Mathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen

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1 N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen Verständnisfragen 1. Was bestimmt die erste Ableitung einer Funktion f : D R R im Punkt x 0 D? Die erste Ableitung einer Funktion bestimmt deren Steigung im jeweiligen Punkt.. Welche Eigenschaft besitzt eine Funktion f : D R R in x 0 D, wenn f in x 0 differenzierbar ist? Ist die angegebene Funktion in x 0 differenzierbar, dann ist sie in x 0 stetig. 3. Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Tangente an eine auf ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion f : D R R im Punkt x 0 D? y = f (x 0 (x x 0 + f(x 0 4. Welcher Anteil der Tangentengleichung aus der vorherigen Frage ist für infinitisimale Differenzen gleich dem Differential? Nur der Verschiebungsanteil f (x 0 (x x 0 in y-richtung ist für infinitisimale Differenzen gleich dem Differential. 5. Was bedeutet infinitesimal? infinitesimal bedeutet unendlich klein. 6. Was stellt das Differential an eine Funktion f : D R R in einem Punkt x 0 D dar? Das Differential stellt eine lineare Approximation an die Funktion im gegebenen Punkt dar. 7. Wodurch wird eine Funktion f : D R R in x 0 D angenähert, wenn sie in x 0 total differenzierbar ist? Ist die Funktion f in x 0 total differenzierbar, so bedeutet dieses, dass Die Funktion durch eine Tangentialebene in x 0 angenähert werden kann. 8. Wie Lautet die Gleichung für die Tangentialebene an eine in x 0 D total differenzierbare Funktion f : D R R? T f, x0 (x; y = f( x 0 + f x ( x 0 (x x 0 + f y ( x 0 (y y 0, x 0 = (x 0 ; y 0 9. Wie kann man sich vorstellen, woraus die Tangentialebene an einen Punkt x 0 besteht? Die Tangentialebene kann man sich vorstellen als die Menge aller möglichen Tangenten an den Graph im entsprechenden Punkt. 10. Wo findet das totale Differential an eine Funktion Verwendung? Das totale Differential wird in der Approximation der Änderung von Funktionswerten und in der Fehlerrechnung angewendet. 11. Worin besteht der Unterschied zwischen dem absoluten Fehler und dem pessimistischsten Fehler? Für den absoluten Fehler ist die Kenntnis der Vorzeichen der unabhängigen Messgrößen und der Änderungsraten Voraussetzung. Beim pessimistischsten Fehler werden nur Fehlerbeträge und Beträge der Änderungsraten betrachtet. 1

2 1. Wie ist der Gradient definiert? f : D R n R, x 0 D grad f ( x 0 = ( f ( x 0 ;... ; f T ( x 0 x 1 x n 13. Als Vektor steht der Gradient für eine ausgezeichnete Richtung, für welche? Der Gradient steht für die Richtung der größten Änderung der Funktionswerte in dem betrachteten Punkt. 14. Welche Schreibweisen für die partielle Ableitung kennen Sie? 15. Was sagt der Satz von Schwarz aus? f x = f x = D x f = x f Für R : Sind die gemischten zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f : R R stetig im Ableitungspunkt, so gilt f xy = f yx. 16. Welche notwendige Bedingung muss für ein Extremum einer Funktion f : D R R gelten? Es muss in einem Extremum in x 0 D f x ( x 0 = 0 und f y ( x 0 = 0 gelten. 17. Was gilt für den Gradienten am Extremum einer Funktion f : D R R? Liege in x 0 D ein Extremum von f : D R n R vor, so folgt: 18. Wie ist die Hesse-Matrix definiert? grad f ( x 0 = 0 f x1 x 1 ( x 0 f x1 x n ( x 0 f : D R n R, x 0 D Hess f ( x 0 :=..... f xnx1 ( x 0 f xnxn ( x In welchen Schritten bestimmt man die Extrema einer Funktion f : D R R? Bestimmen aller Kandidaten für Extrempunkte durch Lösen der Gleichungen f x ( x 0 = 0 und f y ( x 0 = 0. (b Bestimmen der Hesse-Matrix in jedem möglichen Extrempunkt. (c Auswerten der Determinante der Hesse-Matrix. Für Extrema muss gelten f xx f yy (f xy (f yx > 0. (d Auswerten des Vorzeichens von f xx für alle Extrempunkte.

