Serie 6: MC-Zwischentest - Kapitel I und II

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 14 Dr. Ana Cannas Serie 6: MC-Zwischentest - Kapitel I und II Einsendeschluss: 11. April 14, 17 Uhr Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden. Sie dürfen während des 1. Welche der folgenden Funktionen ist auf ganz R definiert? fx, y) = x + y x + y. b) gx, y) = x + y. ϕx, y) = x + ln y. ψx, y) = tanx + y). Die Funktion f ist nur für x y, die Funktion ϕ nur für y und x ln y und die Funktion ψ nur für x + y R\{kπ + π/ k Z} erklärt.. Die Niveaukurven der Funktion fx, y) = x + 9y sind b) Geraden. Kreise. Ellipsen. Parabeln. Die Niveaukurve zum Niveau c erfüllt die Gleichung x + 9y = c also x c + y c = 1. 9 Somit handelt es sich um eine Ellipse um den Ursprung mit Halbachsen a = c c und b = 3.

2 3. Es sei f : R R eine beliebige Funktion. Welche der folgenden Aussagen über die Niveaulinien von f ist korrekt? Eine Niveaulinie kann sich nie selbst schneiden. b) Jeder Punkt liegt auf genau einer Niveaulinie. Jede Niveaulinie geht durch genau einen Punkt. Keine der obigen Aussagen. Die Niveaulinie der Funktion f zum Niveau c ist die Lösungsmenge der Gleichung fx, y) = c. Ein beliebiger Punkt x, y ), der diese Gleichung erfüllt, liegt daher auf der Niveaulinie zum Niveau c = fx, y ) und auf keiner anderen. Also ist b) richtig und falsch. Auch ist falsch; zum Beispiel hat die Kurve xy = jeweils einen Selbstschnittpunkt. Antwort schliesslich ist schon deshalb falsch, weil die Niveaulinien im allgemeinen wirklich Linien sind und aus mehreren Punkten bestehen. 4. Die Schnittkurve von der Form x = Konst. der Funktion fx, y) = x +3y sind Geraden. b) Parabeln. Hyperbeln. Kreise. Für x = Konst. = c gilt offenbar fc, y) = c + 3y = z, was der Gleichung einer um die z-achse positiv geöffneten Parabel entspricht.

3 5. Die Niveauflächen der Funktion sind f : R 3 R, fx, y, z) = x + y z, Ebenen. b) Paraboloide. Kegel. Sphären. Die Niveaufläche von f zum Niveau c R ist durch c = fx, y) = x + y z bzw. z = x + y c gegeben und ist also ein Paraboloid. 6. Sei fx, y) = x sinxy). Die partielle Ableitung von f nach x ist b) cosxy) xy sinxy). y cosxy). x cosxy). xy cosxy) + sinxy). Man verwendet die Produktregel und für den Sinus die Kettenregel und erhält fx, y) = sinxy) + x cosxy) y. x

4 7. Sei fx, y) = cosx)) y. Dann gilt für die partiellen Ableitungen von f fx, y) x = y tanx)cosx)) y sinx) und fx, y) y = sinx)) y. b) fx, y) x = y tanx)cosx)) y und fx, y) y = lncosx))cosx)) y. Richtig. Mit der Kettenregel folgt fx, y) x = x elncosx))y ) = e lncosx))y x lncosx))y = cosx)) y sinx) y = y tanx)cosx))y cosx) und fx, y) y = e lncosx))y) = e lncosx))y y y lncosx))y) = cosx)) y lncosx)). fx, y) x = lncosx))cosx)) y und Keine der obigen Gleichungen. fx, y) y = ycosx)) y 1 sinx). 8. Sei fx, y) = x + y. Dann ist f yy gleich y. x + y ) 1 b) x. x + y ) 1 x. x + y ) 3 y. x + y ) 3 Man berechnet mit der Kettenregel f y x, y) = 1 x + y ) 1 y = x + y ) 1 y und unter Anwendung der Produktregel f yy x, y) = x + y ) 3 1 ) y y + x + y ) 1 = y + x + y ) x + y ) 3 x =. x + y ) 3

