Gegeben: Die beiden Funktionen (a x) 2, 0 x < 1

Transkript

1 SoSe 216 H-Aufgaben sind weiteres, bunt gemischtes Übungsmaterial, das teilweise auch, wenn die Zeit reicht, in den Tutorien besprochen wird. Im Laufe des Semesters erhalten Sie zu diesen Aufgaben Ergebniskontrollen (= egk). Die Nummerierung der H-Aufgaben zu Mathematik II beginnt bei 51. H 51 treppauf/treppab: integrieren/differenzieren Skizzieren Sie grob den Verlauf der folgenden Funktion g: { 23 x 3/2 für x 1 g(x) = x x3 für 1 < x 2 Berechnen Sie die (ggf. einseitigen) Ableitungen von g für x 2. Ist g an der Nahtstelle x = 1 differenzierbar? Skizzieren Sie grob den Verlauf der Ableitung f := g von g (an den Eckpunkten und an der Nahtstelle ggf. einseitige Ableitungen verwenden). egk: Thema 8.1, Beispiele 1 und 3 rückwärts, begonnen bei F := g. H 52 Gegeben: Die beiden Funktionen (a x) 2, x < 1 (a) f(x) = b, x = 1 ln(x), 1 < x 2 (b) f(x) = Stetigkeit 2(x 1), x < 1 b, x = 1 a + 1/x, 1 < x 2 Berechnen Sie jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert in x = 1. Legen Sie die Parameter a und b jeweils so fest, dass f in x = 1 stetig wird bzw. (falls dies nicht möglich ist) linksseitig stetig wird. egk: (a) LGW=(a 1) 2, RGW=; f stetig (a 1) 2 = b = b = und a = 1 (b) LGW=, RGW= a + 1; f stetig = b = a + 1 b = und a = 1 H 53 Nullstellenberechnung Zur Berechnung einer Rendite i eff = x 1 ist folgende Gleichung zu lösen: 1 + x + x 2 = = Berechnen Sie hieraus den Wert von x (a) als Lösung der quadratischen Gleichung und dann die dabei auftauchende Wurzel (Diskriminante) mit Hilfe des Newton-Verfahrens (b) mit Hilfe des Newton-Verfahrens (direkt) egk: (a) x = 1 2 ( 1 + p 1 + 4( )); Ansatz: x 2 = = (b) f(x) = 1 + x + x ; x = 1.5, x 1 = , x 2 = =: x Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 7

2 SoSe 216 H 54 Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: 2x 1/3 + x 1 5 3x + (x 1) 1/2 (a) lim x x 1/3 (b) lim + 7x x 2 x ln(x 1) H 55 Grenzwerte egk: (a) 1 7 ; (b) 5 4 Extrema, Krümmung Gegeben f(x) = 2 6(x 1) + 8(x 1) 3 mit D(f) = [, 2]. (a) Bestimmen Sie alle Extremalstellen und die zugehörigen Funktionswerte von f über dem angegebenen Definitionsbereich. (b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten (Konvexität/Konkavität) von f und skizzieren Sie grob den Verlauf der Funktion f zu H zu H 56 c) f(t)= t/ egk: a) Max. lokal f( 1 2 ) = 4, Max. global f(1 2 ) = 4 = f(2), Min. lokal f(3 2 ) =, Min. global f() = = f( 3 2 ); b) f konkav über [, 1], konvex über [1, 2] H 56 Integration Berechnen Sie die beiden bestimmten Integrale: (a) 2 e1 t dt (b) Für F (x) := F (2) + x (t/2) dt den Wert F (6) (c) Skizzieren Sie grob das in (b) mit dem Integral berechnete Flächenstück egk: (a) e e 1 ; (b) F (2) [(6 + t 2 )3/2 ] 6 2 ) = F (2) ( ) = F (2) + 34/3; (c) Typ x, f(2) = 2, f(6) = 3 H 57 (a) f(x) = 2(x + 1) für x < 1 α für x = 1 1/x für 1 < x 2 (b) f(x) = Stetigkeit (2 x) 1/2 für x < 1 α für x = 1 (x 2 2 1) für 1 < x 2 Berechnen Sie jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert in x = 1. Legen Sie dann jeweils α so fest, dass f in x = 1 linksseitig stetig wird. egk: (a) LGW=4, RGW=1, = α = 4; (b) LGW= 2, RGW=1/2, α = 2 Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 7

