1, 0 < y < x 2 0, sonst f besitzt alle Richtungsableitungen in (0, 0), ist aber unstetig dort

Transkript

1 ANALYSIS II Lösung der. Klausur vom /7 (von D. Reding Aufgabe (a Richtig sind die Aussagen (iii, (iv und (vii. (b Gegenbeispiel zu (i: f: R R, (x, y x ist stetig, aber nicht partiell differenzierbar nach x (s. Ana Gegenbeispiel zu (ii: xy, (x, y (, f : R x R, (x, y +y, (x, y = (, f ist (wegen f(h, = f(, h = partiell differenzierbar in (,, aber unstetig dort (betrachte z.b. die Folge (x n, y n = ( n, n. Gegenbeispiel zu (v: f: R R, (x, y x ist stetig und unbeschränkt. Gegenbeispiel zu (vi: Vgl. dazu Blatt 8 / Aufgabe :, < y < x f : R R, (x, y, sonst f besitzt alle Richtungsableitungen in (,, ist aber unstetig dort (betrachte z.b. die Folge (x n, y n = ( n, n 3. Gegenbeispiel zu (viii: f: R R, (x, y x ist stetig differenzierbar und erfüllt für G = {(, }: ( ( aber f(x =. max x G f(x = f(, =: f(x,

2 Aufgabe (a (,, 3 (3,, = (,, = + + = 4 (,, 3 (3,, = (,, = + + = 8 = (,, 3 (3,, = (,, = max{,, } = (b f g X := f g = sup = sup x [,] x [,] ( x = f(x g(x = sup ( + x [,] 5 4 = 5 x ( x (c Mit f hat man f n f X = sup f n (x = sup x [,] x [, n] = max{ sup nx, x [, n] Folglich f n f bzgl. X. f n (x max{ sup x [, n] f n (x, sup x [ n, n] f n (x } sup nx } = max{, } = n, n] x [ Für ein g C ([, ], R mit g wähle x (, ] mit g(x. Fixiere N N mit N < x. Dann hat man für alle n N f n g X = sup f n (x g(x x [,] Folglich konvergiert f n in (X, X nicht. f n(x g(x }{{} = g(x }{{ } = > Alternativ: Zeige (f n X ist keine Cauchy-Folge bzgl. X.

3 Aufgabe 3 (a Satz von Heine-Borel: In R n (mit der euklidischen Norm x := x x n ist eine Teilmenge A genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Nun ist A := [, R unbeschränkt, da (x n A mit x n = n. Nach Heine- Borel für (R,. ist A nicht kompakt. (Bemerkung: A ist in der Tat abgeschlossen! (b Betrachte R als metrischen Raum mit der euklidischen Metrik d(x, y := x y. Im metrischen Raum: Kompaktheit Folgenkompaktheit; zu zeigen ist also, dass eine Folge in A = [, existiert, die keine in A konvergente Teilfolge besitzt: Betrachte erneut die Folge x n = n in A. Diese besitzt keine konvergente Teilfolge, da jede Teilfolge x nj = n j unbeschränkt ist. Alternativ: Betrachte R als topologischen Raum mit der Standardtopologie (von der obigen Metrik induziert. Im topologischen Raum: Kompaktheit Überdeckungskompaktheit; zu zeigen ist also, dass eine offene Überdeckung von A = [, existiert, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt: Betrachte dazu die offenen Intervalle U n = (, n R. Diese überdecken ganz A, da U n = (,, aber für endlich viele der U n ist U nj = (, N mit N = max{n j }. n N j j Es ist aber A (, N für alle N N. (c Angenommen es existiert f: [, ] A stetig und surjektiv. Das Intervall [, ] R ist kompakt nach Heine-Borel, da es beschränkt und abgeschlossen ist. Da f stetig ist, sind Bilder kompakter Mengen unter f wieder kompakt. Also ist f([, ] kompakt. Nach Surjektivität von f hat man f([, ] = A. Somit ist A kompakt. Dies widerspricht (a und/oder (b. 3

4 Aufgabe 4 (a Beachte: x R n kritischer Punkt Def f(x = Es ist f(x, y, z = f x f y f z = sin(x sin(y exp(cos(x cos(y exp(cos(x z = genau dann, wenn z =, cos(y = und sin(x = (da cos(y = sin(y. Die kritischen Punkte von f sind also gegeben durch (mπ, π + nπ,, n, m Z (b Betrachte den Punkt x = (, π, (n = m =. Für jedes π > ɛ > hat man f(x + ɛ(,, = sin exp(cos(ɛ + < sin }{{} < exp(cos( + = f(x f(x + ɛ(,, = sin exp(cos( + ɛ > sin exp(cos( + = f(x Folglich existiert keine Umgebung von x, auf der f ein Extremum in x besitzt. Alternativ: Die Hesse-Matrix von f in x = (, π, Hess(f(x = ( e f (x = e x i x j i,j 3 besitzt einen positiven als auch einen negativen Eigenwert, ist also indefinit. Folglich nimmt f in x kein lokales Maximum/Minimum an. 4

5 Aufgabe 5 Es ist F : R 3 Funktionen, mit R total differenzierbar als Komposition von total differenzierbaren und der stetigen totalen Ableitung F (x, y, z = F,, = cos π = DF (x, y, z = ( ( + y sin x + z, cos x + e z cos y, e z sin y + x Insbesondere existieren die partiellen Ableitungen und sind stetig als Komposition von stetigen Funktionen. Weiterhin ist D z,, = e z sin y + x ( π,, = π invertierbar. Nach dem Satz über implizite Funktionen existieren Umgebungen U R von (x, y =, und V R von z = sowie eine (eindeutige stetig differenzierbare Funktion ϕ: U V mit ϕ, =, so dass F (x, y, ϕ(x, y = für alle (x, y U. Weiterhin gilt ( Dϕ, = D z,, D(x,y,, = (, = π, π 5

6 Aufgabe 6 (a Ja, M f ist eine Untermannigfaltigkeit des R der Dimension (eine Ellipse: Betrachte dazu die stetig differenzierbare Funktion F (x, x = ax + bx. Es ist M f Def = f (! = F ( mit RangDF (x, x = Rang(ax, bx = auf der offenen Menge R \{(, } M f. Folglich ist M f eine Untermannigfaltigkeit des R als Lösungsfläche einer C -Funktion auf R \{(, } mit konstantem Rang, mit dim M f = RangDF (x, x = =. (b Nein, M g ist keine Untermannigfaltigkeit des R : Es ist g(x, x = genau dann, wenn x = oder x = ; folglich besteht M g aus zwei sich kreuzenden Geraden in R mit Schnittpunkt in (,. Sei U R eine hinreichend kleine Umgebung von (,. Betrachte das Kreuz K := M g U. Nun ist M g keine -dim UMFK, da K nicht homöomorph zu einer -punktigen Menge ist (da K mehr als einen Punkt enthält. M g ist keine -dim UMFK, da K nicht homöomorph zu einem offenen Interval (a, b R ist (da (K\{(, } aus vier und (a, b\{x } für alle x (a, b aus zwei Komponenten besteht. M g ist keine -dim UMFK, da K nicht homöomorph zu einer offenen Menge des R ist (da es selbst nicht offen ist. (c Da M f eine -dim UMFK des R ist, hat man { ( T x M f = (N x M f = Lin Df a, } = Lin{( a, } = Lin{(, } = {} R Da M g lokal um y = (, M g eine vertikale Gerade ist, hat man T y M g = Lin{(, } = {} R Korrektur: Es ist der Punkt z = (, M g gemeint; in diesem Punkt ist der Tangentialraum nicht definiert, da M g lokal um z keine Untermannigfaltigkeit des R ist. 6

7 Aufgabe 7 (a Beachte den Hinweis: L(α Def = = Dα(t dt = [ ] (et + e t dt = (, cosh (t dt = + [ ] (et e t dt [ ] (et + e t dt = (et e t = (e e Alternativ verwende man direkt, dass cosh (t = sinh(t und + sinh(t = cosh(t. (b Integriere partiell: x cosh(xdx = x(e x + e x dx = x(ex e x e x e x dx = x(ex e x (ex + e x [= x sinh(x cosh(x] (c Verwende (a+(b: α g Def = g(α(t Dα(t dt s.o. = = (e e (e + e t cosh(tdt = [t sinh(t cosh(t] [ ] (e + e = e 7

8 Aufgabe 8 (a Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit Anfangsbedingung ist gegeben durch eine (offene Menge U R n, ein Zeitintervall [, T für ein T >, einen Anfangswert y U und eine parameterabhängige Funktion f: U [, T R n. (b Eine Lösung der Differentialgleichung in (a ist eine (stetig differenzierbare Funktion y: [, T R n mit y( = y und y (t = f(y(t, t für alle t [, T. Aufgabe 9 (a Trenne Variablen und integriere: t t dz dt = z = 3z dz = 3dt z z dz = 3dt ln z(t ln z( = 3t z(t = e 3t }{{} = (b Für den Ansatz y(t = u(te 3t gilt und Einsetzen in die DGL liefert die neue DGL y (t = u (te 3t + 3u(te 3t te t = y 3y = (u (te 3t + 3u(te 3t 3u(te 3t = u (te 3t Integration von bis t liefert nun u(t u( = t u (tdt = t te t dt = u (t = te t Foglich ist mit u( = y(te 3t t= = y( = u(t = te t 4 (e t = 4 die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems. [ ] t te t + t e t dt = te t 4 (e t 8 [ 9 (t + e t ]