5 9. Sei fx, y) dreimal stetig differenzierbar. Betrachten Sie die partiellen Ableitungen dritter Ordnung. Diese sind höchstens 4 verschiedene Funktionen. b) 6 verschiedene Funktionen. 8 verschiedene Funktionen. 9 verschiedene Funktionen. Der Satz von Schwarz sagt uns, dass für eine dreimal stetig differenzierbare Funktion die Reihenfolge der Differenzierung bis zur dritten Ableitung keine Rolle spielt. Deswegen können höchstens die Ableitungen 3 f x 3 x, y), 3 f x, y), y3 3 f x x, y) und 3 y f y x, y) x verschieden sein. 1. Die Tangentialebene an den Grafen der Funktion fx, y) = x + y )e y im Punkt 1, ) b) ist durch die Gleichung x = y z 1 gegeben. ist durch die Gleichung y = z x 1 gegeben. ist durch die Gleichung z = x y 1 gegeben. gibt es nicht, da der Punkt nicht auf der Fläche liegt. Für fx, y) = x + y )e y gelten f x x, y) = xe y, f y x, y) = ye y x + y )e y, also insbesondere f x 1, ) = und f y 1, ) = 1. Damit gilt z = f1, ) + f x 1, )x 1) + f y 1, )y ) = 1 + x 1) y = x y 1 für die Tangentialebene im Punkt 1,, fx, y)) = 1,, 1).

6 11. Die Linearisierung der Funktion fr, θ) = r e θ um den Punkt 1, π) ist e π 1 + r + θ π). b) e π 1 + r + θ). e π 1 r θ). e π 1 + π + r + θ). Die Linearisierung von f um den Punkt 1, π) ist gegeben durch L f r, θ) = f1, π) + f r 1, π)r 1) + f θ 1, π)θ π) = e π + [ re θ] 1,π) r 1) + [ r e θ] θ π) 1,π) = e π + e π r 1) + e π θ π) = e π 1 + r + θ π) = e π 1 + r + θ π).

7 1. Sei z = lnx + y ), x = u und y = 3u. Dann ist z u gleich 1 u. b) u. 3 u. 4 u. Mit x = u und y = 3u folgt z = ln4u + 9u ) = ln13u ) und somit z u = 1 13u 6u = u. Alternative: Man kann auch die Kettenregel ) auf die Verknüpfung der Funktionen fx, y) = lnx + y ) und γu) = anwenden und erhält dann u 3u z u = u f γ)u) = dfx, y) {x,y)=u,3u)} γu) ) ) = x y u,3u) x +y x +y 3 = ) ) 4u 6u 8u + 18u 13u 13u = 3 13u = u.

8 13. Seien fx, y ) = und f y x, y ). Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Dann ist die Ableitung der in einer Umgebung von x durch fx, φx)) = definierten Funktion φ gegeben durch φ x ) = f xx, y ) f y x, y ). b) Ohne eine Funktion φ explizit zu kennen, ist es unmöglich, deren Ableitung zu berechnen. Nach der Kettenregel ist d f f fx, φx)) = x, φx)) + dx x y x, φx)) φ x). Falls f x x, y ), dann ist auch in einer Umgebung von x eine Funktion durch fψy), y) = definiert. Dies folgt alles direkt aus dem Satz über Implizite Funktionen.