3 SoSe 216 H 58 Taylorpolynom (Fehlersuche) Gefragt: Taylorploynom vom Grad n = 3 zu f(x) = ln(1 + x) am Entwicklungspunkt x = und damit eine Näherung für ln 1.1 = f(1/1). Korrigieren Sie die folgende Lösung : f(x) = ln(1 + x) ; f() = T 3 (f; x; ) f (x) = 1+x 1 ; f () = 1 = + 1 1(x ) 1 2 (x ) (x )3 f (x) = 1 ; f () = 1 = x (1+x) x x3. Für x = 1 1 ist also f (x) = 1 ; f () = 1 (1+x) 3 ln( ) 1 1 1/ /3 1 (.95) egk: Bei f fehlt der Faktor 2, bei T 3 im Nenner des dritten Summanden ebenso: Die Fehler heben sich auf, das Taylorpolynom ist richtig, die Näherung auch. H 59 Wachstumsrate, Elastizität (a) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Funktion f(x) = x + e x2 (x > ) an der Stelle x = 1. egk: W (x) = 1 2xe x2, W (1) = 1 2e 1 = e 2 x+e x2 1+e 1 e+1 (b) Bestimmen Sie die Elastizität der Funktion f(x) = x + 3 ln x (x > ) und damit die ungefähre relative Änderung des Funktionswertes f(x) beim Übergang von x = 1 (Basiswert) zu x 1 =.9 (neuer Wert). egk: E(x) = (x + 3)/(x + 3 ln x); f(.9)/f(1) 1 4 (.1) = 4% H 6 Berechnen Sie das bestimmte Integral H 61 Integration 4 1 (ln 2) 2 t dt. egk: 7/16 Nullstellenbestimmung Berechnen Sie die Rendite der beiden Anlageformen (C) von A 21/Mathe 1, zur Übung z.b. auch analog zu T 76(a). egk: 3.336% (Zinsstaffel 4%, 3%: x 2 + x = ) 3.662% (Zinsstaffel 3%, 4%: x 2 + x = ) H 62 Taylorpolynom als Umrechnungsmethode für Polynome Ein Taylorpolynom vom Grad n an der Entwicklungsstelle x zu einem Polynom f vom gleichen Grad n ist genau dieses Polynom f selbst, allerdings in der gewünschten (x x )-Potenzen Darstellung. Beispiel: Berechnen Sie zu f(x) = 1 + 2x + 3x 2 4x 3 das Taylorpolynom vom Grad n = 3 am Entwicklungspunkt x = 1 (und expandieren Sie dann zur Probe, ob sich das ursprüngliche Polynom wieder ergibt, alle Potenzen (x 1) j, j = 1, 2, 3). egk: T f 3 (x; 1) = 2 4(x 1) 9(x 1)2 4(x 1) 3 (= 1 + 2x + 3x 2 4x 3 ) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 3 von 7

4 SoSe 216 H 63 Grenzwerte, (partielle) Integration (a) Berechnen Sie den rechtsseitigen Grenzwert lim F (x) der Funktion <x F (x) = 1 x t 3/4 dt. b (b) Berechnen Sie das bestimmte Integral a t e t dt, und damit das uneigentliche Integral t e t dt allgemeiner Aufg. A 64 Die Berechnung von R t e t dt ist Ergänzung, die von R b a t e t dt nicht. R egk: 1 (a) x t 3/4 dt = [4 t 1/4 ] 1 x = 4(1 x 1/4 ) 4(1 ) = 4 <x R b (b) a t e t dt = ( 1)(e b b e a a) ( 1) 2 (e b e a ) [(PI) wie Bsp. 4] = (1 + a)e a (1 + b)e b R b t e t dt = 1 (1 + b)e b 1 = 1 [da lim (1 + x) b x e x = nach LHR ] R a t e t dt = (1 + a)e a 1 [da lim (1 a x +x) e x = ( )( ) = ] R t e t dt = R t e t dt + R t e t dt = + 1 = H 64 Halblogarithmische Darstellung einer Aufzinsung Interessierender Bereich D(f): x 4 (z.b. ein Zeitraum von 4 Perioden) Skizzieren Sie grob den Verlauf von g(x) = ln(f(x)), die Halblogarithmische Darstellung (normales oder logarithmisches y-gitter), von f(x) = (1.1) x. Hilfswerte x egk-hinweis: f(x) = = = ln(a x ) = x ln a ln f(x) Halblogarithmischer Maßstab y logarithmisch(links) y normal=linear (rechts) egk: Einzuzeichen ist jeweils eine Gerade mit der Steigung W f (x) = ln(1.1) f(x) ln f(x) H 65 y y y Elastizität Eine Produktionsfunktion z = x 3/4 y 1/4 (x, y > ) wird umgeformt zu y = f(x) = z 4 x 3 (wobei z konstant ist). Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich der Produktionsfaktor y, wenn sich der Produktionsfaktor x um 3% erhöht? Probe : 1.33/4.91 1/4 = egk: y := f(x ); E f (x ) 3% = x z4 ( 3) x 4 3% = ( 3) 3% = 9% 3 z4 x Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 7

