Mathematik II. Kapitel III: Funktionen mit mehreren Variablen. 13. Mai 2015

Transkript

1 13. Mai 2015

2 f(x,y) = sin(x 2 +y 2 )

3 f(x,y) = sin x 2 +y 2 x2 +y 2 +1

4 f(x,y) = x y x 2 +y 2

5 f(x,y) = x 2 y

6 Niveaulinien von f(x,y) = 4 x 2 y 2

7 f(x,y) = 1 x2 y 2 x

8 f(x,y) = x 2 +y 2

9 f(x,y) = x 2 +y 2

10 f(x,y) = x y x 2 +y 2

11 f(x,y) = x y x 2 +y 2

12 f(x,y) = x 2 y,a = ( 2,4)

13 Der Gradient, AB 10 Gradient von f an der Stelle x = a: f(a) = grad f(a) := ( f x 1 (a),..., f x n (a)) T

14 Der Gradient, AB 10 Gradient von f an der Stelle x = a: f(a) = grad f(a) := ( f x 1 (a),..., f x n (a)) T Eigenschaften grad f(a) zeigt in Richtung des größten Anstiegs der Funktion f im Punkt x = a. Sei K eine Höhenlinie von f und a ein beliebiger Punkt auf K. Dann gilt: grad f(a) steht senkrecht auf dem Tangentenrichtungsvektor an K im Punkt a.

15 f(x,y) = 4 x 2 y 2, a = (1, 1)

16 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Sei x = (x 1,...,x n ),dx = (dx 1,...,dx n ),a = (a 1,...,a n ) Fehlerrechnung exakte Werte: x = (x 1,...,x n ),f(x) = f(x 1,...,x n ) Näherungswerte: a = (a 1,...,a n ),f(a) Abweichungen: x = dx = x a, f(a,dx) = f(x) f(a) f(a,dx) df(a,dx) = n f x (a)dx i für x nahe a i=1

17 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Sei x = (x 1,...,x n ),dx = (dx 1,...,dx n ),a = (a 1,...,a n ) Fehlerrechnung exakte Werte: x = (x 1,...,x n ),f(x) = f(x 1,...,x n ) Näherungswerte: a = (a 1,...,a n ),f(a) Abweichungen: x = dx = x a, f(a,dx) = f(x) f(a) f(a,dx) df(a,dx) = n f x (a)dx i für x nahe a i=1 Lineare Approximation von f(x) für x nahe a bekannt: f(a), f x i (a)

18 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Sei x = (x 1,...,x n ),dx = (dx 1,...,dx n ),a = (a 1,...,a n ) Fehlerrechnung exakte Werte: x = (x 1,...,x n ),f(x) = f(x 1,...,x n ) Näherungswerte: a = (a 1,...,a n ),f(a) Abweichungen: x = dx = x a, f(a,dx) = f(x) f(a) f(a,dx) df(a,dx) = n f x (a)dx i für x nahe a i=1 Lineare Approximation von f(x) für x nahe a bekannt: f(a), f x i (a) gesucht: f(x) mit x = a+dx

19 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Sei x = (x 1,...,x n ),dx = (dx 1,...,dx n ),a = (a 1,...,a n ) Fehlerrechnung exakte Werte: x = (x 1,...,x n ),f(x) = f(x 1,...,x n ) Näherungswerte: a = (a 1,...,a n ),f(a) Abweichungen: x = dx = x a, f(a,dx) = f(x) f(a) f(a,dx) df(a,dx) = n f x (a)dx i für x nahe a i=1 Lineare Approximation von f(x) für x nahe a bekannt: f(a), f x i (a) gesucht: f(x) mit x = a+dx f(x) = f(a)+ f(a,dx) f(a)+df(a,dx) = f(a)+ n f x (a)(x i a i ) i=1

20 Tangentialebene: f(x,y) = 4 x 2 y 2,(x,y) = (1, 1 2 )

21 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Tangentialebene (n = 2,a = (x 0,y 0 )) z = f(x 0,y 0 )+f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 )