9 14. Die Lemniskate x 1 x ) = y lässt sich b) in der Nähe des Punktes, ) als Graph einer Funktion von x darstellen. in der Nähe des Punktes, ) als Graph einer Funktion von y darstellen. in der Nähe des Punktes 1, ) als Graph einer Funktion von x darstellen. in der Nähe des Punktes 1, ) als Graph einer Funktion von y darstellen. Die Kurve ist durch fx, y) = x 1 x ) y = gegeben.5 fx, y) = mit f x x, y) = x1 x ) und f y x, y) = y. In jeder Umgebung des Ursprungs gibt es zu jedem x bzw. y offensichtlich stets zwei y- bzw. x-werte, so dass fx, y) =. Im Punkt 1, ) gelten f x 1, ) = 1 ) = und f y 1, ) =, daher lässt sich die Kurve um diesen Punkt zwar nicht als Graph einer Funktion von x aber als Graph einer Funktion von y darstellen.

10 15. Die kritischen Punkte der Funktion fx, y) = x 3 y 1xy + 4y sind, ),, ),, ),, 1),, 1). b), ),, ),, ), 1, ), 1, )., ),, ),, ),, 1),, 1)., ),, ),, ), 1, ), 1, ). Man berechnet f x x, y) = 3x y 1y = 3yx 4) = 3yx )x + ) =! und Aus f y x, y) = folgt f y x, y) = x 3 1x + 8y! =. und eingesetzt in f x x, y) = y = 1 8 x 1 x) 1 + x)! = 3 8 x 1 x) 1 + x)x )x + ). Daher sind Kandidaten für kritische Punkte bei x {, ±, ± 1 }. Einsetzen in die Funktion oder die Gleichung gegeben durch f y x, y) = ergibt die entsprechenden y-werte. 16. Sei fx, y) : G R stetig differenzierbar, wobei G R der Definitionsbereich von f ist. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? f hat in x, y ) ein lokales Maximum bzw. Minimum f x x, y ) = f y x, y ) =. b) f x x, y ) = f y x, y ) = f hat in x, y ) einen kritischen Punkt. f hat in x, y ) ein lokales Maximum fx, y) fx, y ) für alle x, y) G in der Nähe von x, y ). fx x, y ) = f y x, y ) = f hat in x, y ) ein lokales Maximum bzw. Minimum. a) folgt aus der Theorie aus der Vorlesung, b) und c) entsprechen der Definition. Aber d) ist falsch, das Gegenbeispiel wäre ein Sattelpunkt.

11 17. Sei fx, y) : G R stetig differenzierbar, wobei G R der Definitionsbereich von f ist. Sei x, y ) ein kritischer Punkt von f, d.h. f x x, y ) = f y x, y ) =. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? f xx x, y )f yy x, y ) f xyx, y ) < x, y ) ist ein Sattelpunkt. b) fxx x, y )f yy x, y ) f xyx, y ) > x, y ) ist ein Sattelpunkt. f xx x, y )f yy x, y ) f xyx, y ) > und f xx x, y ) > x, y ) ist ein lokales Minimum. f xx x, y )f yy x, y ) f xyx, y ) > und f xx x, y ) < x, y ) ist ein lokales Maximum. Dies folgt direkt aus den Kriterien aus der Vorlesung, wobei = f xx x, y )f yy x, y ) f xyx, y ).

12 18. Wir betrachten die Funktion f : R R, fx, y) = x + y + 6 x y. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Funktion f hat ihren einzigen kritischen Punkt im Ursprung. Es gilt ) ) ) fxx, y) x + 6 y 6 x = =, f yx, y) y + 6 x 6 ) y und da 6 6, ist, ) der einzige kritische Punkt. b) Es gelten f xx, ) > und f yy, ) >. Die Einschränkungen von f auf die x- und y-achse nehmen im Ursprung also ein lokales Minimum an. Es gilt f xx, ) = f yy, ) = >. Die Funktion f nimmt im Ursprung ein lokales Minimum an. Auf den winkelhalbierenden Geraden y = x bzw. y = x etwa gilt fx, y) = x + x + 6 x = 8 x > fx, y) = x + x 6 x = 4 x <, bzw. für alle x. Die Funktion f nimmt also in jeder noch so kleinen) Umgebung des Ursprungs sowohl positive als auch negative Werte an. Die Funktion f nimmt kein lokales Minimum an. Da f auf ganz R definiert ist, wäre jede Minimalstelle auch ein kritischer Punkt. Der einzige solche Punkt liegt aber im Ursprung und ist keine Minimalstelle von f. ) ) fxx x, y) f Es ist xy x, y) 6 =. Die Eigenwerte sind bestimmt durch f yx x, y) f yy x, y) 6 = λ 6 6 λ = λ) 36 = λ 4λ 3 = λ 8)λ + 4), also λ 1 = 4, λ = 8. Der Ursprung ist also ein Sattelpunkt von f.

