Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P. erreichte P (3) (6) 100+(9) Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Eine Firma stellt Surfbretter her, die zum Preis von 150e pro Stück verkauft werden. Weiterhin ist bekannt, dass die Firma pro Monat durch die Produktion und den Verkauf von x Surfbrettern (in Stück) einen Gewinn von in Euro erwirtschaftet. G(x) = 0.04x 3 + 3x , x 0 (a) Ermitteln und klassifizieren Sie alle lokalen Extremwertstellen von G(x) auf [0, ) und fassen Sie die Ergebnisse in einem Satz zusammen. Wieviele Surfbretter sollte die Firma pro Monat produzieren und verkaufen, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser Gewinn? Geben Sie den Rechenweg an. (b) (i) Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(x) : [0, ) R, die angibt (in Euro), wieviel Kosten pro Monat bei der Produktion von x Surfbrettern in dieser Firma anfallen. (ii) Bestimmen Sie alle größtmöglichen Intervalle auf denen K(x) progressiv wachsend oder fallend beziehungsweise degressiv wachsend oder fallend ist. (iii) Besitzt K(x) lokale Extremwertstellen auf (0, )? Falls ja, bestimmen und klassifizieren Sie diese. Falls nein, begründen Sie Ihre Antwort. (c) Bestimmen Sie die Funktion k v (x) : (0, ) R der variablen Stückkosten pro Monat, sowie das zugehörige Betriebsminimum. Interpretieren Sie den für das Betriebsminimum erhaltenen Zahlenwert.

2 Aufgabe 2 : (a) Gegeben sei w = 1 + i. Bestimmen Sie die exponentielle und die trigonometrische Form von w. Berechnen Sie w 6 in exponentieller und algebraischer Form unter Angabe des Lösungsweges. (b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 3 = e i 3π 4 in exponentieller Form (Angabe des Lösungsweges). Skizzieren Sie die Lage aller Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene. (c) Bestimmen Sie w = 1 + 4i 2i2 + 2i 3 in algebraischer Form. Geben Sie Ihren Rechenweg an. Aufgabe 3 : 1 + 7i Gegeben ist die Funktion f : D(f) [ π, π] R mit f(x) = 5x2 sin 2 x. (a) Bestimmen Sie D(f), sowie lim x 0 f(x). Der Rechenweg ist anzugeben. (b) Besitzt f(x) an der Stelle x = 0 eine hebbare Unstetigkeit? Falls ja, geben Sie eine Funktion g(x) an, die für alle x D(f) {0} stetig ist und für die f(x) = g(x) für alle x D(f) gilt. Falls nein, begründen Sie Ihre Aussage. (c) Welche Art von Unstetigkeit hat f(x) in x mit x = π? Begründen Sie Ihre Aussage. Aufgabe 4 : Gegeben sei die Funktion f : R R mit { e x 1 für x 1 f(x) = 3x + a für x > 1 Die Funktion f(x) soll stetig für alle x R sein. (a) Bestimmen Sie a so, dass die Funktion f(x) die genannte Eigenschaft besitzt. Der Rechenweg, sowie die resultierende Funktion sind anzugeben. (b) Skizzieren Sie f(x) im Intervall I = [ 1, 2]. (c) Bestimmen Sie f (x) für alle x R, für die f(x) differenzierbar ist und begründen Sie gegebenenfalls, warum f (x) nicht existiert. Gehen Sie davon aus, dass f 1 : R R, f 1 (x) = e x 1 und f 2 : R R, f 2 (x) = 3x + a für alle x R stetig und differenzierbar sind.

3 Aufgabe 5 : Bemerkung: Die kleinste zeitliche Planungseinheit in dieser Aufgabe ist der Tag. Die Woche ist mit 7 Tagen zu rechnen. Bei einem Drogeriegroßhändler dauert das Sommersaisongeschäft 22 Wochen. In dieser Zeit liefert er pro Woche 420 Flaschen Pflegelotion an die Drogerien aus. Der Großhändler bezieht die Pflegelotion direkt vom Produzenten und zahlt pro Lieferung (unabhängig von der gelieferten Menge) 45,-e an die Transportfirma. Die Lagerung einer Flasche Pflegelotion kostet den Großhändler 0.01e pro Tag. Wie oft und in welchen Mengen sollte der Großhändler die Pflegelotion vom Produzenten liefern lassen, wenn er die Summe aus Lager- und Lieferkosten minimieren möchte und wie hoch ist diese Summe? Zusatzaufgabe: Ändert sich die minimale Summe aus Liefer- und Lagerkosten, sofern die kleinste zeitliche Planungseinheit die Stunde ist (und der Tag mit 24 Stunden gerechnet wird)? Falls ja, berechnen Sie die geänderte Summe, falls nein begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 6 : Gegeben sei die Funktion f : D(f) R 2 R mit f(x, y) = ln(x 2 + y 1). Bestimmen und skizzieren Sie die Niveaulinien N c (f) dieser Funktion für die Niveaus c = 1, c = 0 sowie c = 1. Aufgabe 7 : Für eine Angebotsfunktion x = x(p) mit p 10 sind die Elastizität ɛ x,p = 3p + 1, sowie der Anfangswert x(10) = 50 bekannt. Bestimmen Sie die Angebotsfunktion x(p). Geben Sie den Rechenweg an.