22 Tangentialebene: f(x,y) = 4 x 2 y 2,(x,y) = (1, 1 2 )

23 partielle Elastizität, AB 8 partielle Elastizität von y(x 1,...,x n ) bzgl x i : ε y,xi = analog zum vollständigen Differential gilt die Beziehung y x i y x i Für Cobb-Douglas-Funktionen dy y = ε y,x 1 dx 1 x ε y,xn dx n x n, y = f(x) = C x α 1 1 x α xn αn gilt ε y,xi = α i i = 1,...,n

24 Kreuzpreiselastizität, AB 8 Gegeben: n konkurrierende Produkte: P 1,...,P n Absatz des Produktes P j in Abhängigkeit von den Preisen p 1,...,p n : x j (p 1,...,p n ),j = 1,...,n Kreuzpreislastizität: ε xj,p k = x j p k x j p k - Elastizität des Absatzes x j des Produktes P j bzgl. des Preises p k des Produktes P k

25 Beispiel Ein Unternehmen bietet zwei ähnliche Produkte auf dem Markt an. Bei beiden Produkten ist das Unternehmen der einzige Anbieter, so daß die Absatzmengen x 1 und x 2 (in ME) im wesentlichen von den beiden eigenen konkurrierenden Preisen p 1 und p 2 (ine) abhängen. Dabei gilt: x 1 (p 1,p 2 ) = 110 7p 1 +p 2 x 2 (p 1,p 2 ) = 150+2p 1 9p 2.

26 , AB 12 Ein Punkt a D heißt lokale Maximalstelle (bzw. lokale Minimalstelle) von f auf D, falls es eine ǫ-umgebung U ǫ (a) := {x R n x a < ǫ} gibt, so daß gilt: für alle D U ǫ (a). f(x) f(a) (bzw. f(x) f(a)) ( )

27 , AB 12 Ein Punkt a D heißt lokale Maximalstelle (bzw. lokale Minimalstelle) von f auf D, falls es eine ǫ-umgebung U ǫ (a) := {x R n x a < ǫ} gibt, so daß gilt: f(x) f(a) (bzw. f(x) f(a)) ( ) für alle D U ǫ (a). Gilt die Ungleichung ( ) für alle x D, so heißt a eine globale Maximalstelle (bzw. globale Minimalstelle) von f auf D

28 , AB 12 Ein Punkt a D heißt lokale Maximalstelle (bzw. lokale Minimalstelle) von f auf D, falls es eine ǫ-umgebung U ǫ (a) := {x R n x a < ǫ} gibt, so daß gilt: f(x) f(a) (bzw. f(x) f(a)) ( ) für alle D U ǫ (a). Gilt die Ungleichung ( ) für alle x D, so heißt a eine globale Maximalstelle (bzw. globale Minimalstelle) von f auf D f(a) heißt lokales bzw. globales Maximum bzw. Minimum von f auf D, falls a D eine lokale bzw. globale Maximalstelle bzw Minimalstelle ist.

29 , AB 12 Ein Punkt a D heißt lokale Maximalstelle (bzw. lokale Minimalstelle) von f auf D, falls es eine ǫ-umgebung U ǫ (a) := {x R n x a < ǫ} gibt, so daß gilt: f(x) f(a) (bzw. f(x) f(a)) ( ) für alle D U ǫ (a). Gilt die Ungleichung ( ) für alle x D, so heißt a eine globale Maximalstelle (bzw. globale Minimalstelle) von f auf D f(a) heißt lokales bzw. globales Maximum bzw. Minimum von f auf D, falls a D eine lokale bzw. globale Maximalstelle bzw Minimalstelle ist. Extremwertstellen:=Maximal- oder Minimalstellen

30 Lokale Extremwertstellen, AB 12 (1) Notwendige Bedingung a lokale Extremwertstelle von f auf D grad f(a) = 0 (2) Hinreichende Bedingung, Spezialfall n = 2: (a) det(h f (a)) > 0 und f xx (a) > 0 a ist lokale Minimalstelle. (b) det(h f (a)) > 0 und f xx (a) < 0 a ist lokale Maximalstelle. (c) det(h f (a)) < 0 a ist Sattelpunkt von f (d) det(h f (a)) = 0 keine Aussage möglich