13 19. Der grösste Wert der Funktion fx, y) = xy auf dem Kreis x + y = 1 ist 1. b) Wir verwenden Lagrange Multiplikatoren mit der Nebenbedingung φx, y) = x + y 1. Dann muss gelten f x x, y) + φ x x, y) = y + λ x = f y x, y) + φ y x, y) = resp. x + λ y =. φx, y) = x + y 1 = Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt gibt y λ) y = und somit λ = ± 1. Daraus folgt, dass x = ±y und eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt das folgende Kandidaten für kritische Punkte 1, ± 1 ) und 1, ± 1 ). Offensichtlich wird die Funktion f maximal für dann ist f ± 1, ± 1 ) = 1. 1, 1 ) und 1, 1 ),

14 . Welcher Punkt P = x, y) auf dem Hyperbelast x y = 1, x >, hat vom Punkt, 4) auf der y-achse den kleinsten Abstand? Der Punkt P = 4, ). b) Der Punkt P = 7, 4). Der Punkt P = 3, ). Einen solchen Punkt gibt es nicht. Das Quadrat des Abstandes des Punktes P = x, y) vom Punkt, 4) ist durch fx, y) = x + y 4) gegeben. Da der Punkt zudem auf der Hyperbel liegt, gilt ϕx, y) = x y 1 =. In einer relativen Minimalstelle von d gelten also f x x, y) λϕ x = x λx = x1 λ) =, f y x, y) λϕ y = y 4) + λy = y1 + λ) 8 =, ϕx, y) = x y 1 =. Aufgrund der letzten Gleichung gilt x, so dass aus der ersten Gleichung λ = 1 und damit aus der zweiten y = folgt. Wiederum aus der dritten Gleichung folgt damit schliesslich x = 1 + 4, also, wegen x >, x = 4. Es ist geometrisch leicht ersichtlich, dass es sich bei P tatsächlich um ein Minimum von d handeln muss: Punkte ausserhalb einer abgeschlossenen Kreisscheibe um, 4) mit hinreichend grossem Radius r kommen nämlich nicht in Frage und der verbleibende Hyperbelabschnitt ist beschränkt und abgeschlossen. Der Abstand d nimmt dort also sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an, wobei er ersteres offensichtlich in den Randpunkten annimmt., 4) r P

15 1. Wir betrachten die Funktion f : R, x, y) x y4 x y), auf dem durch die Geraden x =, y = und x + y = 6 begrenzten Dreieck. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Funktion f nimmt ihren kleinsten Wert auf dem Rand von an. b) Die Funktion f nimmt ihren grössten Wert auf dem Rand von an. Die Funktion f ist auf dem Definitionsbereich überall < 17. Das Verhältnis von grösstem und kleinstem Funktionswert der Funktion f auf dem gesamten Definitionsbereich ist < Es gilt ) fx x, y) = f y x, y) ) xy4 x y) x y x 4 x y) x = y ) xy8 3x y) x = 4 x y) ) in den kritischen Punkten, C), C R, 4, ) und, 1) mit den Funktionswerten f, C) = f4, ) = und f, 1) = 4. Allgemein ist offensichtlich fx, y) = für x = oder y =, f verschwindet also auf zwei der drei Seiten des Dreiecks. Auf der verbleibenden Seite von gilt mit fx, y) = x 6 x)4 x + y)) = x x 6) =: ϕx), ϕ x) = 6x 4x und ϕ x) = 1x 4. f nimmt also auf dieser Seite in 4, ) das Minimum f4, ) = ϕ4) = 64 an. Somit ist 4 = 16 < 17 der grösste, 64 der kleinste Wert und 4 64 = 1 16 < 1 17.

