BASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II

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Sofia Vogel
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1 ETH Zürich Sommer 015 Dr. Ana Cannas BASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften 1. Sei a) Ist das System lösbar? b) Lösen Sie das System A = A x = 1 A x = 0. c) Was ist die Dimension des Lösungsraumes von A x = 0? 1

2 . Wir betrachten die Schar von Matrizen 1 0 A = 1 a 1, 0 0 b wobei a und b reelle Parameter sind. a) Bestimmen Sie die Inverse A 1, wenn a = b = 1. b) Für welche a und b ist A invertierbar? Sie brauchen nicht die Inversen zu bestimmen. c) Was ist der Rang von A, wenn a = und b = 1? 3. Wir betrachten das Differentialgleichungssystem { ẋ(t) = x(t) y(t) ẏ(t) = 3x(t) + 4y(t) a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und entsprechende Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix dieses Systems. 4 Punkte b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieses Systems. c) Ist der Ursprung ein stabiler oder instabiler Gleichgewichtspunkt? Vergessen Sie nicht Ihre Antwort zu begründen.

3 4. Wir betrachten Differentialgleichungen der Form y + 4y + 13y = f(x), wobei y(x) eine unbekannte reelle Funktion und f(x) eine gegebene reelle Funktion ist. a) Bestimmen Sie die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, wenn f(x) = 40 sin x. 4 Punkte c) Kann eine nicht-triviale Lösung der homogenen Differentiagleichung (d.h. mit f(x) 0) periodisch sein? Vergessen Sie nicht Ihre Antwort zu begründen. 5. Sei f(x) die Funktion definiert für x > 0 mit f (x) = x ln x und f(1) = 0. a) Was ist der Grenzwert lim x 1 x ln x sin(x 1)? b) Was ist der kleinste Wert von f(x)? c) Bestimmen Sie f(x). 3

4 6. Die Position eines Teilchens zur Zeit t sei durch cos t r(t) = sin t, t 0 t gegeben. a) Geben Sie eine Parametrisierung der Tangentengerade an die Bahnkurve zur Zeit t = π. b) Was ist die Länge des Teils der Bahnkurve zwischen den Punkten A = 0 und B = 0? 0 π c) Dieses Teilchen bewege sich in dem Gradientenfeld x F (x, y, z) = y. z Geben Sie eine Potentialfunktion von F. Was ist die Arbeit von F vom Punkt A bis zum Punkt B aus Teilaufgabe (b) entlang dieser Bahnkurve? 4

5 7. Wir betrachten die Funktion f(x, y) = x + y 4 y + 1. a) Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von f. b) Klassifizieren Sie die kritischen Punkte von f (als Sattelpunkt, lokales Maximum, lokales Minimum). c) Bestimmen Sie den grössten und den kleinsten Wert, den f auf dem durch y = x, 0 x 1 gegebenen Liniensegment annimmt. 5

6 8. Sei V der Körper oberhalb der Ebene z = 0, unterhalb des Paraboloids z = 1 + x + y, und innerhalb des Zylinders x + y = 1. a) Berechnen Sie das Volumen von V. 4 Punkte b) Bestimmen Sie die Divergenz von G(x, y, z) = z + xyz y +1 sin(xz) y z x + y + z Kann G die Rotation eines anderen Vektorfeldes F sein? Vergessen Sie nicht Ihre Antwort zu begründen.. c) Berechnen Sie den nach aussen gerichteten Fluss des obigen Vektorfeldes G durch die Oberfläche von V. 6

7 9. Wir betrachten das Rand-Anfangswertproblem u xx = u t + u u x (0, t) = u x (π, t) = 0 u(x, 0) = f(x), wobei 0 x π, t 0. a) Mit dem Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) zerfällt diese partielle Differentialgleichung in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen für X(x) und T (t) in Abhängigkeit von einem Parameter k R. Welches ist das zugehörige System? b) Bestimmen Sie eine Folge von Basislösungen u n (x, t) = X n (x)t n (t), n = 0, 1,, des homogenen Teils des Problems. c) Lösen Sie das Rand-Anfangswertproblem für wobei f(x) = F f (x) = π 4 π die Cosinus-Reihe von f(x) ist. { x, 0 x π π x, π < x π, k=0 1 cos((k + 1)x) (k + 1) 7

