Klasse ST13a HeSe 13/14 ungr. Serie 14 (Kurvendiskussion, Extremalprobleme)

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1 Klasse ST1a HeSe 1/1 ungr MAE1 Serie 1 (Kurvendiskussion, Extremalprobleme) Aufgabe 1 Bestimmen Sie alle Extremal- und Wendepunkte sowie die Steigung der Wendetangenten für y = f(x) = x 5 65 x + 180x. Aufgabe Zeigen Sie, dass die Kurve der Funktion y = f(x) = x + x x + an der Stelle x = 1 einen Sattelpunkt besitzt. Aufgabe Diskutieren Sie folgende Funktionen: a) y = f a (x) = x x 1 b) y = f b (x) = x x c) y = f c (x) = x x + 1 x + Aufgabe Diskutieren Sie folgende Funktionen: a) y = f a (x) = x e x b) y = f b (x) = ln(x) x c) y = f c (x) = sin (x) Aufgabe 5 Ein Produzent kann eine Menge x eines Produktes herstellen und zu einem Stückpreis von p = 19 verkaufen. Die Gesamtkosten, um die Menge x herzustellen, belaufen sich auf a) Wie lautet die Gewinnfunktion G(x)? K(x) = x x + 0, x 0. b) Ermitteln Sie das Produktionsniveau x, welches zum globalen Gewinnmaximum führt. 1 serie1_mae1.tex

2 Aufgabe 6 Eine 00 m-laufbahn aus zwei parallelen, geraden Strecken mit zwei angesetzten Halbkreisen soll so angelegt werden, dass die Rechtecksfläche zwischen den Geradenstücken möglichst gross wird. Bestimmen Sie die Länge und die Breite des Rechtecks. Aufgabe 7 Welche Abmessungen muss man einer zylindrischen Konservendose von einem Liter Inhalt geben, damit möglichst wenig Blech verbraucht wird? Aufgabe 8 In eine Kugel mit Radius R soll ein gerader Kreiszylinder mit maximalem Volumen eingepasst werden. Bestimmen Sie Radius r und Höhe dieses Zylinders aus R. Aufgabe 9 Die Bremskraft F einer Wirbelstrombremse ist als Funktion der Umfangsgeschwindigkeit v des Rades durch die Gleichung F (v) = a v v + b gegeben. Hierbei sind a und b durch die Konstruktion vorgegebene Konstanten. Bei welcher Umfangsgeschwindigkeit wird die Bremskraft maximal? Aufgabe 10 Von einem an einem 100 m breiten Fluss gelegenen Elektrizitätswerk wird zu einer s Meter flussaufwärts auf dem gegenüberliegenden Ufer stehenden Fabrik eine elektrische Leitung gelegt. Die Kosten der Erdverlegung betragen 50 Fr./m, jene für die Verlegung unter Wasser 10 Fr./m. Wie lang ist das erdverlegte Leitungsstück entlang des Flusses im kostengünstigsten Fall? serie1_mae1.tex