3 0. Welche Bedingungen gelten für ein lokales Minimum, lokales Maximum und für einen Sattelpunkt bei der Untersuchung einer Funktion f : R R? (b (c det(hess f ( x 0 > 0 und f xx ( x 0 > 0 lokales Minimum in x 0 det(hess f ( x 0 > 0 und f xx ( x 0 < 0 lokales Maximum in x 0 det(hess f ( x 0 < 0 Sattelpunkt in x 0 1. Wie ist die Approximationsfunktion definiert? = n (f(x i y i i=1. Warum leitet man nicht nach den x 1,..., x n ab? Man leitet nicht nach den x 1,..., x n ab, da es sich nicht um n verschiedene Variablen handelt, sondern um n paarweise verschiedene Messwerte. 3. Auf die Abhängigkeit von welchen Variablen wird bei der Ausgleichsparabel hin untersucht? Bei der Bestimmung der Ausgleichsparabel wird die Abhängigkeit der Approximationsfunktion von den Koeffizienten des quadratischen Polynoms ax + bx + c untersucht. 4. Wie heißt die Methode mit der eine Ausgleichsgerade bestimmt wird? Miminierung der Abstandsquadrate 5. Ist bei einer Ausgleichsgeraden die Koeffizientenmatrix gleich der Hesse-Matrix? Die Koeffizientenmatrix ist (nur bis auf einen Faktor gleich der Hesse-Matrix, da die Approximationsfunktion quadratisch in den Koeffizientenvariablen des Funktionspolynoms ist, sind die Vorfaktoren der Koeffizientenvariablen gleich den zweiten Ableitungen nach der jeweiligen Koeffizientenvariablen. 6. Wie lauten die zwei Fassungen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung? x ; y x y x ; y x ; x y ; y 7. Wie ist der Nabla-Operator in zwei Dimensionen definiert? ( = x ; y 3

4 Aufgaben: 1. Bestimmen Sie alle zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen (Wo sind die zweiten partiellen Ableitungen definiert? x f I(x; y = f : R R; f I (x; y = x + y x x + y ; x 0 x f I(x; y = y f I(x; y = y x + y 3 ; x 0 y x + y ; x 0 y x f I(x; y = y f I(x; y = x x + y 3 ; x 0 x y f I(x; y = xy x + y 3 ; x 0 (b f : R + R + R; f II (x; y = x y x + y yx f II(x; y = x f y II(x; y = (x + y ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } y f II(x; y = x (x + y ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } x f II(x; y = 4y (x + y 3 ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } y f 4x II(x; y = (x + y 3 ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } xy f (x y II(x; y = (x + y 3 ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } (c f : R + R + R; f III (x; y = ln ( x + 1 x + y x f III(x; y = x f III(x; y = yx f III(x; y = y 1 (1 + x(x + y y f III(x; y = 1 x + y ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } (1 y(x + y + 1 (1 + x (x + y ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } y f III(x; y = xy f III(x; y = ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } 1 (x + y ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } 1 (x + y ; D = { (x; y (R + nach Voraussetzung } 4

5 . Stellen Sie jeweils die Gleichung der Tangentialebene an die gegebenen Funktionen und Punkte auf: (b (c (d f 1 (x; y = x + y, x 0 = ( 3; 0.5 T f1,( 3;0.5 (x; y 3, 5 + 3, 4641 x + y f (x; y = x y, x 0 = (e ; 1.3 T f,(e ; 1.3(x; y 59, , 7781 x, 6y f 7 (x; y = x + y, x 0 = (π; π T f7,(π; π (x; y = π + πx + y f 8 (x; y = x 3 3x y + y, x 0 = (1; T f8,(1; (x; y = 6 9x + y 3. Bestimmen Sie den Gradienten an die folgenden Funktionen in den angegebenen Punkten: (b f a (x; y = x 3 xy + y 3, (; 1, ( 1; 1 grad fa (; 1 = (14; 1 T grad fa ( 1; 1 = (1; 5 T f b (x; y = x y (x + y, (0; 0, ; 0, ( = (0; 0 T grad fb grad fb (0; 0 = (0; 0 T grad fb ; 0 ( ; 0 ; 0 = (0; 0 T 4. Es sei die folgende Funktion r(x; y; z = (x; y; z T gegeben, mit r = r. Zeigen Sie, dass dann die folgende Gleichung, die Laplace-Gleichung, gilt 1 r = 0, wobei für den Laplace-Operator steht, der wie folgt definiert ist: := = ;. Dabei sei der Nabla-Operator in drei Dimensionen gegeben: = ( x ; y, T z = x + y + z 1 r = 1 x x + y + z + 1 y x + y + z + 1 z x + y + z = 3 ( x + y + z x + y + z x + y + z = 0 5

