Funktionen mehrerer Veränderlicher

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1 Funktionen mehrerer Veränderlicher Betrachtet werden Funktionen f : D R mit Denitionsbereich D R n und Wertebereich R, d. h. man hat die Funktionsgleichung y = f (x) = f (x, x 2,..., x n ) Beispiele: f (x, y) = 2x 2 x y + y 2, g(x, y, z) = xy e z+x 2 sin y + 3z Anwendungen Beschreibung dreidimensionaler Objekte wie Kugel, Zylinder,... ortsabhängige physikalische Gröÿen wie Temperatur, Druck hängen von drei Ortsvariablen ab mehrdim3.pdf, Seite

2 Darstellung Der Graph {(x, y, z) R 3 : z = f (x, y)} einer Funktion zweier Veränderlicher ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Alternativ ist eine Darstellung durch Höhenlinien möglich. mehrdim3.pdf, Seite 2

3 Höhenlinien der Funktion f (x, y) = sin(x 2 + y 2 ) cos x sin y mehrdim3.pdf, Seite 3

4 Stetigkeit (bei 2 Variablen) Die Funktion f (x, y) ist stetig an der Stelle (x 0, y 0 ) D R 2, wenn für Folgen (x n ) x 0 und (y n ) y 0 gilt lim n f (x n, y n ) = f (x 0, y 0 ). Das heiÿt: Wenn sich (x, y) in der x, yebene dem Punkt (x 0, y 0 ) annähert, so nähern sich die Funktionswerte f (x, y) dem Wert f (x 0, y 0 ) an. Stetigkeit auf D f (x, y) heiÿt stetig auf D, wenn f in jedem Punkt (x 0, y 0 ) D stetig ist. Anschaulich: Die Funktion f (x, y) ist stetig, wenn ihr Graph eine zusammenhängende Fläche ohne Sprungstellen, Risse etc. ist. mehrdim3.pdf, Seite 4

5 Beispiel f (x, y) = x 2 sin y Ist (x 0, y 0 ) R 2 beliebig sowie (x n ) und (y n ) Folgen mit lim x n = x 0 und lim y n = y 0, so gilt nach den Rechenregeln für Grenzwerte lim n f (x n, y n ) = lim n (x 2 n sin y n ) = (lim n x 2 n) (lim n sin y n ) = (lim n x n ) 2 sin(lim n y n ) = x 2 0 sin y 0 = f (x 0, y 0 ) Also ist f an der Stelle (x 0, y 0 ) stetig. Da (x 0, y 0 ) beliebig war, ist f (x, y) auf D = R 2 stetig. mehrdim3.pdf, Seite 5

6 Eigenschaften stetiger Funktionen Summen, Dierenzen, Produkte und Quotienten (falls Nenner 0) stetiger Fuktionen von D R n nach R sind wieder stetig, ebenso die Verkettung f g, wenn g : D R und f : R R stetig sind. Damit gilt: Aus Standardfunktionen wie Polynomen, Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- und Sinus-/Kosinusfunktionen zusammengesetzte Funktionen mehrerer Variablen sind i. d. R. stetig. Fall D R n mit n > 2 Stetigkeit für Funktionen mit n Variablen wird analog deniert, z. B. im Fall n = 3 muss gelten lim n f (x n, y n, z n ) = f (x 0, y 0, z 0 ), wenn x n x 0, y n y 0 und z n z 0, mehrdim3.pdf, Seite 6

7 Partielle Ableitungen einer Funktion f : D R sind deniert als Ableitungen nach einer Variablen, wobei die übrigen Variablen als Konstanten betrachtet werden: f x i = lim x 0 f (x,..., x i, x i + x, x i+,..., x n ) f (x,..., x i,..., x n ), x falls der Grenzwert existiert. Alternative Notation: f xi Berechnung = f Berechnet werden partielle Ableitungen f xi x i wie Ableitungen einer Funktion einer Variablen, indem alle Variabeln bis auf x i als Konstanten betrachtet werden. Dabei können alle bekannten Ableitungsregeln benutzt werden. mehrdim3.pdf, Seite 7

