1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler

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1 Zusammenfassung Kapitel IV: Funktionen mehrerer Veränderlicher und vektorwertige Funktionen 1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler Definition vektorwertige Funktion: Eine auf einem Intervall I R definierte Funktion, deren Werte Vektoren im R n sind (n > 1), heißt eine vektorwertige Funktion einer Variablen: f : I R n Konstruktion vektorwertige Funktion: Man kann f f 1,, f n : I R konstruieren: f 1 (x) x I : f (x) = R n f = f n (x) aus n reellen Funktionen f 1 f n : I R n Kurve im R n : Sei Γ eine Kurve im R n und x : I R n eine vektorwertige Funktion von t Ist Γ die Menge der Punkte x (t) mit t I, so heißt Γ die Kurve von x Umgekehrt heißt x dann eine Parameterdarstellung von Γ Die Variable t heißt Parameter Definition Funktion von mehrerer Variabler: Eine Funktion f : D R mit dem Wertebereich R, die definiert ist auf einer Teilmenge D R m für m > 1, heißt eine reellwertige Funktion von mehreren (hier m) Variablen oder auch ein Skalarfeld Konstruktion Funktion von mehrerer Variabler: Bei solchen Funktionen verstehen wir im Allgemeinen D als eine Punktmenge im R m, so dass dann die unabhängigen Variablen,, x m als die Koordinaten ihrer Ortsvektoren x anzusehen sind: x = x m D f( x ) = f(,, x m ) R Definition Vektorwertige Funktion von mehreren Variablen: Eine Funktion f : D R n, deren Definitionsbereich eine Teilmenge D R m (m > 1) ist und die den Wertebereich R n mit n > 1 hat, heißt eine vektorwertige Funktion von mehreren (hier m) Variablen oder auch ein Vektorfeld

2 Konstruktion Vektorwertige Funktion von mehreren Variablen: f 1 f = : D R n mit f 1 (,, x m ) f (,, x m ) = f n f n (,, x m ) 2 Differenzierbarkeit und Ableitung renzwerte und Stetigkeit von vektorwertigen Funktionen wird mittels der Koordinatenfunktionen geprüft Sei f : I R n eine vektorwertige Funktion auf einem Intervall I Seien f k ihre Koordinatenfunktionen und für t 0 I existiert lim f (t) t t0 genau dann wenn lim f k (t) k existieren Wenn diese existieren gilt dann: t t0 lim t t 0 f (t) = f 1 (t) f n (t) Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen: Ist I ein Intervall und f : I R n eine vektorwertige Funktion mit den Koordinatenfunktionen f k : I R k = 1,, n, so gilt: f ist genau dann differenzierbar, wenn die Koordinatenfunktionen f k : I R alle differenzierbar sind Die Ableitung f von f ist dann die vektorwertige Funktion, deren Koordinatenfunktionen die Ableitungen f k der Koordinatenfunktionen von f sind: f = f 1 f 2 f n : I Rn f = f 1 f 2 f n : I Rn renzwert und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen: Sei D R n ein ebiet, x 0 D und f : D R eine reellwertige Funktion (Skalarfeld) Ist R und gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass f(x) < ε für alle x D mit x x 0 < δ gilt, so heißt renzwert von f für x x 0, in Zeichen: lim f( x ) = x x 0 Partielle Ableitung: Für n 2 sei D R n ein ebiet und f : D R eine reellwertige Funktion (ein Skalarfeld) der Variablen,, x n Ist x D ein Punkt, so heißt der renzwert f( x + h e k ) f( x ) lim h 0 h k {1,, n})

