Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Differential und Integralrechnung 7

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Differential und Integralrechnung (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 4) Sei f : R 2 R definiert durch Untersuchen Sie f auf lokale Extrema. 7.2 (Herbst 2012, Thema 3, Aufgabe 4) f(x,y) = 2x 2 +2y 2 4xy x 4 y 4. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f : R 2 R mit 7.3 (Frühjahr 2012, Thema 1, Aufgabe 3) a) Diskutieren Sie die Funktion hinsichtlich globaler Extrema. f(x,y) = x 3 +y 3 3xy. f(r) = e r2 +r 2 b) Bestimmen Sie den kritischen Punkt der Funktion g(x,y) = e x2 y 2 +x 2 +y 2 und die Hesse-Matrix im kritischen Punkt. c) Besitzt g ein absolutes Extremum, und welcher Art ist es? 7.4 (Frühjahr 2012, Thema 2, Aufgabe 1) Für (x,y) R 2 sei f definiert durch a) Zeigen Sie f(x,y) = xy exp(x y). gradf(x,y) = (y(1+x) exp(x y), x(1 y) exp(x y)) und bestimmen Sie die Punkte (x,y), die erfüllen. gradf(x,y) = (0,0) b) Berechnen Sie die Hesse-Matrix von f und entscheiden Sie mit deren Hilfe, ob f lokale Extremstellen besitzt, und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Typ.

2 7.5 (Frühjahr 2012, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R, definiert durch f(x,y) = x 2( x 2 +y 2 2 ). a) Man bestimme die Nullstellen von f und skizziere die Bereiche des R 2, in denen f positive bzw. negative Funktionswerte besitzt. b) Man bestimme alle lokalen Extremstellen von f. 7.6 (Herbst 2011, Thema 1, Aufgabe 5) a) Bestimmen Sie die lokalen Minima der durch f(x,y) = x 4 +2x 3 +y 2 definierten Funktion f : R 2 R. b) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R 2 R, definiert durch f(x,y) = ax 2 +2bxy +cy 2 mit einer positiv definiten Koeffizientenmatrix absolutes Minimum besitzt. 7.7 (Herbst 2011, Thema 2, Aufgabe 5) ( ) a b b c im Nullpunkt ein Es sei D := {(x,y) R 2 : x+y 0 und x 2 +y 2 = 3}. Die Funktion f : D R sei definiert durch f(x,y) = exp(x+y). a) Skizzieren Sie die Menge D. b) Begründen Sie, warum die Funktion f ihr Maximum und ihr Minimum annimmt. c) Bestimmen Sie die Werte des Maximums und Minimums der Funktion f. 7.8 (Frühjahr 2011, Thema 1, Aufgabe 2) Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion f : R 2 R, (x,y) e (x2 +y 2) ( x 2 +1 ) auf der Kreisscheibe D := {(x,y) R 2 x 2 +y 2 1}. 7.9 (Frühjahr 2011, Thema 3, Aufgabe 2) Zeigen Sie, dass (e, e) ein kritischer Punkt der Funktion f(x,y) = x y y x ist, und bestimmen Sie, ob in (e,e) ein lokales Minimum oder Maximum, ein Sattelpunkt, oder ein Punkt, in dem mit der Hessematrix keine Aussage möglich ist, vorliegt.

3 7.10 (Frühjahr 2011, Thema 3, Aufgabe 4) a) Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion f(x,y,z) = xe y +yz +zx. Handelt es sich dabei um ein lokales Extremum? Begründen Sie Ihre Entscheidung genau. b) Finden Sie eine Folge der Form v n = (x n,y n,z n ), so daß v n und lim f(v n) =. n Finden Sie eine andere Folge (w n ) n N dieser Form mit w n, so dass lim f(w n) =, n und eine weitere Folge (u n ) n N dieser Form, ebenfalls mit u n, für die f(u n ) = 0 für alle n N gilt (Herbst 2010, Thema 1, Aufgabe 3) Bestimmen Sie Infimum und Supremum der Menge { e (x+y) ( x 2 +y 2 +xy 3 ) x, y 0 } (Frühjahr 2010, Thema 1, Aufgabe 3) Es sei M = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 1} und f : M R die Funktion f(x,y) = x 2 x+2y 2. Bestimmen Sie Maximum und Minimum von f (Frühjahr 2010, Thema 2, Aufgabe 1) Sei K die durch K = gegebene Menge. Man bestimme 7.14 (Herbst 2009, Thema 1, Aufgabe 2) {( ) } a b Mat(2 2;R) : a 2 +b 2 +d d sup det(a). A K Man bestimme Infimum und Supremum der Funktion f : R 2 R, f(x,y) = ( 4y 2 x 2) e x2 y 2 auf der Menge M := {(x,y) R 2 x 2 +y 2 2}.