8 Beispiele Für f (x, y) = 2x 2 x y + y 2 ist f x = f x (x, y) = f = f (x, y) = 4x y und x x f y = f y (x, y) = f = f (x, y) = x + 2y y y f (x, y, z) = e x 2 y 2 + 2xz sin z 3xyz + y z cos y f x = f x (x, y, z) = 2x e x 2 y 2 + 2z sin z 3yz, f y = 2y e x 2 y 2 3xz + z cos y y z sin y f z = 2x sin z + 2xz cos z 3xy z 2 y cos y. Bemerkung Die partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen von n Variablen, was in der Notation f x (x, y) etc. zum Ausdruck gebracht wird. und mehrdim3.pdf, Seite 8

9 Interpretation Die partielle Ableitung f x i misst die Änderung der Funktionswerte, wenn sich der Wert der Variablen x i ändert. Geometrisch ist sie die Steigung einer Geraden, die tangential am Graphen von f anliegt und in Richtung von x i verläuft. Ist f (x, y) eine Funktion von zwei Variablen, so spannen die beiden durch die partiellen Ableitungen nach x und y denierten tangentialen Geraden die Tangentialebene am Graphen von f im Punkt (x, y) auf. mehrdim3.pdf, Seite 9

10 Der Gradient einer Abbildung f : D R ist der ndimensionale Vektor, der sich aus den partiellen Ableitungen zusammensetzt: ( f grad f = f =, f,..., f ), x x 2 x n oft auch als Spaltenvektor geschrieben. Beispiel Für f (x, y) = 2x 2 xy + y 2 ist ( ) ( fx (x, y) grad f (x, y) = = f y (x, y) bzw. für spezielle Werte von (x, y) ( ) 0 grad f (0; 0) =, grad f (0; ) = ( grad f (; 0) = 0 4 ) ( 4x y x + 2y 2 ), ( oder grad f (; 2) = 2 3 ) ). mehrdim3.pdf, Seite 0

11 Gradient geometrisch Der Gradientenvektor zeigt immer in Richtung der gröÿten Steigung, sein Betrag entspricht dem Betrag der Steigung. Beispiel: Gradient von f (x, y) = cos x cos y mehrdim3.pdf, Seite

12 Linearisierung Ähnlich wie bei der Tangente einer Funktion einer Variablen kann zu einer Funktion f (x, y) eine lineare Funktion T (x, y) bestimmt werden, deren Graph sich an einer vorgegebenen Stelle (x 0, y 0 ) an den Graphen von f anschmiegt. T (x, y) wird so gewählt, dass gilt T (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ), T x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) und T y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ), d. h. an der Stelle (x 0, y 0 ) stimmen der Funktionswert und beide partielle Ableitungen von f und T überein. Im Fall (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) erhält man T (x, y) = f (0; 0) + f x (0; 0) x + f y (0; 0) y ( ) ( ) ( ) fx (0; 0) x x = f (0; 0) +, = f (0; 0) + grad f (0; 0), f y (0; 0) y y mehrdim3.pdf, Seite 2

13 Geometrisch Der Graph der linearisierten Funktion T (x, y) ist eine Tangentialebene am Graphen von f. mehrdim3.pdf, Seite 3

14 Beispiel ( ) x Für f = e y sin x + (x ) y ist y ( ) ( ) ( x e grad f = y cos x + y y e y grad f sin x + x Die Tangentialebene an der Stelle ( ) x y gegeben durch ( ) ( x T = f y 0 0 ) ( ) ( = = ( ) 0 0 ist damit ) ( ) x, = 0 + x y y Damit können Funktionswerte für (x, y) nahe (0, 0) näherungsweise bestimmt werden. Z. B. erhält man ( ) ( ) 0, 2 0, 2 f T = 0, 2 ( 0, ) = 0, 3. 0, 0, Der exakte Wert liegt bei 0,26. ). mehrdim3.pdf, Seite 4