3 die partielle Ableitung der Funktion f nach x k in x Existiert der renzwert und ist er eine endliche Zahl, so heißt f partiell differenzierbar nach x k in x Die partielle Ableitung wird bezeichnet mit f xk ( x ) = f xk (,, x n ) = f = ( f ) x k x j = f = f(,, x n ) Partielle Differenzierbarkeit und radient: Ist die skalarwertige Funktion (das Skalarfeld) f : D R in dem ebiet D R n partiell differenzierbar nach allen Variablen x k für 1 k n, so heißt f partiell differenzierbar Die vektorwertige Funktion, deren Koordinatenfunktionen die partiellen Ableitungen von f sind, nennt man den radienten oder das radientenfeld von f (als Hinweis darauf, dass es sich um ein Vektorfeld handelt) Der radient von f wird bezeichnet mit grad f : D R n, grad f( x ) = f x1 (,, x n ) f xn (,, x n ) = x n f = f Das Symbol repräsentiert den Nabla-Operator Ist f partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen stetig, so heißt f stetig partiell differenzierbar Partielle Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit: Die beiden Differenzierbarkeitsbegriffe stetig partiell differenzierbar und stetig differenzierbar sind äquivalent Vollständige Differential: Es sei D R n ein ebiet und f : D R differenzierbar im Punkt x D Dann heißt die Abbildung df(x) : R n R definiert durch df( x ) = grad f( x ) dx = n k=1 f ( x )dx k das vollständige Differential (oder totale Differential) von f in x Satz (von Schwarz): Sei r 2 und f : D R eine r-mal stetig differenzierbare Funktion der n Variablen,, x n auf dem ebiet D R n Dann stimmen alle partiellen Ableitungen von f der Ordnung r überein, die durch Ableiten nach denselben Variablen in verschiedener Reihenfolge gebildet werden eht das geordnete r-tupel (j 1,, j r ) aus (k 1,, k r ) durch Umordnung der Zahlen k 1,, k r hervor und sind die partiellen Ableitungen r f r 1, r f x jr x j1 : D R stetig, so sind sie nach dem Satz von Schwarz gleich

4 Ein Vektorfeld f : D R n auf einem ebiet D R n heißt konservativ, wenn es ein radientenfeld ist, wenn also eine partiell differenzierbare reellwertige Funktion F : D R existiert, so dass grad F = f ist Eine solche Funktion F heißt eine Potentialfunktion oder ein Potential des Vektorfeldes f Integrabilitätsbedingungen: Ist n 2 und f : D R n ein Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden ebiet D R n so gilt: f ist genau dann konservativ, wenn die n Koordinatenfunktionen f k : D R (1 k n) von f stetig differenzierbar sind und den folgenden Integrabilitätsbedingungen genügen: f k x i = f i für alle k, j {1,, n} Differenzierbarkeit eines Vektorfelds: Sei D R n ein ebiet und f : D R m ein Vektorfeld mit den Koordinatenfunktionen f k : D R für k = 1,, m 1 Sind alle Koordinatenfunktionen von f partiell differenzierbar nach der Variablen x j, so heißt f partiell differenzierbar nach x j Das Vektorfeld f f = = x j x j f 1 x j f m x j heißt dann die partielle Ableitung von f nach x j : D R m 2 Ist f partiell differenzierbar nach allen Variablen x j, so heißt f ein partiell differenzierbares Vektorfeld Die (m, n)-matrix, deren Spalten die partiellen Ableitungen x j f für j = 1,, n sind, heißt die Funktionalmatrix oder Jacobi- Matrix von f Sie wird bezeichnet mit J( f ): J( f ) = f 1 f 1 x n f m f m x n radientenfeld und Hessematrix: Sei D R n ein ebiet und f : D R n ein radientenfeld mit den Koordinatenfunktionen F = f k : D R für k = 1,, n, wobei F : D R f 1 f ( H(F ) = J( ) T n 2 F 2 F x f ) = 2 1 x n = f 1 f x n n 2 F x n x n 2 F x 2 n