3 MAE1 Lösungen Serie 1 Lösung 1 f (x) = 5x 65x =! 0 liefert x 1. = ± und x. = ± f (x) = 10x (x 1): Wendepunkte bei x 5 = 0 und x 6.7 = ± Ableitung f (x) = 10 (x 1) + 0x 0 ist. Steigungen der Wendetangenten: m k = f (x k ), k = 5, 6, 7. also: m 5 = 180, m 6.7 = 15 lokale Extrema: 1, da an diesen Stellen die dritte x 1 = : f (x 1 ) < 0 (x 1, y 1 = f(x 1 )) lokales Maximum x = : f (x ) > 0 (x, y = f(x )) lokales Minimum x = : f (x ) < 0 (x, y = f(x )) lokales Maximum x = : f (x ) > 0 (x, y = f(x )) lokales Minimum Lösung Sattelpunkt: f = f = 0 und f 0 ableiten und einsetzen liefert: f (1) = f (1) = 0 und f = 0 für alle x Lösung Stellen Sie die gegebenen Funktionen auch graphisch dar. a) Hyperbel: D(f a ) = R\{1}, W(f a ) = R\{}, NS: x =, Pol: x = 1 (= vertikale Asymptote), y = = horizontale Asymptote, d.h. lim f a(x) =, Schnittpunkt mit der y Achse: (0, ), x ± keine lokalen Extrema, Wendepunkte oder Sattelpunkte. b) D(f b ) = R\{, }, W(f b ) = R, NS: x = 0, Pole: x = ± (= vertikale Asymptoten), y = 0 = horizontale Asymptote, keine lokalen Extrema oder Sattelpunkte, Wendepunkt: W (0, 0) c) Hyperbel: D(f c ) = R\{ 1}, W(f c ) = R\(, 0), NS: x = 1, doppelt, Pol: x = 1 (= vertikale Asymptote), y = x ist Asymptote, lokales Minimum: (1, 0), lokales Maximum: (, ), kein Sattel- oder Wendepunkt, die Kurve ist punkt symmetrisch bzgl. dem Punkt ( 1, ) Lösung Stellen Sie die gegebenen Funktionen auch graphisch dar. a) D(f a ) = R und W(f a ) = R + 0, lim f a(x) = 0, positivie x Achse ist Asymptote, lim f a(x) = x x NS: x = 0 doppelt, lokales Minimum: (0, 0), lokales Maximum: (, 16 e ), Wendepunkte: W 1 (, 8( ) )e und W ( +, 8( + ) )e + ) kein Sattelpunkt b) D(f b ) = R + und W(f b ) = ( ), 1 e, lim f b(x) = 0, positivie x Achse ist Asymptote, x Pol: x = 0, NS: x = 1, lokales Maximum: ( ) ( ) e, 1 e, Wendepunkt: W e, e kein Sattelpunkt serie1_mae1.tex

4 c) D(f c ) = R und W(f c ) = [0, 1], gerade Funktion und π periodich, NS: kπ, k Z, lokale Minima: (kπ, 0), k Z, lokale Maxima: ( (k + 1) π, 1), k Z, Wendepunkte ( (k + 1) π, ) 1 Es gibt weder Sattelpunkte noch Pole. Lösung 5 a) b) G(x) = p x K(x) = 70 x 1600 x + 0 x 0 G (x) = (x10) G (x)! = 0 = x = 0. G(0) = 10, Ränder: G(0) = 10, weiter gilt: lim x G(x) =, d.h. x = 0 ist tatsächlich ein globales Maximum. Lösung 6 Umfang u = 00 m = l + bπ und damit A = A(l) = 1 (00 l) 0 < l < 00 A(0) = A(00) = 0 π nach unten geöffnete Parabel, d.h. Scheitelpunkt stellt das absolte Maximum dar: S (l s, A(l s ))): l s = 100 m und die dazugehörige Breite b s = 1 π 00 m. Lösung 7 Oberfläche O = r π + rπh = rπ(r + h), Volumen V = 1 dm = 1000 cm = πr h = h = V πr und damit und damit O = O(r) = rπ ( r + V ) r r > 0 π V h min = π Es handelt sich um ein Minimum, da lim O(r) = lim O(r) = r 0 r O (r) = πr V r! = 0 r min = V π Lösung 8 Volumen des Zylinders: V = hr π =! maximal, weiter gilt: r + h = R und damit ) V (h) = h (R h π =! max, 0 r R, 0 h R Randpunkte V (0) = V (R) = 0 ) V (h) = π (R h! = 0 h max = R r max = R und damit V max = V (h max ) = R serie1_mae1.tex

5 Lösung 9 Annahme: a > 0 und b > 0, konstruktive Konstanten D(F ) = R +, W(F ) = R +, F (0) = 0 und lim v F (v) = 0 also v max = b mit F (b) = a b > 0. F (v) = a v + a b (v + b )! = 0 v = ±b Lösung 10 Sei x = Anzahl der erdverlegten Meter entlang des Flusses, es entstehen also die Gesamtkosten K(x) = x (s x) 10 0 x s Randpunkte: K(0) = s 10 und K(s) = s K (x) = 50 (s x) (s x) 10 =! 0 x 0 = s 15 x 0 [0, s], falls s > 15 und es gilt: K(x 0 ) < K(0) und K(x 0 ) < K(s), d.h. in diesem Fall hat K(x) ein Minimum im Innern des Intervalls. Falls s 15 hat K(x) kein globales Minimum im Innern, sondern auf dem Rand, nämlich bei x = 0, da K(0) < K(s). kostengünstigste Variante: { x = 0 falls s 15 x = s x falls s > 15 5 serie1_mae1.tex