6 5. Es sind im Folgenden mehrere funktionale Zusammenhänge zwischen Größen und dazu gehörende Messwerte gegeben. Berechnen Sie jeweils den Wert und den pessimistischsten Fehler der unbestimmten Größe: F = m a, m = (4 ± 0, kg, a = (9, 81 ± 0, 001 m s F = (39, 4 ± 1, 966N (39 ± N (b V = πr h, V = (1, 00 ± 0, 01cm 3, r = (0, 5 ± 0, 0cm h = (1, 73 ± 0, 1146cm (1, 3 ± 0, 1cm (c J p V = n R T, V = (11, 0 ± 0, 5l, n = (1, 5 ± 0, 1mol, T = (300 ± 1K, R = 8, 314 mol K p = (711086, 96 ± , 9981P a (7 ± 1, 5bar 6. Die Fläche Φ ist durch z = x e x y gegeben. Wo liegen Extrema von z? Sattelpunkt bei : Maximum bei : ( / 0 / 0 7. Die Fläche Ψ ist durch z = x e (x +y gegeben. Wo liegen Extrema von z? ( 1 / Minimum bei : 0 ( 1 / Maximum bei : 0 8. Für f(x; y = sin(x + sin(y + sin(x + y sind die im Bereich D := {(x; y R 0 < x < 0.5π 0 < y < 0.5π} liegenden Extremwerte zu berechnen. Maximum bei : ( π 3 / π 3 6

7 9. Aus einer kreisförmigen Fläche mit dem Radius r = 5LE soll für ein Blumenbeet eine rechteckige Fläche mit den Seiten a und b ausgestochen werden (A(a; b und zwar so, dass alle Eckpunkte des Rechtecks auf dem Kreisrand liegen. Bestimmen Sie A. A = a 4r a (b Berechnen Sie wie lang die Seite a sein muss, damit die Größe g = (A den absolut größten Wert annimmt. a = r (c Ermitteln Sie die Maßzahl des größten Werts von A. A max = 50F E 10. Man bestimme die Maxima und Minima der Funktion auf der Kreisscheibe f(x; y := 4x 3xy K := {(x; y R x + y 1}. (Tipp: Man untersuche zuerst auf lokale Extrema im Inneren der Kreisscheibe und anschließend auf dem Rand, d.h. unter der Bedingung x + y = 1. ( / in der Kreisscheibe: Sattelpunkt bei : 0 0 Auf dem Rand gilt : f(x; y(x = 4x ± 3x 1 x ( Auf dem Rand: Maxima bei : ± 3 / ± ( Auf dem Rand: Minima bei : ± 1 / ± Ermitteln Sie jeweils eine Ausgleichsgerade und eine Ausgleichsparabel zu den folgenden Messwertepaaren: x y 0, 5 0, 3 0, 8 1, linear : y = 0, 335 x 0, quadratisch : y = 0, 0857 x 0, 105 x 0, 375 7

8 (b s[m] t[s] 1, linear : y = 0, 7974 x 0, 1595 quadratisch : y = 0, 056 x 0, 3636 x 0, Nach der Vermessung der Erderwärmung in der Wetterstation DORTMUND / WICKEDE wurde der folgende Datensatz für die Temperatur-Zeit-Abhängigkeit gespeichert: T[ C] 13, 96 14, 03 10, 14, 49 t[a] Andernorts war mittels Ausgleichsrechnung aus den Originalwerten die folgende Regressionsgerade (Ausgleichsgerade bestimmt worden T (t = T 0 + T 1 t. Die bestmögliche Approximation der Koeffizienten T 0 = 4, 3748 C, T 1 = 0, C a war damit bereits bekannt als auffiel, dass der Temperaturwert zum Jahr 1996 in der obigen Tabelle falsch angegeben worden war. Bestimmen Sie den fehlenden Temperaturwert rechnerisch. T 1996 = 14, 3 C 13. Überprüfen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme auf Lösbarkeit und geben Sie, falls möglich, die Lösungsmengen an. (b x + y = 1 x + z = 7 y + z = L = {x = 3; y = ; z = 4} 1, 5x + y + z = 145 x + 1, 5y +, 5z = 190 x + y + z = 90 L = { (x; y; z R 3 (x; y; z = ( λ + 110; λ 0; λ λ R } 14. Bestimmen Sie aus der idealen Gasgleichung pv = nrt, die Form der Isobaren (p konst., der Isothermen (T konst. und der Isochoren (V konst.. Hierbei sei die Stoffmenge n konstant und R bezeichnet die Gaskonstante des idealen Gases: R = 8, 314 J mol K. Isobare: V (T = nr p T Ursprungsgerade Isotherme: V (p = nrt 1 p Hyperbel Isochore: p(t = nr V T Ursprungsgerade 8