16 . Wir betrachten die Funktion f : D R, fx, y) = x 3 + x 3x + )y, D = { x, y) R x + y 1 }. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Die Funktion f hat ihren einzigen kritischen Punkt im Ursprung. In einem kritischen Puntk gilt f xx, y) = x3x + 4) 3y = f yx, y) = y3x + ) = Aus der zweiten Gleichung folgt, dass entweder 3x =, was 3y = x widerspricht, oder y =, was x = oder 3x = 4 nach sich zieht. Der Punkt 4/3, ) liegt aber wegen 16/9 > 1 nicht in der Einheitskreisscheibe D, so dass nur der Ursprung als kritischer Punkt übrig bleibt. b) Die Funktion f besitzt im Ursprung einen Sattelpunkt. Es gelten f xxx, y) = f yyx, y) = 6x + 4 und f xyx, y) = 6y. Der Ursprung ist somit wegen fxx, ) fxy, ) f xy, ) f yy, ) = 4 4 ein Sattelpunkt. Die Funktion f nimmt im Ursprung ein lokales Extremum an. Die Funktion f nimmt ein globales Extremum an. Da die Funktion f stetig und die Einheitskreisscheibe D beschränkt und abgeschlossen ist, nimmt f auf D sowohl ein Minimum als auch ein Maximum annehmen. Da es im Inneren keine Extremstellen gibt, müssen diese auf dem Rand liegen.

17 3. Betrachten Sie lineare Systeme von der Form dx ) ) ) dt A B x dy =. C D y dt Seien λ 1 und λ die Eigenwerte und sei p = A + D = λ 1 + λ die Spur, q = AD BC = λ 1 λ die Determinante der Koeffizientenmatrix und = p 4q = λ 1 λ ). In welchem Fall ist das System asymptotisch stabil? q > und p <. b) q >, p < und >. q < und p >. q <, p > und <. Die Grafik beschreibt die Klassifizierung von Phasenporträts in Abhängigkeit von p und q. Offensichtlich sind diejenigen Phasenportäts stabil, die im. Quadranten liegen, also dort wo p < und q >. Genau dann sind die Eigenwerte λ 1 und λ beide reellwertig und negativ oder komplex konjugiert mit negativem Realteil.

18 4. Die Fixpunkte des Systems { ẋ = x + 1)y 4) ẏ = xy. und ihre entsprechende Stabilität sind 1, ) ist asymptotisch stabil,, ) instabil,, ) instabil. b) 1, ) ist asymptotisch stabil,, ) inkonklusiv,, ) stabil. 1, ) ist instabil,, ) inkonklusiv,, ) instabil. 1, ) ist instabil,, ) instabil,, ) stabil. Man findet die Fixpunkte 1, ),, ±) durch Lösen der Gleichungen { = x + 1)y 4). = xy Die Linearisierung des Systems ist gegeben durch ) y L = 4) yx + 1). y x Dann ist für 1, ) L = ) 4 1 mit 4, 1 zwei verschiedene reellwertige negative Eigenwerte. Das heisst, es handelt sich um einen stabilen Knoten der ebenfalls asypmtotisch stabil ist. Für, ±) ist ) ±4 L = ± mit Eigenwerten λ = ±. Diese sind beide reell mit unterschiedlichen Vorzeichen. Es handelt sich also jeweils um Sattel, die instabil sind.