4 Aufgabe 8 : In einem Biergarten wurden für den täglichen Absatz die folgenden Preis-Absatz-Funktionen beobachtet x 1 (p 1, p 2 ) = p p 2, x 2 (p 1, p 2 ) = p 1 0.6p 2, woraus sich die folgenden Umkehrfunktionen ergeben p 1 (x 1, x 2 ) = 750 3x 1 x 2, p 2 (x 1, x 2 ) = 500 x 1 2x 2. Dabei ist x 1 die Menge der verkauften Gläser Bier und x 2 die Menge der verkauften Gläser Radler. Es werden nur Gläser mit 0.5 Liter Inhalt verkauft. Weiterhin ist p 1 der Preis für ein Glas Bier in Cent und p 2 der Preis für ein Glas Radler in Cent. Radler ist ein Gemisch, das zur Hälfte aus Bier und zur Hälfte aus Limo besteht. (a) Zu welchen Preisen sollten Bier und Radler jeweils angeboten werden, um täglich maximalen Erlös zu erzielen? Wieviele Gläser Bier bzw. Radler würden dann täglich verkauft werden und wie hoch wäre der Erlös. Der Rechenweg ist ausführlich darzustellen. Weisen Sie nach, daß es sich wirklich um ein Maximum handelt. (b) An einem Montag ist leider die Bierlieferung ausgeblieben. Es sind insgesamt nur noch 60 Liter Bier vorrätig, die pur oder als Bestandteil des Radler verkauft werden können. Welche Preise sollten gefordert werden, um unter dieser Voraussetzung maximalen Erlös zu erzielen und wie hoch ist dieser? (Der Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt, ist nicht gefordert.) Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Falls sie die Nebenbedingung nicht ermitteln können, verwenden Sie die Bedingung 2.5x x 2 = 300. Zusatzaufgabe: Es gibt keine Einschränkungen wie unter (b). (c) Die aktuellen Preise betragen 4, 00e für ein Glas Bier (0,5 l) und 2, 55e für ein Glas Radler (0,5 l). Die Wirtin beabsichtigt den Preis für ein Glas Bier um 15 Cent auf 3, 85e zu senken (der Radler-Preis soll konstant bleiben). Welche prozentuale Veränderung bedeutet dies näherungsweise für den Erlös? Verwenden Sie zur Berechnung die Elastitzität.

5 Gruppe A: Ergebnisse - keine vollständigen Lösungen 1: G(x) = 0.04x 3 + 3x : (a) G (x) = 0.12x 2 + 6x = 0 x 2 50x = 0 x 1 = 0, x 2 = 50 G (x) = 0.24x + 6 G (0) > 0, G (50) < 0 Somit ist x 1 = 0 eine lokale Minimalstelle und x 2 = 50 eine lokale Maximalstelle von G(x). Die Firma sollte pro Monat 50 Surfbretter verkaufen, um maximalen Gewinn von G(50) = 1 000e zu erzielen. (b) K(x) = E(x) G(x) = 150x x 3 3x K (x) = 0.12x 2 6x + 150, K (x) = 0.24x 6 K (x) = 0 x 2 50x = 0 x 1,2 = 25 ± R K (x) hat keine reelle Nullstelle K (x) > 0 für alle x 0 K(x) ist monoton wachsend für alle x 0 K (x) = 0 x = 25, K (x) < 0 für x < 25 und K (x) > 0 für x > 25 K(x) ist degressiv wachsend für x [0, 25] und progressiv wachsend für x [25, ) K(x) besitzt keine lokalen Extremwertstellen auf (0, ), da K(x) auf diesem Intervall stetig und monoton wachsend ist und das Intervall offen ist (keine Randpunkte). (c) k v (x) = 0.04x 2 3x + 150, k v(x) = 0.08x 3 = 0 x = 37, 5, k v(x) = 0.08 > 0 x = 37, 5 ist lokale Minimalstelle von k v (x). k v (37, 5) = 93, 75 Die Surfbretter können kurzfristig zu einem Preis von 93,75e verkauft werden. Damit können im Idealfall gerade so die variablen Kosten gedeckt werden. (a) w = 2 e i 3 4 π = 2(cos 3 4 π + i sin 3 4 π), w6 = 8e i π 2 = 8i 3: (b) z 0 = e i π 4, z 1 = e i π, z 2 = e i π = e i( 5 12 π) (c) w = 17 19i 50 5x (a) D(f) = ( π, π) \ {0}, lim 2 = lim x 0 sin 2 x x 0 10x = lim 2 sin x cos x x 0 10 = 5 2 cos 2 x 2 sin 2 x (b) f(x) besitzt an der Stelle x = 0 eine hebbare Unstetigkeitstelle. { 5x 2 x [ π, π], x 0 g(x) = sin 2 x 5 x = 0 (c) 5x lim 2 x π+0 sin 2 x =, lim x π 0 5x 2 sin 2 x = x = π und x = π sind Polstellen von f(x).

