Musterlösungen zu Serie 6

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 3 Dr. Ana Cannas da Silva Musterlösungen zu Serie 6. Die Bogenlänge des Graphen einer differenzierbaren Funktion b f : [a, b] R ist durch + (f (x)) dx gegeben. Insbesondere erhalten wir a) für f(x) x 3, a und b + (f (x)) dx 3 a ( ) 3 + x dx + 9 x dx ( + 9 ) 3 ( 9 x (3 8 ) ) , b) für f(x) x, a und b + (f (x)) dx + (x) dx arsinh (vgl. Serie vom HS ). + x dx x dx ( ) arsinh x + x + x ln ( + 5 ) a) Die Parametrisierung lässt sich wiefolgt aufteilen: ( ) ( ) ( ) t sin t t sin t t +, t π. cos t cos t Die erste Komponente parametrisiert das Intervall [, π] auf der x-achse, die zweite parametrisiert den Einheitskreis um (, ) beginnend mit dem Ursprung im Uhrzeigersinn. Die Superposition dieser beiden Wege beschreibt, anschaulich gesprochen, die Kurve, die ein Punkt auf der Einheitskreisscheibe durchläuft, wenn diese auf der x-achse ohne zu gleiten abrollt. Bitte wenden!

2 t t Zu Aufgabe a) b) Die Ableitung der Parametrisierung nach dem Kurvenparameter t ist ( ) ( ) cos t sin t sin t + ( + cos t) sin t cos t ( ) sin t ( + cos t), cos t ( + cos t) wobei wir cos t sin t verwendet haben. Für die Bogenlänge erhalten wir daraus zunächst π ( ) sin t ( + cos t) dt cos t ( + cos t) π ( + cos t) cos t ( + cos t) + dt π Mit der Substitution x arccos u folgt π cos t dt π + cos t dt cos t dt. u u du u + u u du du + u, + u ergibt sich für die Bogenlänge 8. Siehe nächstes Blatt!

3 c) Es gelten r sin t γ(t) r cos t und (δ γ) (t) e r cos t+r sin t+ht e r +ht, h δ ds π e r +ht r sin t + r cos t + h dt r + h e r π e ht dt γ r + h h e r e ht π r h + ( er e πh ). 3. Die Fläche B kann beispielsweise mithilfe von Zylinderkoordinaten parametrisiert werden. Es gilt (x, y, z) (r cos ϕ, r sin ϕ, z), r x + y, z x y ( r ), r z / für z. Eine Parametrisierung ist durch z cos ϕ f(z, ϕ) z, z, ϕ π, z gegeben. Für Punkte (x, y, z) auf B gilt ( ) + 3x + 3y + 3 z 3z 3z 6. Ferner gelten f z (z, ϕ) z z z z f z (z, ϕ) f ϕ (z, ϕ) und damit f z (z, ϕ) f ϕ (z, ϕ) cos ϕ sin ϕ, f z sin ϕ ϕ(z, ϕ) z cos ϕ, ( z cos ϕ, z sin ϕ, z z + z 6 3z 6. ) T Bitte wenden!

4 Das Oberflächenintegral ist demnach B + 3x + 3y da π π 3z 6 ( 3z 6 3z 6 ) dz π. dz dϕ Alternativ lässt sich die Fläche B auch mithilfe von verallgemeinerten Kugelkoordinaten parametrisieren. Eine solche Parametrisierung ist z.b. durch cos ϕ sin ϑ g(ϕ, ϑ) sin ϕ sin ϑ, ϕ π, ϑ π, cos ϑ gegeben. Mit + 3 (x + y ) + 3 sin ϑ und sin ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ g ϕ (ϕ, ϑ) cos ϕ sin ϑ, g ϑ (ϕ, ϑ) sin ϕ cos ϑ, sin ϑ g ϕ (ϕ, ϑ) g ϑ (ϕ, ϑ) ( cos ϕ sin ϑ ) ( + sin ϕ sin ϑ ) + ( sin ϑ cos ϑ) sin ϑ + sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ + 3 sin ϑ, folgt ebenfalls B + 3x + 3y da π π π π sin ϑ ( + 3 sin ϑ ) dϑ dϕ ( sin ϑ + 3 sin 3 ϑ ) dϑ π.. a) Die naheliegendste Parametrisierung ergibt sich durch die Darstellung der Ebene S als Graph der Funktion (x, y) + x + y. Damit ergibt sich x a(x, y) y, x 5, y 5 x. + x + y Siehe nächstes Blatt!