15 Entwicklungspunkt 0 ( ) x0 An der Stelle y 0 erhält man die Tangentialebene durch die Gleichung ( ) x T y ( ) ( ) ( ) x0 x0 x x0 = f + grad f, y 0 y 0 y y 0 ( ) x0 = f + f ( ) x0 (x x y 0 x y 0 )+ f ( ) x0 (y y 0 y y 0 ) 0 mehrdim3.pdf, Seite 5

16 Beispiel ( ) x Die Tangentialebene an f = 2x y (x 2 + y 2 ) an der 2 ( ) ( ) x0 Stelle = hat die Gleichung y 0 ( ) ( x T = f y ) + f x ( ) ( (x ) + f y ) (y ) = + (x ) (y ) = + x y ( ) Benutzt wurde dabei f x = f = x 2 x f x = ( ) und f y = f = y f y y =. mehrdim3.pdf, Seite 6

17 Verallgemeinerung: Tangentialraum im R n Der Tangentialraum einer dierenzierbaren Funktion f : D R im Punkt x 0 D mit D R n hat die Gleichung Beispiel T (x) = f (x 0 ) + grad f (x 0 ), x x 0 f (x, x 2, x 3, x 4 ) = x e x 2 + x x 2 4 hat an der Stelle (x, x 2, x 3, x 4 ) = (; 0; ; ) den Tangentialraum x T (x) = T (x, x 2, x 3, x 4 ) = 2 + 2, x 2 x x 4 = 2 + x + x 2 2(x 3 + ) + 2(x 4 ) mehrdim3.pdf, Seite 7

18 Totale Dierenzierbarkeit Die Existenz der partiellen Ableitungen garantiert noch nicht, dass die Tangentialebene T (x) die Funktion f (x) tatsächlich approximiert. Dazu muss f in x 0 total dierenzierbar sein: Denition f : D R heiÿt total dierenzierbar im Punkt x 0 D, wenn in x 0 alle partiellen Ableitungen f x (x 0 ),..., f xn (x 0 ) existieren und für den Tangentialraum T (x) gilt f (x) T (x). f (x) T (x) = o( x x 0 ) lim = 0 x x0 x x 0 Satz Ist f auf D stetig partiell dierenzierbar, d. h. die partiellen Ableitungen f x,..., f xn existieren für alle x D und sind stetig, so ist f auf ganz D total dierenzierbar. mehrdim3.pdf, Seite 8

19 Bemerkung Die Existenz der partiellen Ableitungen im Punkt x 0 reicht nicht aus für totale Dierenzierbarkeit. Wichtig ist, dass alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung von x 0 deniert und stetig sind. Beispiel f : R 2 R,, falls x, y > 0 oder x, y < 0 f (x, y) = sgn (x y) = 0, falls x = 0 oder y = 0, falls x > 0 und y < 0 oder umgekehrt Im Punkt (x 0, y 0 ) = (0, 0) ist f nicht stetig. Für festes y 0 = 0 gilt jedoch f (x, 0) 0, ebenso f (0, y) 0 für festes x 0 = 0. Daher existieren die partiellen Ableitungen f f (0, 0) = (0, 0) = 0. x y Diese liefern jedoch keine lineare Approximation von f (x, y) in der Nähe von (0, 0). mehrdim3.pdf, Seite 9

20 Beispiel f (x, y) = 5 x 2 y 2 Entlang beider Koordinatenachsen ist die Funktion konstant 0. Daher ist f an der Stelle (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) partiell dierenzierbar, wobei beide partiellen Ableitungen gleich 0 sind. Die Tangentialebene liefert jedoch keine gute Approximation in der Nähe. mehrdim3.pdf, Seite 20

21 Totales Dierential Mit x = x x 0 R n und y = f (x) f (x 0 ) R gilt für eine total dierenzierbare Funktion y = f (x) in der Nähe von x 0 mit dem Tangentialraum T (x) y = f (x) f (x 0 ) T (x) f (x 0 ) = grad f (x 0 ), x = f x (x 0 ) x + f x2 (x 0 ) x f xn (x 0 ) x n Mit x 0 erhält man als symbolischen Ausdruck das totale Dierential dy = f x dx + f x2 dx f xn dx n Die partielle Ableitung f xi ist der Faktor, um den mulipliziert sich kleine Änderungen der Variable x i auf den Funktionswert y = f (x) auswirken. mehrdim3.pdf, Seite 2