19 5. Die Wechselwirkung von zwei Populationen wurde durch das folgende System modelliert { ẋ =.5x +.1xy ẏ =.9y.3y. +.xy Welche Aussage beschreibt am besten diese Populationen? b) Räuber-Beute Wechselwirkung, wobei x die Räuber-Population und y die Beute-Population darstellt. Räuber-Beute Wechselwirkung, wobei y die Räuber-Population und x die Beute-Population darstellt. Kooperierende Populationen, wobei das Wachstum der x-population mangels der y-population logistisch ist. Kooperierende Populationen, wobei das Wachstum der y-population mangels der x-population logistisch ist. Falls die x-population nicht existiert, gilt ẏ =.9y.3y =.9 was ein logistisches Wachstum beschreibt. 1.3 ).9 y,

20 6. Der Wert des Doppelintegrals ist 4 π π 5 xy + π sinx)) dx dy 6. b) π Man berechnet π 5 xy + π sinx)) dx dy = = = = 5 4 π 4 π 4 π 5 [y x [ 5 π π 5 4 ] π + π cosx)) dy ) ] π y + π 5 π) dy ) y + π dy = ) ) 4 + π 4 π π [ π y )] 4 π 5 + πy = ) = 6.

21 7. Welches der folgenden Integrale ist nicht gleich den anderen? 1 x x dy dx. b) 1 y x dx dy. 1 y 1 1 y y dx dy. x dx dy. In und ist der Integrationsbereich durch dieselbe Bedingung y x 1 gegeben. Da auch der Integrand gleich ist, stimmen diese beiden Integrale überein. Dasselbe gilt für das Integral, welches aus durch Vertauschung der Variablen x und y entsteht. Als einzig mögliche korrekte Antwort verbleibt daher b). Wegen und 1 y 1 y x dx dy = y dx dy = 1 1 x y dy = 1 y x y dy = 1 ist b) tatsächlich von den anderen verschieden. y dy = y3 6 y dy = y3 3 1 = = 1 3

22 8. Der Wert des Integrals da, A wobei A dem Gebiet unter der Kurve y = 4 x im 1. Quadranten entspricht ist b) Es gilt A = { x, y) x, y, y 4 x }. Somit integrieren wir zuerst entlang y von bis 4 x und dann x von bis, da = A 4 x 1 dy dx = 4 x ) dx = [4x 3 ] x3 = 4 3 = 8. 3

23 9. Mittels Wechsel der Integrationsreihenfolge ist das Integral äquivalent zu 3 3 fx, y) dy dx x fx, y) dy dx b) 3 y y 3 y 3 y fx, y) dx dy. fx, y) dx dy. 3 y 3 3 fx, y) dx dy. 3 3 fx, y) dx dy + 3 x x 3 fx, y) dx dy. Es ist 3 3 fx, y) dy dx x fx, y) dy dx = wobei x y 3 und 3 x 3 implizieren, dass = 3 x y und 3 y x 3 y 3 3 fx, y) dy dx fx, y) dx dy, respektive, man sieht leicht, dass das Integrationsgebiet begrenzt ist durch x = y, x = 3 und y = 3.

24 3. Der Wert des Doppelintegrals wobei R = [, 1] [, ], liegt im Intervall [ e, ]. b) [, ]. [, e 6 ]. R e x +y da, [ e 6, ]. Man schätzt die Funktion e x +y auf dem Gebiet R wie folgt ab, 1 = e e + = e 6, wobei wir verwenden, dass die Exponentialfunktion strikt monoton wachsend ist und auf R ist x [, 1] und y [, ]. Ausserdem ist der Flächeninhalt da = 1 = und daher gilt R e x +y da e 6. R

25 31. Der Schwerpunkt S = x, y) der zwischen der Parabel y = x x und der x-achse gelegenen homogenen Fläche endlichen Inhalts) ist ) S = 5, 1. b) S = 1, ). 5 S = 5, ). 5 Der Ursprung. Der Schwerpunkt S = x, y) liegt offensichtlich auf der Symmetrieachse der Parabel, 1 S 1 es gilt also x = 1. Der Inhalt der begrenzten Fläche ist A = x x dy dx = x x ) dx = und die Ordinate des Schwerpunktes somit 1 A x x y dy dx = 3 4 = 3 8 = 3 8 y x x dx = 3 8 ) x3 3 x = = 4 3 x 4 + 4x 3 + 4x ) dx = ) = = 5. x x ) dx x x4 + 4x3 3 )