8 10. Wir betrachten die Temperaturverteilung u(x, t) in einem Stab, die durch die folgende partielle Differentialgleichung modelliert ist: u t = 4u xx. a) Sei L = die Länge des Stabes und seien seine Enden auf konstanter Temperatur 1 und 1 gehalten. Lösen Sie das Problem u t = 4u xx u( 1, t) = 1, u(1, t) = 1 u(x, 0) = x + 7 sin(3πx). Hinweis: Sie dürfen Basislösungen des entsprechenden homogenen Problems ohne erneute Herleitung verwenden. b) Bestimmen Sie das Fourier-Integral von 1, 1 x < 0 f(x) = 1, 0 x < 1 0, sonst. c) Sei nun der Stab zu Modellzwecken unendlich lang. Ermitteln Sie einen Integralausdruck für die beschränkte Lösung u(x, t), x R, t 0 von { u t = 4u xx u(x, 0) = f(x), wobei f(x) die Funktion von Teil (b) ist. 8

9 11. Anweisung: Kreuzen Sie die korrekte Antwort an. Es ist immer nur eine Antwort richtig! Es gibt pro Frage. Falsche oder mehrere Antworten werden mit 0 Punkten bewertet Welche ist eine Parametrisierung der Ellipse (x 1) + (y + ) = 4? (a) x = + cos t, y = 1 sin t, 0 t < π. (b) x = 1 + cos t, y = sin t, 0 t < π. (c) x = cos t, y = 1 sin t, 0 t < π. (d) x = 1 + cos t, y = 1 + sin t, 0 t < π. 11. Welches Paar von Kegelschnitten schneidet sich nicht? (a) x y = 1 und x + y = 4. (b) x y = 4 und x + y = 1. (c) x + 4y = 4 und 4x + y = 4. (d) x + y = 1 und 16x + y = 4. 9

10 11.3 Sei f(x, y) viermal stetig differenzierbar und mit Welche Aussage ist falsch? f x y = ex y. (a) (b) f y x = ey x. 3 f y x = ex. (c) (d) 3 f x y = 1. 4 f x y = Die Niveaukurve x + y 4 y = 1 ist in der Nähe vom Punkt (1, ) der Graph einer Funktion x = x(y). Welchen Wert hat x ( )? (a). (b) 1. (c) 1. (d). 10

11 11.5 Wir betrachten die Funktion f(x, y, z) = x y + sin z. In welche Richtung u ist die Richtungsableitung von f im Punkt P = ( 1, 1, π maximal und wie gross ist dieser Maximalwert? (a) u = ( 1 T 1,, 0), D u f(p ) =. ) (b) u = ( 1 T 1,, 0), D u f(p ) = (c) u = ( 1, 1, 0) T, D u f(p ) =. (d) u = ( 1, 1, 0) T, D u f(p ) = Was ist das quadratische Taylor-Polynom von im Ursprung (x, y) = (0, 0)? f(x, y) = ex 1 + y (a) 1 + x + y + 1 x + xy + y. (b) 1 + x y + 1 x xy + y. (c) 1 + x + y + x + xy + y. (d) 1 + x y + x xy + y. 11

12 11.7 Mittels Wechsel der Integrationsreihenfolge ist das Integral gleich zu 1 f(x, y) dy dx x f(x, y) dy dx (a) 1 y f(x, y) dx dy. (b) 1 0 y f(x, y) dx dy. (c) 1 f(x, y) dx dy y f(x, y) dx dy. (d) 1 f(x, y) dx dy + 1 y f(x, y) dx dy Wir betrachten das Raumgebiet definiert durch 1 x + y + z 4 und z = x + y. Welche Beschreibung in Kugelkoordinaten entspricht diesem Raumgebiet? (a) 1 R und ϕ = π 4. (b) 1 R und ϕ = π. (c) 1 R 4 und ϕ = π 4. (d) 1 R 4 und ϕ = π. 1

13 11.9 Welches Vektorfeld passt zu dieser Zeichnung? y x ( (a) F x (x, y) = x + y, y ). x + y ( (b) F x (x, y) = x + y, y ). x + y ( (c) F x (x, y) = x + y, y ). x + y ( (d) F x (x, y) = x + y, y ). x + y Sei H = (H 1, H ) ein Vektorfeld in R \ {(0, 0)}, so dass H = H 1 und die x y Zirkulation von H entlang des Einheitskreises C 1 : x + y = 1 in der positiven Richtung ist C 1 H 1 dx + H dy = 1. Was ist die Zirkulation von H entlang des Kreises C : x + y = 4 in der positiven Richtung? (a) 1. (b) 4. (c) 1. (d) 4. 13

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