5 SoSe 216 H 66 Totales Differential, Tangentialebene Gegeben ist die Funktion f(x, y) = 2 + ln(2x + y 2 ) (a) Berechnen Sie das totale Differential der Funktion f. (b) Berechnen Sie die Tangentialebene zu f im Basispunkt (x, y ) = (, 1). Geben Sie eine Näherung an... (c)... für den Funktionswert f(.2,.9) ( = 2 + ln(1.21) ) (d)... für die absolute Änderung des Funktionswertes beim Übergang vom Basispunkt (, 1) zu (.2,.9) (e)... für die relative Änderung des Funktionswertes beim Übergang vom Basispunkt (, 1) zu (.2,.9) an. egk: (a) df(x, y) = 2dx+2y 2x+y 2 (b) f(, 1) = 2; T f (x, y) = (x ) + 2(y 1) (,1) (c) f(.1,.9) 2+2(.2)+2(.1) = 2.2 (d).2 (e).1 = 1% H 67 Partielle Elastizitäten Berechnen Sie für die Funktion f(x, y) = x 3/5 ln(y 2/5 ) (wobei x > 1, y > 1) (a) die partiellen Ableitungen f x, f y und f yx (b) die partielle Elastizität bzgl. der Variable y im Punkt (x, y ) = (2, e) egk: f x = 6 25 x 2/5 ln y, f y = 2 5 x3/5 y 1, f xy = f yx = 6 25 x 2/5 y 1, E x (2, e) = 1 H 68 Grenzrate der Substitution Berechnen Sie für f(x, y) := x 2 xy + y 3 (x >, y > ) auf dem Niveau f(x, y) = 8 (konstant) die Grenzrate der Substitution der Variablen x durch die Variable y: dx (x, y) =? Geben Sie einen Punkt (x, y ) an, der die Niveaubedingung (und x, y > ) erfüllt, und für diesen Punkt den Wert dx (x, y ). 2x y egk: dx (x, y) = ; (x x+3y 2, y ) = (2, 2); dx (2, 2) = 1 2 H 69 Substitutionsrate, vgl. H 65 Berechnen Sie für die Produktionsfunktion z = x 3/4 y 1/4 (x, y > ) auf dem konstanten Niveau z die Rate /dx der Substitution von x durch y. Um ungefähr wieviel Prozent ändert sich der Produktionsfaktor y, wenn sich der Produktionsfaktor x um 3% erhöht? Probe : 1.33/4.91 1/4 = egk: dx (x, y ) = 3 4 x 1/4 Nr ): y 1/4 /( 1 4 x3/4 y 3/4 y ( 3) dx x = ( 3) (+3%) = 9% ) = 3 y x ; also direkt (oder nach Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 7

6 SoSe 216 H 7 3D-Extrema Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = 1 + x 4 /4 + y 2 /2 xy auf Extremwerte und Sattelpunkte. (Ggf. angeben: Extremalstellen, Sattelpunktstellen und die jeweils zugehörigen Funktionswerte) egk: H D (x, y) = 3x 2 1, f xx(x, y) = 3x 2 ; stationäre Pkte: ( 1, 1), (, ), (1, 1) f( 1, 1) = 3 4 = f(1, 1) lok. Minima; Sattelpunktstelle (, ) mit Wert f(, ) = 1 Die folgende Aufgabe ist etwas zeitaufwendig, aber gut geignet zum Üben einzelner Zwischenschritte des Schemas anhand der angegeben Kontrollen. H 71 3D-Extrema Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Extremwerte und Sattelpunkte (Ggf. angeben: Extremalstellen, Sattelpunktstellen und die jeweils zugehörigen Funktionswerte) f(x, y) = x(x y)e x+y = (x 2 xy)e x+y Kontrollen: f x(x, y) = e x+y (x 2 xy +2x y), f y(x, y) = e x+y (x 2 xy x) Stationäre Punkte: P 1 = (, ), P 2 = ( 1/2, 3/2) (beachte: e z > ) f xx(x, y) = e x+y (x 2 xy + 4x 2y + 2) f xy(x, y) = f yx(x, y) = e x+y (x 2 xy + x y 1) f yy(x, y) = e x+y (x 2 xy 2x), H D (x, y) = e 2(x+y) (5x 2 2x(y 1)+(y+1) 2 ) egk: H D (, ) = 1 <, (, ) ist Sattelpunktstelle mit Wert f(, ) =, H D ( 1/2, 3/2) = e 4 > Extremalstelle, f xx( 1/2, 3/2) = 5 2 e 2 >, also lokales Minimum mit Wert f( 1/2, 3/2) = 1 2 e 2. H 72 3D-Extrema unter NB Bsp. 4/Thema 12.2 Interessierender Variablenbereich: x >, y >. Untersuchen Sie für die beiden Funktionen f(x, y) = e 21 x2 /8 y 2 /8 und g(x, y) = x 2 /4 + y (a) die Funktion f auf lokale Extrema unter der NB g(x, y) = 6 (b) die Funktion g auf lokale Extrema unter der NB f(x, y) = e 37/2 egk: Maximierung von f unter der NB g(x, y) = 6 liefert die Maximalstelle (x, y ) = (4, 2). Umgekehrt liegt unter der NB f(x, y) = f(4, 2) = e 37/2 bei (x, y ) = (4, 2) aber kein (lokales) Minimum von g vor, sondern g(4, 2) = 6 ist sogar ein lokaler Maximalwert von g. (a) Methode: Einsetzen. NB: x 2 /4 + y 6 = x 2 /4 = 6 y x 2 /8 = 3 y/2; Mon. Transform. der ZF z = e 21 x2 /8 y 2 /8 mit ln: ln z 1 ln z 2 z 1 z 2 ; Transf. ZF: 21 x 2 /8 y 2 /8, NB einsetzen: h(y) := 18 + y/2 y 2 /8; h (y) = 1/2 y/4; h (y) = y = 2, also x 2 /8 = NB 2, d.h. x = 4 (da x > ). h (y) = 1/4 <, also lokales Maximum bei (4, 2) mit Wert f(4, 2) = e 37/2. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 6 von 7

