Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1. Übungsblatt

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1 Prof Dr M Gerdts Dr A Dreves J Michael Wintertrimester 216 Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 1 Übungsblatt Aufgabe 1 : (Schwimmer Ein Schwimmer möchte einen Fluss der Breite b > überqueren, welcher überall die gleiche Strömung aufweist a Wie muss sich der Schwimmer verhalten, damit er in kürzester Zeit den Fluss überquert hat b Die Strömungsgeschwindigkeit w des Flusses sei größer als die Geschwindigkeit v des Schwimmers Am felsigen Ufer kommt man zu Fuß mit einer Geschwindigkeit u voran Unter welchem Winkel ϕ gegen die Uferlinie muss der Schwimmer schwimmen, damit er in kürzester Zeit den Fluss überqueren und wieder zurück zum Ausgangspunkt auf seiner Uferseite kommen will, wenn der Winkel ϕ für Hin- und Rückweg gleich bleiben soll? Lösung: a Sei v die Geschwindigkeit des Schwimmers Die Zeit um den Fluss zu überqueren ergibt sich dann zu b t S = v sin(ϕ Die Zeit ist minimal, wenn sin(ϕ maximal ist, also wenn der Schwimmer senkrecht zur Uferlinie schwimmt ϕ x ab x L b Die Zeit zum Hin- wie auch zum Zurückschwimmen ist wie in a gegeben durch t S = b v sin(ϕ

2 Ohne Strömung würde der Schwimmer am anderen Ufer versetzt ankommen bei x = b tan(ϕ = b cos(ϕ sin(ϕ Die Strömung treibt den Schwimmer ab, und zwar ist die abgetriebene Strecke auf dem Hin- und Rückweg jeweils gleich und gegeben durch x ab = w t S = wb v sin(ϕ Da die Strömungsgeschwindigkeit größer als die des Schwimmers ist, gilt w > v und damit auch w > 1 cos(ϕ Der Schwimmer muss also in jedem Fall am Ufer ein Stück zurück v laufen Die Laufstrecke ist für jede Überquerung die gleiche und gegeben durch x L = x ab x Damit benötigt er zum Laufen jeweils die Zeit t L = x L u Insgesamt benötigt er also bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt die Zeit t(ϕ = 2t S + 2t L = 2b v sin(ϕ + 2 u = 2b uv ( wb v sin(ϕ b cos(ϕ sin(ϕ 1 (u + w v cos(ϕ sin(ϕ Die notwendige Bedingung für eine minimale Zeit ist = t (ϕ = 2b v sin 2 (ϕ (u + w v cos(ϕ cos(ϕ uv sin 2 (ϕ Hieraus folgt v (u + w cos(ϕ = cos(ϕ = v u + w Hieraus lässt sich der optimale Winkel ϕ berechnen, der das notwendige Optimalitätskriterium erfüllt Wegen lim ϕ t(ϕ = = lim ϕ π t(ϕ und da es keine weiteren stationären Punkte gibt, muss es sich tatsächlich um ein Minimum handeln Aufgabe 2 : (Optimale Verkaufsstrategie für ein einfaches Handelsproblem Betrachten Sie folgendes Modellierungsproblem: Zur Zeit t = besitzt eine Handelsgesellschaft x Einheiten einer Ware, die sie zu einem Stückpreis c 3 eingekauft hat Bis zu einem Zeitpunkt t f wird mit x(t bezeichnet muss die gesamte Ware verkauft sein Die verkaufte Menge

3 Für die noch nicht verkauften Waren fallen Lagerkosten c 2 pro Waren- und Zeiteinheit an Der Verkaufserlös pro Wareneinheit zur Zeit t beträgt e(ẋ(t = c 1, wobei α eine 1+αẋ(t Konstante darstellt, die den Erlös entsprechend schmälert, wenn viel Ware zur selben Zeit verkauft wird Die Konstanten c 1, c 2, c 3, α sind alle größer und bekannt, wobei zusätzlich noch gilt c 3 < c 1 Leiten Sie das Optimierungsproblem her, dass den erzielten Gewinn maximiert Hinweis: Unterteilen Sie zuerst das Zeitintervall [, t f ] in N gleich große Zeitintervalle der Länge t und berechnen Sie den Verkaufserlös und die Lagerkosten für jedes entstehende Zeitintervall Summieren Sie anschließend über alle Zeitintervalle und betrachten den Grenzwert N liefert die diskretisierten Gitter- Lösung: Unterteilung in N Teilintervalle der Länge t = t f N punkte t i = i t, i =,, N 1 Der Gewinn im Zeitintervall [t i, t i + t], i =, N 1 setzt sich aus dem Verkaufserlös V (t i und den Lagerkosten L(t i zusammen c 1 V (t i = 1 + αẋ(t i (x(t i + t x(t i = e(ẋ(t i (x(t i + t x(t i L(t i = c 2 (x x(t i t Summation über alle Teilintervalle J N (x = N 1 i= i= V (t i L(t i = N 1 i= e(ẋ(t i (x(t i + t x(t i c 2 (x x(t i t N 1 ( = e(ẋ(t i (x(t i + t x(t i c 2 (x x(t i t t Der Grenzübergang N (dh t liefert: lim e(ẋ(t i (x(t i + t x(t i t t Integration über das betrachtete Zeitintervall lliefert: J(x = J (x = t f e(ẋ(tẋ(t c 2 (x x(t dt = = e(ẋ(t i ẋ(t i t f c αẋ(tẋ(t c 2(x x(t }{{} f(t,x(t,ẋ(t Berücksichtigt man noch die Anschaffungskosten, erhält man die äquivalente Zielfunktion J a (x = t f f(t, x(t, ẋ(t dt c 3 x dt

