Lösungen zu Übung(11) Erster Teil A E=

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1 Lösungen zu Übung Erster Teil a Betrachten Sie die Matrix A = Die Eigenwerte sind λ = mit algebraischer Vielfachheitundλ =mitalgebraischervielfachheit,unddiematrix A E= hatrang, alsokerndimensionnur, somitistdereigenraumzuλ =nureindimensional,die Matrix A daher nicht diagonalisierbar j +j b ZurMatrixB= hat man das charakteristische Polynom j j und die Eigenwerte sind daher Wir lösen nur j λ, λ, =j± j λx++jy= undfindendienichttrivialeeinfachstelösungzux=: y= λ j +j, fürλ =j+ ergibtdas undfürλ =j bekommtman y= j +j =, Daher hat man und WirbetrachtendieMatrixA= y= +j = + j D= T = +j +j j a A ist reell und symmetrisch, also diagonalisierbar + j b Das charakteristische Polynom von A ist p A λ = λ λ + λ = λ λ, alsosinddieeigenwerte: λ =,λ, =± c Wirkönnenmitaangeben: D= + Wir berechnen nur die erste Spalte von S Dazu benötigen wir nur einen normierten Eigenvektor zu λ = : Zu lösen isteine nichttriviale Lösung genügt: y = x+z =

2 Wirwählenx=,z=,y=isterzwungen,undhaben alserstespaltevons d DamitkennenwirfolgendeLösungenvon x t=a xt: xα t=e t, α R e Mit x T A x =wirdeineinschaligeshyperboloidbeschrieben a BetrachtenSiedieMatrixB= i Wirhaben und det B= >, = >, det Also ist B negativ definit = det 8 8 = 8 6>, = det ii DamitistderGleichgewichtspunkt beiderdgl x t=b xtasymptotischstabil b BetrachtenSiedieDGL d xt xt+sinyt = dt yt yt xt i Die DGL ist explizit, erster Ordnung, nicht linear ii Wirhabenmit x+siny f x,y = : y x cosy J f x,y = Also J f,= DieEigenwertesind±j,alsoistderGleichgewichtspunkt instabil c DieDGLx t=xt x tistersterordnung,explizitundnichtlinear DieGleichgewichtspunkte sindx=undx=,keineweiteren Mitfx=x x hatmanf x= x,alsof =und f = DaheristderGleichgewichtspunktinstabil,derGleichgewichtspunktistasymptotisch stabil Esseisx,y=x xy+yarctany a Manhat gradsx,y = H s x,y = x y x+arctany+ y, +y y +y +y

3 AlsolautetdieNäherung Ordnungvonsum,: sx,y + = x xy+y x y b DieHessematrixanderStelle,hatdet undesliegtin,einstrengesminimumvor WirbetrachtendieKurve t xt= cosht,t R a EshandeltsichumdenGraphenderFunktioncosh,dersoaussieht: x y =7,alsoistsiemit>positivdefinit, Wir haben mit x t = sinht, x t= x t = +sinh t=cosh t: det sinht cosht κ sign t= +sin t / cosht, = cosht cosh t = cosh t Das ist überall positiv, wie nach dem Bild der Linkskurve auch zu erwarten war Die Krümmung wirdmaximalbeit=dorthatsiedenwert b DieGleichungfürdieEvolutesiehtsoaus: yt = t Die Evolute sieht so aus: = cosht t sinht cosht + cosh t cosht sinht DasVektorfeld x arctany+ysinx f = x y +y +sin hataufdemganzenr x einpotential,weil x x +y +sin x = +y +sinxcosx= +y +sinx, y arctany+ysinx = +y +sinx,