5 3 Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher 31 Mehrfachintegral Es sei f(x, y) eine stetige Funkton Integration zunächst über y, x werde festgehalten: Anschließend Integration über x y 2 f(x, y) dy = F (x) x 2 Man kann dies auch zusammenschreiben: x 2 y 2 f(x, y) dy dx = F (x) dx = y 2 x 2 f(x, y) dx dy = x 2 y 2 dx f(x, y) dy Dies ist ein Doppelintegral (zweifaches Integral) Die Reihenfolge der Integrationen ist verstauschbar Sind die renzen nicht fest, erfolgt zunächst die Integration zwischen oberen und unterem Bereich, dann von den festen Integrationsgrenzen x 2 dx ϕ 2 (x) f(x, y) dy ϕ 1 (x) 32 Bereichsintegral Das Bereichsintegral als Volumenintegral: f(x, y) da Integrationsregeln: (f(x, y) + g(x, y)) da = f(x, y) da + g(x, y) da c f(x, y) da = c f(x, y) da 1

6 Lässt sich das ebiet in zwei disjunkte Teilgebiete 1 und 2 zerlegen, so gilt: f(x, y) da = f(x, y) da + f(x, y) da 1 Das Bereichsintegral ist also ein Mehrfachintegral Ist der Bereich rechteckig, so gilt: f(x, y) da = x 2 y 2 dx 2 dy f(x, y) y β α x = ψ1(y) y = ϕ 2 (x) y = ϕ 1 (x) x = ψ2(y) Für krummlinige (konvexe) Bereiche (siehe die Abbildung links) gilt für das Integral: f(x, y) da = = b a β dx dy ϕ 2 (x) ϕ 1 (x) ψ 2 (y) f(x, y) dy f(x, y) dx a b x α ψ 1 (y) 33 Transformation des Bereichsintegrals Es sei eine umkehrbar eindeutige Abbildung des ebietes ((x, y)) in das ebiet ((u, v)), also u(x, y), v(x, y) gegeben Ein Punkt P (x, y) aus wird also in einen Punkt P (u, v) aus abgebildet Analog wird das Flächenelement da aus in das Flächenelement da aus überführt Die zugehörige Transformation da = (u, v) (x, y) da wird durch die die (Jacobische) Funktionaldeterminante (u, v) u u (x, y) = x y v v vermittelt Die umgekehrte Transformation, (u, v) (x, y) wird durch die inverse Matrix vermittelt Für die zugehörige Funktionaldeterminante gilt (x, y) (u, v) = 1 (u,v) x (x,y) Damit die Transformation umkehrbar eindeutig ist, müssen die partiellen Ableitungen u x, u y, stetig und die Funktionaldeterminante von Null verschieden sein y

7 Beispiel ebene Polarkoordinaten r (x, y) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ y r = x 2 + y 2, ϕ = arctan y x ϕ x Dann ist die Funktionaldeterminante (x, y) x x (r, ϕ) = r ϕ y y = cos ϕ sin ϕ r ϕ r sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + r sin 2 ϕ = r und das Bereichsintegral kann wie folgt geschrieben werden: f(x, y) da = f(x, y) dx dy = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ))r dr dϕ Beispiel Kugelkoordinaten (räumliche Polarkoordinaten) z x ϕ ϑ r P y x = r sin ϑ cos ϕ r = x 2 + y 2 + z 2 y = r sin ϑ sin ϕ z ϑ = arccos x2 + y 2 + z 2 z = r cos ϑ ϕ = arctan y x

8 Dann ist die Funktionaldeterminante x x x (x, y, z) r ϑ ϕ (r, ϑ, ϕ) = y y y sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ r ϑ ϕ = z z sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ cos ϑ r sin ϑ 0 = r2 sin ϑ r z ϑ ϕ und das Bereichsintegral kann wie folgt geschrieben werden: f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dx dy dz = f(x(r, ϑ, ϕ), y(r, ϑ, ϕ), z(r, ϑ, ϕ))r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ Anmerkung: Verwendet man die Konvention x = r cos ϑ cos ϕ, y = r cos ϑ sin ϕ und z = r sin ϑ, dann läuft ϑ nicht mehr zwischen 0 und π sondern von π /2 bis π /2 und das Volumenelement ist dv = r 2 cos ϑ dr dϑ dϕ