22 Beispiel Die Funktion z = f (x, y) = x 2 sin y hat das totale Dierential dz = f x dx + f y dy = 2x sin y dx + x 2 cos y dy Interpretation im Beispiel An der Stelle (x; y) = (; 0) hat eine kleine Änderung des xwertes um x und des ywertes um y eine Änderung des zwertes um z = 2x sin y x + x 2 cos y y = 0 x + y = y zur Folge. Mit x = y = 0, erhält man dann z. B. f (, ; 0, ) f (; 0) + 0, = 0,. Diese Rechnung beruht auf der Annäherung von f (x, y) an die Tangebtialebene an der Stelle (; 0). Nichtlineare Eekte bleiben dabei unberücksichtigt. mehrdim3.pdf, Seite 22

23 Anwendung: Fehlerrechnung Beispiel: Sei R = R(u, i) = u der elektrische Widerstand, der i als Funktion der zwei Variablen u und i betrachtet wird. Gemessen wurde u = 0 ± 2 und i = 22 ± 0, 4, daraus wird R = 0 = 5 berechnet. Gefragt ist, wie sich Messfehler bei u 22 und i auf die Genauigkeit für R auswirken. Dazu betrachtet man das totale Dierential dr = R u du + R i di = i du u i 2 di Bei den gemessenen Werten ist i = 22 und u i 2 = Damit hat ein Messfehler u bei u eine Ungenauigkeit von U für R zur Folge, ein Messfehler i ergibt eine 22 Ungenauigkeit 5 i für R. 22 mehrdim3.pdf, Seite 23

24 Fortsetzung Beispiel Fehler bei R = u i Da für u und i jeweils Abweichungen nach unten und nach oben möglich sind, muss der maximale Gesamtfehler als Betrag abgeschätzt werden: R 22 u 5 22 i 22 u i Mit u 2 und i 0, 4 erhält man somit R +. d. h. die Messung liefert R = 5 ± 2. Allgemeines Fehlerfortpanzungsgesetz Für y = f (x,..., x n ) gilt für kleine x i y f x x + f x 2 x f x n x n mehrdim3.pdf, Seite 24

25 Weiteres Beispiel Der Radius r = 0 cm eines Zylinders wird mit einer Genauigkeit r = ±0, cm gemessen, die Höhe h = 20 cm mit einer Genauigkeit h = ±0, 5 cm. Für das Volumen V = V (r, h) = π r 2 h erhält man damit eine Genauigkeit (in cm 3 ) V V r r + V h h = 2πr h r + π r 2 h = 400π 0, + 00π 0, 5 = 90π 283 Somit kann das Volumen V = 2000π 6283 cm 3 mit einer Genauigkeit von ±283 cm 3 berechnet werden. mehrdim3.pdf, Seite 25

26 Richtungsableitung Für einen Vektor v R n und t R erhält man durch Approximation über die Tangentialebene in x 0 für x = x 0 + t v: f (x 0 + t v) f (x 0 ) T (x) f (x 0 ) = grad f (x 0 ), t v = t grad f (x 0 ), v Der Ausdruck f v (x 0) = grad f (x 0 ), v ist die Richtungsableitung von f : D R im Punkt x 0 in Richtung des Vektors v R n. Sie gibt die Steigung an, mit der sich die Funktionswerte ändern, wenn sich x vom Punkt x 0 in Richtung des Vektors v ändert. Bemerkung Da der Vektor v i. d. R. nur eine Richtung anzeigen soll, ist es oft sinnvoll, ihn als Einheitsvektor zu wählen. mehrdim3.pdf, Seite 26