31 Beispiel: Serie 10, Aufgabe 2 In einem 2-Produkt-Unternehmen gelte die folgende Kostenfunktion K(x 1,x 2 ) = x 2 1 +x 1x 2 +x mit x i > 0 für i = 1,2, sowie die Preis-Absatz-Funktionen p 1 = 460 2x 1, p 2 = 1150 x 2. Ermitteln Sie die gewinnmaximalen Marktpreise und Absatzmengen!

32 f(x,y) = x +y

33 f(x,y) = x +y, xy = 9

34 f(x,y) = x 2 y 2

35 f(x,y) = x 2 y 2, x 2 +y 2 = 1

36 Beispiel Milly Vanilly hat eine Eisdiele eröffnet und bietet unter anderem Schokoeis und Vanilleeis in Kugeln an. Da sie weit und breit der einzige Eisverkäufer ist, agiert sie hier als Monopolist, wobei sie die Erfahrung macht, daß für die Mengen x 1 (Schokoeis in Kugeln pro Tag) und x 2 (Vanilleeis in Kugeln pro Tag) und die dazugehörigen Preise p 1 und p 2 in Cent pro Kugel die folgenden Preis-Absatz-Funktionen gelten: x 1 (p 1,p 2 ) = 460 8p 1 +2p 2 x 2 (p 1,p 2 ) = 520+3p 1 10p 2 (c) Milly Vanilly erfährt, daß der Durchschnittspreis pro Kugel Eis in anderen Gegenden 50 Cent pro Kugel beträgt, d.h. für sie p 1 +p 2 = Für welche Preise p 1 und p 2 (gerundet auf Cent) würde Milly Vanilly unter dieser Bedingung den maximalen Erlös erzielen? Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Lagrange-Methode.

37

38

39 Serie 11, Aufgabe 3 Ein Pharmaunternehmen stellt ein Schlafmittel her, dessen Wirkung auf der Kombination zweier Wirkstoffe A und B beruht, die in je einem Dragee in den Mengen a und b [in mg] enthalten sind. Die Kosten für die Wirkstoffe, die in unterschiedlichen Rohsubstanzen vorkommen, sind mit p a = 20e/mg und p b = 10 e/mg angegeben. Die Wirksamkeit des Schlafmittels, gemessen in durchschnittlich bewirkten Stunden Schlaf je Dragee wird durch die Funktion W(a,b) = a3 b beschrieben. (a) In welchen Dosierungen sind die beiden Wirkstoffe je Dragee einzusetzen, um minimale Materialkosten zu erhalten, wenn eine Wirksamkeit von 8 Stunden je Dragee angestrebt wird?

40 Serie 11, Aufgabe 3 (b) Wie hoch sind die unter (a) berechneten minimalen Materialkosten je Dragee? Um wie viel könnten diese näherungsweise gesenkt werden, wenn nur eine Wirksamkeit von 6 Stunden angestrebt würde? (c) Um wie viel könnte die Wirksamkeit des Medikaments maximal gesteigert werden, wenn man gegenüber dem Kostenminimum den Materialeinsatz je Dragee um 1 e erhöht?

41 Serie 11, Aufgabe 3

42 implizite Ableitung f(x,y) = x 3 +x 2 y 2 y 3 +xy 7y +3x+4 = 0,(x,y) = (3, 1)

43 implizite Ableitung f(x,y) = x 3 +x 2 y 2 y 3 +xy 7y +3x+4 = 0,(x,y) = (3, 1)

44 implizite Ableitung f(x,y) = x 3 +x 2 y 2 y 3 +xy 7y +3x+4 = 0,(x,y) = (3, 1)

45 Beispiel: Regression x y

46 Beispiel: lineare Regression x y y = 0.857x Fehlerquadratsumme:

47 Beispiel: x-ln y Regression x y ln y lny = x y = e x, Fehlerquadratsumme: