K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung WS 17/18: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 8. Übung WS 17/18: Woche vom Vektoranalysis: Differentialausdrücke in anderen Koordinaten 17.39, 17.43, Skalare und Vektorfelder, grad, div, rot 19.1, 19.2 (a-d), 19.4 (b,c,e), 19.12; Zusatz: (b), 19.17, 19.19

2 Zylinderkoordinaten x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z, ρ = x 2 + y 2 = d(x, z-achse ) ρ: s. oben, ϕ: Umlaufwinkel, z: Höhe cos ϕ sin ϕ 0 (x) (z) = ρ sin ϕ ρ cos ϕ 0, D = ρ Singuläre Menge: z-achse ; Z := Zylinder mit Höhe H, Radius R: Z ρ,ϕ,z x,y,z Z = [0, R] [0, 2π] [0, H] Auch sinvoll (besonders einfach): Hohlzylinder (konzentrisch).

3 Kugelkoordinaten x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r = x 2 + y 2 + z 2 r: s. oben, ϕ: Umlaufwinkel, θ: Höhenwinkel (bzgl. xy-ebene) cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ (x) (k) = r cos θ sin ϕ r cos θ cos ϕ 0, D = r2 cos θ r sin θ cos ϕ r sin θ sin ϕ r cos θ Singuläre Menge: z-achse ; K := Kugel (konzentr.) mit Radius R: K r,ϕ,θ x,y,z K = [0, R] [0, 2π] [ π 2, π 2 ] Auch sinvoll (besonders einfach): Hohlkugel (konzentrisch).

4 Ellipsoidalkoordinaten Motivation: Ellipsoid: E := {x R 3 x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1} (HA a, b, c) x = ar cos ψ cos φ, y = br cos ψ sin φ, z = cr sin ψ, a, b, c > 0 r, φ, ψ sind Parameter (kein direkter Geometriebezug (!)) a cos ψ cos φ b cos ψ sin φ c sin ψ (x) (e) = ar cos ψ sin φ br cos ψ cos φ 0, D =abcr2 cos ψ ar sin ψ cos φ br sin ψ sin φ cr cos ψ Singuläre Menge: z-a. ; E Ellipsoid (achsparallel, zentralsymm.): E r,ϕ,θ x,y,z E = [0, 1] [0, 2π] [ π 2, π 2 ]

5 Volumenintegralberechnung mit Koord.-trafo E := { x R 3 x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1} (x 2 + y 2 )dxdydz = E [ a [ b 1 x 2 /a ] ] 2 c 1 x 2 /a 2 y 2 /b 2 = (x 2 + y 2 )dz dy dx a = Trafo... = = abc 1 0 b 1 x 2 /a 2 c π π/2 0 r 4 dr wegen: 0 π/2 2π cos 2 φ dφ = 1 2 cos φ sin φ + φ 2, 0... dψ dφ dr ( a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ dφ = 4 ) 15 abcπ(a2 + b 2 ) π/2 π/2 cos 3 ψ dψ = 1 3 sin3 ψ + 1 sin ψ cos 3 ψ dψ, sin 2 φ dφ = 1 2 cos φ sin φ + φ 2

6 Mehrfachintegrale über Quaderbereiche Falls für den Integrationsbereich Q und den Integranden f gilt (i) Q = n i=1[a i, b i ] (Q achsparalleler Quader), (iia) f(x) = n f i (x i ) (Integrand hat Produktstruktur), (iib) f(x) = i=1 m j=1 i=1 n f j i(x i ) (Tensor-Produktstruktur). Dann gilt: bzw.: Q Q f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = n i=1 m bi j=1 i=1 f i (x i )dx i, a i n bi f j i(x i )dx i. a i

7 Koordinatensysteme des Raumes krummliniges K.S.: 3 je einparametrische Scharen von Flächen, die jeweils schlicht den R 3 überdecken. (mit Ausnahme einer Polmenge vom (Jordan-)Maß 0). u = u(x, y, z) = c 1 Koord. Stellungs- x u v = v(x, y, z) = c 2 von x v w = w(x, y, z) = c 3 x R 3 vektoren: x w Lokal orthogonale Koordinatensysteme: Es gilt x u x v x w, x R 3. Sinngemäß analog für R 2 und R n, n > 3.