27 Beispiel ( Mit f (x, y) = 2x (x 2 + y 2 ) ist grad f 2 ) ( = ( Die Richtungsableitung in Richtung des Vektors v = 5 ist damit ( Mit v = 0 f v ( f v ) ( = ) erhält man ( ) ( = ), ) (, ( 5 0 ) 2 ) = 5 = = f ( x Allgemein ist die Richtungsableitung in Richtung des iten StandardEinheitsvektors gleich der partiellen Ableitung nach der zugehörigen Variable x i (dies folgt unmittelbar aus der Denition). mehrdim3.pdf, Seite 27 ) ). 2 )

28 Vektorwertige Funktionen Analog zu Funktionen f : D R lassen sich auf D R n Funktionen betrachten. f : D R m, f (x) = Beispiele dafür sind lineare Abbildungen f (x,..., x n ) f 2 (x,..., x n ). f m (x,..., x n ) f : R n R m, f (x) = Ax mit einer n mmatrix A. mehrdim3.pdf, Seite 28

29 Bemerkung Jede vektorwertige Funktion f : D R m setzt sich zusammen aus ihren Komponenten, den n skalarwertigen Funktionen f : D R, f 2 : D R,..., f m : D R. f ist genau dann stetig, wenn alle Komponenten stetig sind. Auch Ableitungen lassen sich für alle Komponenten getrennt bestimmen. Beispiel ( ) x f = y ( ) 4x y 2 ist eine stetige Funktion R 2 R 2 2xy + mit den Komponenten f (x, y) = 4x y 2 und f 2 (x, y) = 2xy +. mehrdim3.pdf, Seite 29

30 Ableitung vektorwertiger Funktionen Zu f : D R n können m n partielle Ableitungen f i x j i =,..., m und j =,..., n betrachtet werden. Diese werden zusammengefasst in der JacobiMatrix f f x f x =... x n.. f m x... f m x n Dabei ist die ite Zeile der JacobiMatrix der Gradient der iten Komponente f i von f. Beispiel für Die JacobiMatrix von ( ) 4x y f (x, y) = 2 2xy + ist ( f x = 4 2y 2y 2x ) mehrdim3.pdf, Seite 30

31 Totale Ableitung Sind alle partiellen Ableitungen stetig in x 0, so gilt mit der JacobiMatrix A = f x (x 0) f (x) = f (x 0 ) + A(x x 0 ) + R(x) mit lim x x0 R(x) x x 0 = 0, d. h. die JacobiMatrix liefert die Approximation von f in der Nähe von x 0 durch eine lineare Abbildung. Beispiel ( f (x, y) = 4x y 2 2xy + ) mit (x 0, y 0 ) = (; ): ( ( ) ( f (x, y) f (; ) + f (; ) x x y ( ) ( )( ( ) ( )) x = y )) mehrdim3.pdf, Seite 3

32 Extremwerte für Funktionen f : D R Hat f in einem inneren Punkt des Denitionsbereichs ein relatives (lokales) Maximum oder Minimum, so muss gelten grad f = 0 f x = f x2 =... = f xn = 0 Beispiel f (x, y) = x 2 3x + x y + y 2 Es folgt grad f = 0 { { 2x + y = 3 x = 2 x + 2y = 0 y = Um festzustellen, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt handelt, können die zweiten partiellen Ableitungen betrachtet werden. mehrdim3.pdf, Seite 32

33 Zweite partielle Ableitungen Dierenziert man die partielle Ableitung f xi man die zweite partielle Ableitung nach x j, so erhält f xi x j = 2 f x i x j = f x i x j Beispiel f (x, y) = x 2 3x + x y + y 2 Aus f x = f x = 2x 3 + y und f y = f y f xx = 2 f x 2 = 2, f xy = 2 f y x = f yx = 2 f x y = und f yy = 2 f y 2 = 2 = x + 2y folgt Satz: Sind die 2. partiellen Ableitungen stetig, so gilt f xy = f yx bzw. allgemein f xi x j = f xj x i, d. h. die Reihenfolge der Dierenziation kann vertauscht werden. mehrdim3.pdf, Seite 33