4 7.15 (Herbst 2009, Thema 2, Aufgabe 3) f : R 2 R sei definiert durch f(x,y) = x 3 +4y 3 3x 3y. Berechnen Sie das Maximum und das Minimum von f auf dem Quadrat [ 1,+1] [ 1,+1]. An welchen Stellen wird der Extremwert jeweils angenommen? 7.16 (Herbst 2009, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben seien und die Funktion D := { (x,y) R 2 : 0 < y < π } 2 h : D R; h(x,y) := 2xtany ( ) 2 x. cosy a) BestimmenSieN := {(x,y) D : h(x,y) = 0}undskizzierenSiedieseMenge in der xy Ebene. b) Bestimmen Sie den Wertebereich h(d) = {h(x,y) : (x,y) D} (Frühjahr 2009, Thema 1, Aufgabe 5) Für a < 0 und b > 0 sei f(a,b) = b a ( ) e (x2) 2 dx. a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von f. b) Welche Punkte (a,b) mit a < 0 und b > 0 kommen als lokale Extrema in Frage? c) Zeigen Sie, dass die Hessematrix von f für alle (a,b) mit a < 0 und b > 0 positiv definit ist. d) Hat die Funktion ein globales Extremum auf der Menge der (a,b) mit a < 0 und b > 0? 7.18 (Frühjahr 2009, Thema 3, Aufgabe 4) Die Funktion f : R 2 R sei definiert durch f(x,y) = 2x 2 +y 2 xy 2. a) Bestimmen Sie alle kritischen Stellen und alle lokalen Extrema der Funktion f. b) Besitzt die Funktion f ein globales Maximum oder ein globales Minimum? Begründen Sie Ihre Antwort (Herbst 2008, Thema 1, Aufgabe 4) Man bestimme Infimum und Supremum der Funktion f(x,y) = e (x+y) (xy +x+y +1) auf der Menge M := {(x,y) R 2 x, y 0}.

5 7.20 (Herbst 2008, Thema 2, Aufgabe 4) Gegeben sei die Funktion f : { (x,y) R 2 : x 0, y 0 } R, f(x,y) := 1 x 1 y +16x 4y. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f (Frühjahr 2008, Thema 1, Aufgabe 5) Bestimmen Sie für die Funktion h : { (x,y) R 2 : x 2 +y 2 4 } R; h(x,y) := 4xy x 3 y xy 3 Maximum und Minimum (Frühjahr 2008, Thema 3, Aufgabe 4) Gegeben sei D = { (x,y) R 2 π x π und 0 y π }. Man begründe, warum die Funktion f : D R, f(x,y) = cosx+siny, globale Extremstellen besitzt, und bestimme zwei Punkte (a,b) und (c,d) D mit f(a,b) f(x,y) f(c,d) für alle (x,y) D (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 3) Gegeben sei für c R die Funktion f c : R 2 R, (x,y) x 2 2xy +4y 2 12y+c. a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f c. b) Bestimmen Sie für jedes c R den Wertebereich W c von f c (Herbst 2007, Thema 2, Aufgabe 4) Für die Funktion f : R 2 R, f(x,y) = 6x 2 y 5x 2 +2x 2y 3, bestimme man Lage und Art ihrer kritschen Punkte sowie ihren Wertebereich (Frühjahr 2007, Thema 1, Aufgabe 4) Man bestimme Infimum und Supremum der Funktion f(x,y) = xy(x+y 1) auf der Menge M := {(x,y) R 2 x, y 0, x+y 1 0}.