7 SoSe 216 (b) Methode: Einsetzen. Die NB wird monoton transformiert: NB: e 21 x2 /8 y 2 /8 = e 37/2 21 x 2 /8 y 2 /8 = 37/2 x 2 /4 = 5 y 2 /4; h(y) := 5 + y y 2 /4; h (y) = y; h (y) = y = 2, also x 2 /4 = NB 4, d.h. x = 4 (da x > vorausgesetzt). h (y) = 1/2 <, also lokales Maximum bei (4, 2) mit Wert g(4, 2) = 6. Bem. Bei Lösung mit der Multiplikatoren-Methode von Lagrange ergibt sich: bei den monotonen Transformationen wie oben: (a) λ = 2 1 und (b) λ = 2 ohne Transformationen: Bei (a) λ = 2 1 e 37/2 und bei (b) λ = 2 e 37/2 H 73 Extrema unter NB (Langrangesche Multiplikatoren) Interessierender Variablenbereich: x >, y >, z >. Zielfunktion f(x, y, z) = 2x + y + 4z und die beiden NB-Funktionen b 1 (x, y, z) = x + z und b 2 (x, y, z) = x y 1 z Finden Sie die Kandidatinnen für Extremalstellen der ZF unter den beiden Nebenbedingungen b 1 (x, y, z) = 2 und b 2 (x, y, z) = 8. egk: Auch Einsetzen führt zum (vergleichenden) Erfolg. Lernziel: Verschiedene Nebenbedingungen müssen mit verschiedenen Multiplikatoren angesetzt werden. L(x, y, z, λ, µ) = 2x + 4y + 4z + λ(x + z 2) + µ(x y 1 z 8). Einzige Lösung: x = 2, y = 45, z = 18 mit λ = 17/4 und µ = 9/18. H 74 Differenzengleichungen Gegeben ein Preisbildungsmodell mit den Modellannahmen: d n = 11 p n, n N, Basiswert p = 1 s n = 1 + δ p n 1, n N, wobei δ > fixer Parameter d n = s n (Gleichgewichtsbedingung zum Zeitpunkt n) (a) Formulieren Sie dies als rekursives Modell für p n, n N, (Lineare Differenzengleichung 1. Ordnung) und geben Sie die Lösung dieser Differenzengleichung an. (b) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Folge p n, n N, abhängig vom Nachfrageparameter δ. egk: (Spezialfall von Nr. 12. Lernziel: Am konkreteren Beispiel die dortigen Umformungen und Nr. 11 (ggf. besser) verstehen) (a) p n = δ p n bzw. p n p n 1 = (1 + δ)p n p n = 1 1+δ + (p 1 1+δ )( 1)n δ n, n N; p = δ, da δ >. (b) Für δ > 1 gilt δ n : Divergenz von p n, n N; Für δ = 1 gibt es nur die n beiden Werte 1 1+δ ± (p 1 1+δ ) für p n, n N: konstant alternierend um 1 1+δ ; Für δ < 1 gilt δ n n : Konvergenz p n n p = 1 1+δ. Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 7 von 7