4 also ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt Nun hat man x ϕx,y = dy +y +sin x =xarctany+ysin x+hx, xarctany+ysin x+hx = arctany+ysinxcosy+h y x Wir brauchen nun arctany+ysinxcosy+h y = arctany+ysinx, dh DamithabenwirmitjederKonstantenc ReinPotential womit h y =, alsohy=const ϕx,y= xarctany ysin x+c, gradϕx,y= f x,y Zweiter Teil Bei einem Hersteller von Geräten seien tatsächlich % der fabrizierten Geräte defekt Nun gebe es eine Endkontrollejedes Gerät kommt vor Auslieferung hinein, die mit Wahrscheinlichkeit 98 ein defektes Gerät als solches erkennt und mit Wahrscheinlichkeit ein fehlerfreies Gerät als defekt beurteilt a D sei das Ereignis, dass ein fabriziertes Gerät durch die Endkontrolle fällt, Def sei das Ereignis, dass ein solches Gerät defekt ist, dann ist PD = PD DefPDef+P D Def P Def = =68 b MansolltedieFragepräzisesoauffassen,dassP Def D gemeintist,undmanhat P Def D = P Def D P D = P D Def PDef P D = 68 Nun ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis U := defekt und ausgeliefert unter allen fabrizierten Geräten tatsächlich davon nicht weit: PU = P Def D =P D Def PDef = = Aber man sollte beides unterscheiden, da auch starke Abweichungen bestehen können c WirbezeichnenmitD dasereignis, dasseingerätdurchwenigstenseinederendkontrollenfällt Dass ein defektes Gerät bei beiden Endkontrollen durchkommt, hat die Wahrscheinlichkeit P D Def = =, also PD Def = Dass ein intaktes Gerät bei wenigstens einer der Endkontrollen durchfällt, hat die Wahrscheinlichkeit P D Def = 98 =96 Damit haben wir: PD = PD DefPDef+P D Def P Def = = 876 Es werden also wie zu erwarten mehr Geräte ausgeschlossen, doch nicht viel mehr im Vergleich zu 68 Zur zweiten Frage: P Def D = P D Def 876 = 876 = Es sind also nur noch etwa / der ausgelieferten Geräte defekt Das ist viel weniger als mit nur einer Endkontrolle, nur ein Fünfzigstel

5 SeiX dievariable: AnzahldergezogenenrotenKugeln,dannhatman PX = + + = In einem Büro sind PC ständig in Betrieb Deren Abstürze seien für jeden Einzelnen Poisson-verteilt mitλ= protag DieWahrscheinlichkeitdafür,dasseineinzelnerPC imlaufeeinestageskeinmal abstürzt, ist e =e! Dass alle PC an einem Tag nicht abstürzen, hat also die Wahrscheinlichkeit e FürdreiArbeitstagehatmanfürdeneinzelnenPCdenErwartungswertλ =,alsomitderbezeichnung X fürdieanzahlderabstürzebeieinemeinzelnen PCimLaufevonTagen: PX = e / + =!! e / undentsprechend PX = e / Dass mindestens einer der PC in drei Arbeitstagen wenigstens zwei mal abstürzt, hat also die Wahrscheinlichkeit e / DieZufallsvariablenX,Y seienunabhängig MitµX=,µY=,σX=,σY=hatman dann: µ X =, σ X = σx=, µx+y =, σx+y = + =, µx Y =, σx Y = + =, µxy = wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit! { x Es sei folgende Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben: fx = für x sonst a DieVerteilungsfunktiongehtoffenbarimBereich[,]strengmonotonvonnachmitderstreng monotonsteigendensteigung, die durchf gegebenist Hier istdas genaue Bild, das man grobso habensollte:x 6 8 x Man sollte noch ein wenig mehr zeichnen, zu zeigen, dass die Verteilungsfunktion im Bereich x < denwerthatundimbereichx>denwert,unddassdiedichtenullistaußerhalbdesintervalls [,]

6 b Manhatmit a x dx=a für a hiernur: Fa= a fürx< fxdx= x für x fürx> c SeiX einezufallsvariable,diemitderdichtef verteiltdannhatman: i ii ferner also iii Wir lösen die Gleichung P X = µx= µ X = [ x x x dx= = 9 6 ] x x dx=, =, σ X = 9 6 = 8, daher σx = 8 = x = undbekommen MedianX = = / 79 Der Median ist größer als der Erwartungswert, was man mit der Schiefe der Verteilung erklären kann: Der flache Schwanz nach links zieht den Erwartungswert nach unten, während er zum Median viel weniger beiträgt 6 Wirhabenbein=gefunden: x=stunden Fernerseibekannt,dassdieStreuungderFunktionsdauerXhöchstens Stundenbeträgt,alsoσX WirgebeneinIntervallderForm[ ε,+ε] an, so dass der tatsächliche Erwartungswert µx mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 9% in diesem Intervall liegt a mitdertschyscheffschenungleichungundbeachten,dassµx=µ X P X µ X ε σ X P X µx <ε ε, also σ X Nun lösen wir die Gleichung ε =9 und finden mit der gesuchten positiven Lösung: ε ε = ε Der unbekannte Mittelwert µx liegt also mit Wahrscheinlichkeit 9 weniger als Stunden vom gefundenen empirischen Mittel x = entfernt b mit der entsprechenden Normalverteilung: Das zweiseitige 9%-Vertrauensintervall symmetrisch um µxfürx istaufjedenfallenthaltenin: µx± 96, also liegt der tatsächliche Mittelwert µx mit wenigstens der Wahrscheinlichkeit 9 weniger als 96 6 vomempirischenmittelentfernt Wirkönnenalsoεals6angebenstattinTeila