5 Eine weitere Parametrisierung dieses Graphen ergibt sich mithilfe von Zylinderkoordinaten (x, y, z) (r cos ϕ, r sin ϕ, z), nämlich r cos ϕ b(r, ϕ) r sin ϕ, r 5, ϕ π, + r oder (ebenfalls in Zylinderkoordinaten) z cos ϕ c(z, ϕ) z sin ϕ, z 3, ϕ π, z oder (mit r sinh u und z cosh u) sinh u cos v d(u, v) sinh u sin v, u arcosh 3, v π. cosh u b) Für die erste Parametrisierung in a) gelten (f a) (x, y) a x (x, y) a y (x, y) + x + y x + y + x + y +, und S f da 5 x 5 5 x 5 5 x 5 5 x 5 + x + y dx dy + x + y + x + y dx dy + x + y. Durch Einführen von Polarkoordinaten geht dieses Integral über in π 5 r dr dϕ 5 π + r Für die zweite Parametrisierung in a) gelten r dr + r π + r 5 (f b) (r, ϕ) + r r b r (r, ϕ) b ϕ (r, ϕ) + r + r, was direkt auf das Integral () führt. und π () Bitte wenden!

6 Für die dritte Parametrisierung in a) gelten (f c) (z, ϕ) z und c z (z, ϕ) c ϕ (z, ϕ) z, f da π 3 S dz dϕ π. Für die vierte Parametrisierung in a) gelten S (f d) (u, v) sinh u + cosh u d u (u, v) d u (u, v) sinh u sinh u + cosh u, f da π arcosh 3 und sinh u du dϕ π cosh u arcosh 3 π. 5. a) Für festgehaltene v v parametrisiert cos u ( + cos v ) u sin u ( + cos v ), u π, sin v einen Kreis in der Ebene z sin v um die z-achse mit Radius + cos v. Für festgehaltene u u parametrisiert cos u ( + cos v) v sin u ( + cos v), v π, sin v einen Einheitskreis mit Abstand vom Ursprung und Mittelpunkt auf der x-y- Ebene, der in derjenigen Ebene durch die z-achse liegt, die mit der x-z-ebene den (orientierten) Winkel u einschliesst. Die Fläche T setzt sich aus allen Kreisen zusammen, die parallel zur x- y-ebene liegen, ihren Mittelpunkt auf der z-achse haben und den Einheitskreis um den Punkt (,, ) in der x-z- Ebene schneiden bzw. entsteht dadurch, dass dieser Kreis um die z-achse rotiert wird. T ist ein Torus. Siehe nächstes Blatt!

7 b) Wir schreiben f(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) T, x(u, v) cos u ( + cos v), y(u, v) sin u ( + cos v) und z(u, v) sin v. Dann gilt für v π/ (wegen cos u + sin u ) ( ) x(u, v) + y(u, v) ( + cos v) + sin v ( + ) z(u, v), ( ) x(u, v) + y(u, v) + z(u, v). Die Fläche T liegt in der Niveaufläche zum Niveau der Funktion g : R 3 R, g(x, y, z) ( x + y ) + z. Die Niveaufläche ist offensichtlich ebenfalls rotationssymmetrisch zur z-achse. Gilt umgekehrt g(x, y, z), so liegt (x, y, z) auf einem zur x-y-ebene orthogonalen Einheitskreis mit Abstand vom Ursprung und Mittelpunkt auf der x-y-ebene, liegt auf der Torusfläche T. c) Es gelten sin u ( + cos v) cos u sin v f u (u, v) cos u ( + cos v), f v (u, v) sin u sin v cos v und daher cos u cos v ( + cos v) f u (u, v) f v (u, v) sin u cos v ( + cos v) + cos v, sin v ( + cos v) wobei wir cos u + sin u cos v + sin v benutzt haben. Damit ergibt sich π π als Flächeninhalt von T. π π ( + cos v) du dv du dv + 8π.