4 Der konstante Summand c 3 x hat keinen Einfluss auf die minimierende Funktion Das Optimierungsproblem lautet damit Maximiere: J(x bzgl x 1 [, t f ], udn: x( =, x(t f = x Aufgabe 3 : (Hängendes Seil Ein Seil wird an zwei Punkten aufgehängt Gesucht ist die Kurve y(x, welche das Seil unter Einwirkung der Schwerkraft beschreibt a Zeigen Sie, dass die folgende Differentialgleichung mit einer Konstanten gilt: y (x = 1 + y (x 2 b Zeigen Sie, dass ( x y(x = cosh eine Lösung der Differentialgleichung aus a ist Lösung: -F(s G Δs a F(s+Δs Sei s ein beliebig kleines Seilstück, g die Erdbeschleunigung und µ > die Masse pro Längeneinheit des Seiles Auf das Seilstück s wirken tangential die Seilkräfte F (s und F (s + s und vertikal die Gewichtskraft G = µg s Diese sind im Gleichgewicht, dh es gilt ( F (s + s F (s = µg s Hieraus ergibt sich F (s + s F (s s ( = µg

5 Der Grenzübergang s liefert ( df ds = µg Integration bezüglich s ergibt dann F (s = ( 1 µgs + 2 Da die Seilkraft in horizontaler Richtung nie verschwindet, gilt 1 Die Seilkraft wirkt stets in tangentialer Richtung Verwendet man den normierten Tangentialvektor in Bogenlänge (x (s, y (s, so hat man mit einer skalaren Funktion f(s die Darstellung ( x F (s = f(s (s y (s Hieraus ergibt sich mit der Kettenregel Auflösen nach s ergibt dy dx = dy ds ds dx = y (s x (s = (µgs + 2/f(s 1 /f(s s = 1 µg y (x 2 µg = µgs Andererseits haben wir für die Bogenlänge s die bekannte Formel s = x x 1 + (y ( x 2 d x Gleichsetzen der Ausdrücke und ableiten nach x liefert Mit := 1 µg folgt die Behauptung 1 µg y (x = 1 + (y (x 2 b Durch Ableiten der Formel y(x = cosh ( x erhalten wir ( x y (x = sinh y (x = 1 ( x cosh Wegen ( e 1 + sinh 2 x e x 2 (x = 1 + = e2x e 2x 1 2 = cosh2 (x folgt 1 + (y (x 2 = 1 + sinh 2 ( x ( x = cosh = y (x, also ist y(x = cosh ( x eine Lösung der Differentialgleichung aus a

6 Aufgabe 4 : (Endlichdimensionale Optimierung Gegeben sei die Funktion f(x, y := 3x 4 4x 2 y + y 2 Zeigen Sie: (a (, ist ein stationärer Punkt von f (b f besitzt längs jeder Ursprungsgeraden ein lokales Minimum in (, (c (, ist kein lokales Minimum der Funktion f Lösung: ( (a Für f(x, y := 3x 4 4x 2 y + y 2 12x gilt f(x, y = 3 8xy 4x 2 + 2y Damit ist f(, = (, T, also ist (, ein stationärer Punkt (b Entlang der x-achse gilt y =, also f(x, y = 3x 4, und entlang der y-achse ist x = und damit f(x, y = y 2 In beiden Fällen hat f in (, offensichtlich ein striktes lokales Minimum Alle anderen Ursprungsgeraden haben die Form y = kx mit k Dann folgt für g(x := f(x, kx: g(x = 3x 4 4kx 3 + k 2 x 2 = 3x 4 + x 2 (k 2 4kx Damit ist g(x > für alle x mit x k Wegen g( =, ist ein striktes lokales 4 Minimum von g, und somit ist (, ein striktes lokales Minimum von f entlang jeder Ursprungsgeraden (c Für y = 2x 2 gilt f(x, y = 3x 4 8x 4 + 4x 4 = x 4 < = f(, für alle x Es gibt also in jeder Umgebung von (, einen Punkt (x, 2x 2 mit f(x, 2x 2 < f(,, und somit ist (, kein lokales Minimum