6 7.26 (Frühjahr 2007, Thema 2, Aufgabe 4) Sei R := [ 1,1] [0,2π] und f : R R, (x,y) x+e x cosy. Bestimmen Sie alle globalen Maximal- und Minimalstellen von f (Frühjahr 2007, Thema 3, Aufgabe 4) An welchen Stellen nimmt die Funktion f : D = { (x,y) R 2 x 2 +y 2 1 } R, f(x,y) = x 4 +y 4 +2x 2 y 2 +2x 2 2y 2 +1 ihren maximalen Wert an? 7.28 (Frühjahr 2006, Thema 1, Aufgabe 4) Sei E := {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1} die Einheitskreisscheibe und f : E R, (x,y) x 3 3xy 2. a) Begründen Sie, warum f mindestens eine globale Minimalstelle und eine globale Maximalstelle besitzt. b) Bestimmen Sie alle globalen Minimal und Maximalstellen von f (Herbst 2006, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion wobei D = {(x,y) R 2 : x 1, y 1}. f : D R, (x,y) x+y x 2 y 2, a) Bestimmen Sie sup f(x,y). (x,y) D b) Zeigen Sie, dass für die Funktion g : [1, [ R, x 1 1 x 2, eine reelle Zahl L > 0 existiert, so dass g(x) g(y) L x y für alle x 1, y 1 gilt, und bestimmen Sie ein minimales L mit dieser Eigenschaft. Hinweis: Verwenden Sie Teilaufgabe a) (Frühjahr 2006, Thema 2, Aufgabe 4) Man bestimme Infimum und Supremum der Funktion f(x,y) = x 2 +y 2 +x+y auf der Menge M := {(x,y) R 2 x 2 +y 2 1}.

7 7.31 (Frühjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 1) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x,y) = x 4 +y 4 2x 2 2y 2 +4xy für jedes (x,y) R 2. a) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen f ein lokales Extremum hat. b) Warum gibt es (a,b) R 2 mit a 2 +b 2 = 1, so dass gilt? f(x,y) f(a,b) für jedes (x,y) R 2 mit x 2 +y (Herbst 2005, Thema 1, Aufgabe 2) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R, f(x,y) = e (x2 +y 2 ) ( x 2 2y 2). a) Man bestimme inff(r 2 ) und supf(r 2 ). b) Man untersuche f auf lokale Extrema (Herbst 2005, Thema 2, Aufgabe 5) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R ]0, [ R, (x,y) y x auf R ]0, [ kein lokales Extremum besitzt (Frühjahr 2005, Thema 1, Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion f : { (x,y) R 2 : x 0, y 0 } R, f(x,y) = 1 x x3 1 y y2. a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f. b) Ist f nach oben beschränkt? 7.35 (Frühjahr 2005, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie für die Funktion ] f : ] 1,1[ 0, π [ R, (x,y) e x cos(y)+e x sin(y) 2 sämtliche kritischen Punkte, und stellen Sie fest, bei welchen von diesen es sich um lokale Extremstellen handelt (Frühjahr 2004, Thema 1, Aufgabe 3) Gegeben ist die Funktion Man bestimme f : R 2 R, f(x,y) = e x2 +y 2 (x 2y) 2. inff(e) und supf(e) für die Einheitskreisscheibe E = {(x,y) R 2 x 2 +y 2 1}.

8 7.37 (Herbst 2003, Thema 1, Aufgabe 3) f : R 2 R sei definiert durch f(x,y) = 3x 2 2xy +3y 2. a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f. b) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von f auf der Kreislinie S = {(x,y) R 2 x 2 +y 2 = 1}. c) Zeigen Sie, dass für alle (x,y) R 2 gilt: f(x,y) 2(x 2 +y 2 ) (Herbst 2003, Thema 2, Aufgabe 4) Gegeben sei die Funktion Zeigen Sie: f : R 2 R, (x,y) x 2 +y 2 e xy. a) f besitzt genau ein relatives Extremum, und zwar ein Minimum. b) f ist weder nach oben noch nach unten beschränkt (Frühjahr 2003, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben ist die Funktion f : R 2 R, f(x,y) = 4xy +x 2 +y 3. a) Man bestimme alle lokalen Extrema und Sattelpunkte. b) Man bestimme inff(m) und supf(m) mit M := { (x,y) R 2 x 2 +y 3 1, x, y 0 }.