26 3. Betrachten Sie das Gebiet D im ersten Quadranten der xy-ebene, das durch x =, y = und y = 8x + 16 bergrenzt wird. Welche der folgenden Ausdrücke beschreibt das Gebiet in Polarkoordinaten? π θ π, r 16 sinθ) + 8 cosθ). b) θ π, r 16 sinθ) + 8 cosθ). π θ π, r 8 sinθ) + 16 cosθ). θ π, r 8 sinθ) + 16 cosθ). Es ist D = {x, y) x, y, y 8x + 16}. Transformation in Polarkoordinaten mit x = r cosθ) und y = r sinθ) liefert [ r cosθ), r sinθ) cosθ), sinθ) θ, π ] und somit ist r sinθ) 8r cosθ) + 16 r 16 sinθ) + 8 cosθ), { D = r, θ) [, θ π ] } 16 und r. sinθ) + 8 cosθ) ] \]! \

27 33. Unter Verwendung von Polarkoordinaten ist das Integral x + 4y )da, D wobei D die obere Hälfte des Kreises mit Radius um den Ursprung ist, äquivalent zu π r cosθ) + 4r sin θ) ) dr dθ. b) π r cosθ) + 4r sin θ) ) dr dθ. π r cosθ) + 4r sin θ) ) dr dθ. π r cosθ) + 4r sin θ) ) dr dθ. Die Transformation in Polarkoordinaten liefert D = {r, θ) r, θ [, π]} mit x = r cosθ) und y = r sinθ). Dann ist x + 4y ) da = π r cosθ) + 4r sin θ) ) r dr dθ D = π r cosθ) + 4r sin θ) ) dr dθ.

28 34. Das Integral der Funktion fx, y) = 4 x y über die Menge B = { x, y) x, y, x + y 4 } ist b) B B B B fx, y) dx dy = π 3. fx, y) dx dy = 4π 3. fx, y) dx dy = 16π 3. fx, y) dx dy = 3π 3. Man führ einen Wechsel in Polarkoordinaten durch wobei x = r cosφ) y = r sinφ) dxdy = rdrdφ fr, φ) = 4 r mit r = x + y 4. Daher ist r [, ] und aus x, y folgt cosφ), sinφ), also [ φ, π ]. Dann ist B fx, y)dxdy = π 4 r r dr dφ = π ) 4 r 3 3 = π 8 3 = 4π 3. = π [ Alternative: Die Funktion f ist auf B, und die Menge der Punkte zwischen ihrem Graphen und der xy-ebene ist ein Viertel der Halbkugel H mit Zentrum O und Radius. Das Integral berechnet daher das Volumen eines Achtels der Vollkugel mit Radius r; dieses beträgt 4 3 πr3 ; also gilt fx, y) dx dy = B π3 = 4 3 π. ]

29 35. Gegeben ist das Integral I = x + y D dx dy, wo D das Dreieck mit den Eckpunkten, ), 1, ), 1, 1) bezeichnet. Je nach Wahl des Koordinatensystems und der Reihenfolge der Integrationen lässt sich I auf verschiedene Arten als zweifaches Integral ausdrücken. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? I = 1 1 x + y dy dx. b) I = I = I = 1 x π/4 1/ cos ϕ 1 1 y x + y dy dx. r dr dϕ. x + y dx dy. Der Integrationsbereich des ersten Integrals ist das Einheitsquadrat im ersten Quadranten mit Ecke im Ursprung. Im zweiten und vierten Integral wird über D in kartesischen, im dritten in Polarkoordinaten integriert. 36. Ein ebener Ring ist von zwei konzentrischen Kreisen mit den Radien R bzw. r < R begrenzt. Die Massendichte des Rings nimmt umgekehrt proportional dem Abstand vom Mittelpunkt der Kreise ab und ist auf dem Innenrand gleich Eins. Welche Masse hat der Ring? π R r). b) π R r ). π r R r). π R R r). Da die Massendichte ρ des Rings umgekehrt proportional dem Abstand s vom Mittelpunkt der Kreise abnimmt und ρr) = 1 gilt, ist ρs) = r/s und also Ring ρ dx dy = π R r ρ s ds dϕ = π R r r ds dϕ = π r R r).