34 HesseMatrix Die HesseMatrix H f fasst die zweiten partiellen Ableitungen zusammen (d. h. H f ist die JacobiMatrix des Gradienten): H f = 2 f x 2 = (a ij) = ( f xi x j ) n i,j= Im Beispiel f (x, y) = x 2 3x + x y + y 2 ist ( ) ( ) fxx f H f = xy 2 = unabhängig von x und y. f yx f yy 2 Im Allgemeinen jedoch sind die Einträge der HesseMatrix Funktionen. Die HesseMatrix ist immer symmetrisch, d. h. a ji = a ij. mehrdim3.pdf, Seite 34

35 Kriterien für Maximum und Minimum ( ) ( ) x0 x0 Ist grad f = 0, so ist zu prüfen, ob H y f = H f an der 0 y 0 Stelle ( x0 y 0 ) positiv denit, negativ denit oder indenit ist, um zu entscheiden, ob ein Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegt. Sind alle Eigenwerte von H f > 0 (H f ist positiv denit), so liegt ein lokales Minimum vor. Sind alle Eigenwerte von H f < 0 (H f ist negativ denit), so liegt ein lokales Maximum vor. Hat H f sowohl positive als auch negative Eigenwerte (H f ist indenit), so liegt weder ein Maximum noch ein Minimum, sondern ein Sattelpunkt vor. Hat H f den Eigenwert 0, so ist keine allgemeine Aussage möglich. mehrdim3.pdf, Seite 35

36 Spezialfall n = 2 Bei einer Funktion f (x, y) mit zwei Veränderlichen kann wie folgt vorgegangen werden: ( ) ( ) fx (x Ist grad f (x 0 ; y 0 ) = 0 ; y 0 ) 0 =, so kann die f y (x 0 ; y 0 ) 0 Determinante der HesseMatrix ( ) fxx (x H f = H f (x 0 ; y 0 ) = 0 ; y 0 ) f xy (x 0 ; y 0 ) bestimmt werden. f yx (x 0 ; y 0 ) f yy (x 0 ; y 0 ) Dabei gilt: Ist det H f = f xx f yy f 2 xy < 0, so so hat f weder ein Minimum noch ein Maximum, sondern einen Sattelpunkt. Ist det H f > 0 und f xx < 0, so hat f ein lokales Maximum. Ist det H f > 0 und f xx > 0, so hat f ein lokales Minimum. Ist det H f = 0, so lässt sich keine allgemeine Aussage machen, ob ein Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt. mehrdim3.pdf, Seite 36

37 Im Beispiel f (x, y) = x 2 3x + x y + y 2 war die einzige Nullstelle des Gradienten gegeben durch (x 0 ; y 0 ) = (2; ). Weiter ist ( det H f (x 0 ; y 0 ) = det 2 2 ) = 2 2 = 3 > 0 und f xx (x 0 ; y 0 ) = 2 > 0, also hat f in (x 0 ; y 0 ) = (2; ) ein lokales Minimum. Bemerkung/Warnung Die obigen Kriterien für Maxima/Minima mit Hilfe der Determinante sind nur für Funktionen mit zwei Variablen anwendbar. Im Fall n 3 müssen die Eigenwerte oder die Hauptminoren der HesseMatrix betrachtet werden. mehrdim3.pdf, Seite 37

38 Weiteres Beispiel Gesucht sind die relativen Extremstellen von f (x, y) = (x 2 ) sin y im Bereich x R und 0 y < 2π. Zunächst wird der Gradient berechnet: ( ) ( ) x 2x sin y grad f =. y (x 2 ) cos y Damit der Gradient der Nullvektor ist, müssen zwei Gleichungen erfüllt sein: () 2x sin y = 0 x = 0 oder y = 0 oder y = π, (2) (x 2 ) cos y = 0 x = oder x = oder y = π 2 oder y = 3 2 π. mehrdim3.pdf, Seite 38