6 { e x 1 für x 1 4: f 1 (1) = e 1, f 2 (1) = 3 + a a = e 4 f(x) = 3x 4 + e für x > 1 e x für x < 1 f (x) = n.def. für x = 1 3 für x > 1 Für x = 1 existiert f (x) nicht, da f 1(1) = e 3 = f 2(1). 5: m = , k 0 = 45, k l = x th 2m k = 0 k l = 73, 48, n th = 12, 6 n 1 = 12, x 1 = 770, t 1 2 N, n 2 = 11, x 2 = 840, t 2 2 = 14 n 3 = 13, x 3 N, n 4 = 14, x 4 = 660, t 4 2 = 11 K 11 = 1 141, 80e, K 14 = 1 138, 20e Der Händler sollte die Lotion 14 mal zu je 660 Flaschen liefern lassen, um die Summe aus Liefer- und Lagerkosten mit 1 138, 20e zu minimieren. Zusatzaufgabe: Ja, die Summe ändert sich, da jetzt t 1 2 = = 308 N und 12 K 12 = 1 132, 90e. 6: (a) c = 1 y = e x2, c = 0 y = 2 x 2, c = 1 y = e + 1 x 2 7: ɛ x,p = x p x = 3p + 1 ist DGL mit getrennten Variablen, aber auch lineare homogene DGL mit a(p) = 3p+1 p Die allgemeine Lösung ist: x(p) = c p e 3p, c R und die Lösung des AWP mit x(10) = 50 ist x(p) = 5p e 3(p 10). 8: (a) E(x 1, x 2 ) = 750x 1 3x 2 1 2x 1 x 2 2x x 2, E x1 = 6x 1 2x , E x2 = 2x 1 4x E x1 = E x2 = 0 x 1 = 100, x 2 = 75, p 1 = 375, p 2 = 250, E(x 1, x 2 ) = E x1 x 1 = 6, E x1 x 2 = E x2 x 1 = 2, E x2 x 2 = 4 det H E = 6 ( 4 ( 2) ( 2) = 20 > 0 und E x1 x 1 < 0 (x 1, x 2 ) = (100, 75) ist lokale Maximalstelle von E(x 1, x 2 ). Das Bier sollte zu 3,75e und das Radler zu 2,50e pro Glas angeboten werden. Dann würden täglich 100 Glas Bier und 75 Glas Radler verkauft werden, womit ein maximaler Erlös von 562,50e erzielt wird. (b) NB: 0.5x x 2 = 60, L(x 1, x 2, λ) = 750x 1 3x 2 1 2x 1 x 2 2x x 2 + λ(60 0.5x x 2 ) L x1 = 750 6x 1 2x 2 0.5λ, L x2 = 500 2x 1 4x λ, L λ = x x 2 L x1 = L x2 = L λ = 0 x 1 = 85, x 2 = 70, p 1 = 425, p 2 = 275, E(85, 70) = Es sollten 4,25e für ein Glas Bier und 2,75e für ein Glas Radler verlangt werden, um maximalen Erlös von 553,75e zu erzielen. (c) Zusatzaufgabe: E(p 1, p 2 ) = 200p 1 0.4p p 1 p p 2 0.6p 2 2 ɛ E,p1 = E p1 p1 = E Die Preissenkung des Bieres entspricht = 3, 57%. p = 3.57 Der Erlös steigt näherungsweise um ( 3, 57) ( ) = 0.46%.