30 37. Das Volumen des Körpers E berandet durch z = 3 + x + y und z = 6 ist b) 9π. 7π. 9π. 3π. Es ist E = { x, y, z) z 6, 3 + x + y z }. Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten erhalten wir z = 3 + x + y = 3 + r und mit z = 6 folgt r = 3. Also ist 3 π 6 V ole) = r dz dφ dr = 3+r = π [ 14 ] 3 3 r ) 3 = π π 3 r ) r dr ) = 9π.

31 38. Es sei V Z das Volumen eines gegebenen Kreiszylinders, V P das Volumen desjenigen Rotationsparaboloids, das mit diesem Zylinder Grundfläche und Höhe gemeinsam hat. Dann gilt V P = 1 3 V Z. b) VP = 1 V Z. V P = 3 V Z. keine der obigen Aussagen. Die Gleichung der rotierten Parabel sei z = ax, a >, der Zylinder habe den h Grundkreisradius r = a und die Höhe h. Dann ist V Z = πr h = πh a und V P = h π = π a h z/a z dz = π a Das Resultat geht auf Archimedes zurück. h r dr dϕ dz = π z h r = 1 πh a = 1 V Z. z/a dz

32 39. Gegeben sei der Punkt r, ϕ, θ) =, π 6, ) 5π 6 in Kugelkoordinaten für die Definition siehe Vorlesungsnotizen). Welchem Punkt entspricht er in kartesischen Koordinaten? 1, ) 3, 3. b) 3, 1, ) 3. 3 ), 1, 3. 3, 3, 1 ). Nach Definition gilt wobei θ [, π] und ϕ [, π). x = r sinθ) cosϕ) y = r sinθ) sinϕ) und z = r cosθ),

33 4. Der Kugeloktant K = {x, y, z) R x + y + z R, x, y, z }, R >, sei mit der Masse der konstanten Dichte 1 belegt. Der Schwerpunkt S = x, y, z) von K ist 1 S = 8 R, 1 8 R, 1 ) 8 R. b) S = 3 8 R, 3 8 R, 3 8 R ). S = 5 8 R, 5 8 R, 5 ) 8 R. Der Ursprung. Die Masse bzw. das Volumen von K ist V = πr3 = πr3 6. Für seine Schwerpunktkoordinaten gilt 1 V 1 V 1 V Dabei sind K x dx dy dz = 1 V K K = 1 V y dx dy dz = 1 V = 1 V z dx dy dz = 1 V π/ = 1 V sin ϕ dϕ = π/ π/ π/ R R r 3 dr π/ π/ π/ R R r 3 dr π/ π/ π/ R R π/ r 3 dr π/ R r sin ϑ cos ϕ r sin ϑ dr dϕ dϑ cos ϕ dϕ π/ sin ϑ dϑ, r sin ϑ sin ϕ r sin ϑ dr dϕ dϑ sin ϕ dϕ π/ sin ϑ dϑ, r cos ϑ r sin ϑ dr dϕ dϑ 1 dϕ π/ r 3 dr = r4 4 sin ϑ cos ϑ dϑ. R = R4 4, cos ϕ dϕ = sin ϕ π/ = 1, π/ sin ϑ cos ϑ dϑ = cos ϑ sin ϑ dϑ = π 4, π/ = 1. Alle Komponenten der Schwerpunktes sind also 1 V R 4 4 π 4 = 6 πr 3 πr 4 16 = 3 8 R.