) < 0 (strikt konkav) gilt. a) Geben Sie die Gewinnfunktion π(l) an, wenn das Unternehmen p Euro pro Einheit des Gutes erhält und w Euro für eine Arbeitseinheit zahlt. Bestimmen Sie dann die Bedingung erster Ordnung für die Maximierung des Gewinns an der Stelle L > 0. Hinweis: Der Gewinn des Unternehmens ist Einnahmen minus Ausgaben! b) Untersuchen Sie durch implizites Differenzieren der Bedingung erster Ordnung wie Änderungen in p und w die optimale Wahl von L beeinflussen, dh. bestimmen Sie L L und! Hinweis: Setzen Sie die Aufgabe als p w F (p, w, L ) = Bed..Ord. = 0 an! 3.6 Ein Unternehmen verwendet Kapital k, Arbeit l und Land t um q Einheiten eines Gutes herzustellen, wobei q = k 3 +l +t 3. Nehmen Sie an, dass das Unternehmen p Euro für jede produzierte Einheit erzielt und dass die Kosten pro Einheit Kapital, Arbeit und Land r,w bzw. s sind. aus Sydsaeter, K. und Hammond, P.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (3. Aufl.)

12 a) Bestimmen Sie diejenigen Werte von k, l und t (als Funktionen der vier Preise), die den Gewinn π = pq rk wl st des Unternehmens maximieren (Alle Variablen und alle Konstanten sind positiv und sie können annehmen, dass ein Maximum existiert). b) Es bezeichne q die optimale Anzahl produzierter Einheiten und k den optimalen Kapitalstock. Zeigen Sie, dass q = k. r p 3.7 Gegeben sind die bivariaten Beobachtungen (x, y ),..., (x n, y n ) R. Finden Sie die lineare Funktion f(x) = a 0 +b 0 x (finden Sie also die reellen Koeffizienten a 0 und b 0 ), die das Kleinste-Quadrate Kriterium n i= (y i f(x i )) minimiert. Was passiert wenn alle x i gleich sind? 3.8 Man bestimme die Maximum Likelihood-Schätzer für die Parameter µ und λ der Exponentialverteilung f(x; µ, λ) = λ e (x µ)/λ ; x > µ, λ > 0 beruhend auf n voneinander unabhängigen Beobachtungen. Hinweis: Es ist gleichbedeutend die Likelihood oder den Logarithmus der Likelihood zu maximieren.