39 Fortsetzung Beispiel f (x, y) = (x 2 ) sin y Es gibt 6 Stellen, an denen beide Bedingungen erfüllt sind: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 0 x2 0 x3 =, = 3 y π/2 y 2 π, =, y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x4 x5 x6 =, =, =, y 4 π y 5 0 y 6 π Um festzustellen, an welchen dieser Nullstellen des Gradienten sich Minima, Maxima bzw. Sattelpunkte von f (x, y) benden, muss die HesseMatrix bestimmt werden: ( ) ( x H f = y 2 sin y 2x cos y 2x cos y (x 2 ) sin y ) mehrdim3.pdf, Seite 39

40 Fortsetzung Beispiel f (x, y) = (x 2 ) sin y Die Kandidaten für Minima/Maxima in die HesseMatrix eingesetzt liefern: ( ) ( ) x 2 0 H f =. y 0 Hier ist die Determinante +2 > 0. Wegen f xx = 2 > 0 liegt ein lokales Minimum vor. ( ) ( ) x2 2 0 H f =. y 2 0 Hier ist die Determinante ebenfalls +2 > 0. Wegen f xx = 2 < 0 liegt ein lokales Maximum vor. ( ) ( ) ( ) x3 x6 0 2 H f = H y f =. 3 y Hier ist die Determinante 4 < 0, also liegen Sattelpunkte vor. Ein ähnliches Ergebnis erhält man für die beiden übrigen Kandidaten (x 4, y 4 ) und (x 5, y 5 ). mehrdim3.pdf, Seite 40

41 Quadratische Approximation Die mehrdimensionale Version der quadratischen Approximation f (x + h) T 2 (x + h) = f (x) + f (x) h + f (x) h 2 erfolgt mit 2 Hilfe der durch die HesseMatrix A = H f (x 0 ) denierten quadratischen Form: f (x + h) = f (x) + grad f (x), h + 2 h, Ah + R 2(x + h), wobei lim h 0 R 2 (x+h) h 2 = 0. mehrdim3.pdf, Seite 4

42 Im Beispiel f (x, y) = x 2 3x + x y + y 2 mit Entwicklungspunkt (x, y) = 0: f (h, h 2 ) ( ) (, h h 2 ) + 2 ( ) ( h, h )( ) h h 2 ( ) ( ) = 3h + h 2h, + h 2 = 3h 2 h 2 h + 2h + h 2 + h h 2 + h Hier stimmt f mit seiner quadratischen Approximation überein, d. h. R 2 (h) 0. Dies liegt daran, dass f selbst ein Polynom 2. Grades in (x, y) ist. mehrdim3.pdf, Seite 42

43 Höhere partielle Ableitungen Ähnlich wie 2. partielle Ableitungen könnnen durch mehrfaches Dierentieren auch Ableitungen der Ordnung 3 und höher berechnet werden. Beispiele f xxx = fxx x, f xyz = fxy z, f xyzz = fxyz z, f xyxy = fxyx y Allgemein gilt: Die Reihenfolge der Dierenziation ist vertauschbar. Zum Beispiel ist f xyz = f xzy = f yzx sowie f yxyx = f xxyy. mehrdim3.pdf, Seite 43

44 Beispiel f (x, y, z) = e x 2 y 2 + 2xz sin z 3xyz + y z cos y Zu den. partiellen Ableitungen f x = 2x e x 2 y 2 + 2z sin z 3yz, f y = 2y e x 2 y 2 3xz + z cos y y z sin y und f z = 2x sin z + 2xz cos z 3xy z 2 y cos y. siehe früheres Beispiel. Weiter ist f xy = fx y = 4xy ex 2 y 2 3z = fy x = f yx sowie f xyz = fxy z = 3 = f yxz = f yxz = f yzx = f zxy = f zyx Andere höhere partielle Ableitungen sind z. B. f xyx = 4y( + 2x 2 )e x 2 y 2 = f yxx = f xxy und f xyxy = 4( 2y 2 )( + 2x 2 )e x 2 y 2 = f xxyy = f xyyx = f yyxx = f yxxy = f yxyx mehrdim3.pdf, Seite 44