8 Ko- und kontravariante Koordinaten Ebene, schiefwinklige Koordinatensysteme: Identifikation mit Stellungsvektoren a 1, a 2, a 3 (Basis von R 3 ) der (je) parallelen (Hyper-)Ebenensysteme, s. lineare Algebra. Kontravariante Koordinaten: Darstellungskoeffizienten (jedes) Ortsvektors in der Basis {a 1, a 2, a 3 }: r x = 3 1 α ia i Kovariante Koordinaten: durch orthogonale Projektion des Ortsvektors auf Koordinatenvektoren. Für lokal orthogonale Koordinatensysteme stimmen ko- und kontravariante Koordinaten überein.

9 Grundbegriffe der Vektoranalysis Definitionsbereich V R 3 (R 2 R 3 ) Skalarfeld: f : V R, Vektorfeld: f = (f1,..., f m ) T : V R m. Anwendungen f: Temperaturfeld, (Masse-/Ladungs-)Dichte,... Anwendungen f: Strömungsfelder(-geschw.); elektromagnetische Felder, Verschiebungs- Deformations- Spannungsfelder (lin. Elastizität), Ableitungen (Wiederholung) für Skalar- und Vektorfeld Gradient: f = (f x1,... f xn ) T, Hessian: 2 f = ( f ) Jakobian(Vektorfeld): D f = f x = f T = ( f 1,..., f m ) T

10 Rechenregeln der Vektoranalysis Sei φ : D R, D R n und v : D R n, D R n ein zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld bzw. Vektorfeld, so gelten die Regeln (i) rot(grad φ) = 0 (Satz von Schwarz) (ii) div(rot v) = 0 (iii) div(grad φ) =: φ Definition Laplace-Op. (iv) div(φv) = gradφ v + φdiv v (v) rot(φv) = gradφ v + φ(rot v) (vi) rot(rot(v)) = grad(div(v)) v Definition Vektor-Laplace. Die Regeln, in denen der Rotationsoperator vorkommt, gelten nur für n = 3 (n 3).

11 Kurvenintegrale 1. Art I Gegeben: Glatte, reguläre Kurve (stückweise glatte ) γ. Erinnerung: Bogenelement und Bogenlänge Sei x : [t a, t b ] R n die Parameterdarstellung dieser Kurve. Dann heißt ds := ẋ 2 1 (t) + ẋ2 2 (t) + + ẋ2 n(t)dt = ẋ(t) dt das (skalare) Bogenelement der Kurve (an der Stelle x(t)). Für die Bogenlänge s(t) der Kurve zwischen x(t a ) und x(t) gilt s(t) = t t a ẋ(τ) dτ.

12 Kurvenintegrale 1. Art II Für die Gesamtlänge L der Kurve gilt L = s(t b ) = Die Kurve heißt regulär, falls tb t a ẋ(τ) dτ. γ 0 ( γ 2 > 0, t [t a, t b ]. Definition Kurvenintegral 1. Art. Die Funktion f : D R sei stetig, γ D R n. Dann heißt tb f ds := f(x(t)) ẋ(t) dt γ t a Kurvenintegral 1. Art oder skalares Kurvenintegral von f.

13 Kurvenintegrale 1. Art III Anwendungen: (Gesamt-)Masse (Liniendichte ρ = ρ(x, y, z)) te m = ρ( x)ds = ρ(x(t), y(t), z(t)) ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt, γ t a te analog Schwerpunktskoordinaten x S = 1 x(t)ρ(...)...dt usw. m t a ( ) cos t Rechenbeispiel: γ(t) := r R 2, t [0, 2π], sin t f(x, y) = x 2 y 2, r > 0 fixiert ( ) sin t f(t) = f(γ(t)) = r 2 cos 2t, γ(t) = r, γ(t) = r cos t 2π 2π fds = f(t) γ(t) dt = r 3 cos 2t dt = 0. γ 0 0

14 Def./Berechnung Kurvenintegrale 2. Art Sei γ : [t a, t e ] R n eine reguläre Kurve und v : R n R n ein stetiges Vektorfeld (mit γ D(v)). Dann bildet man das Kurvenintegral 2. Art ( Arbeitsintegral ) v ds = v 1 dx v n dx n ds - vektorielles Bogenelement. γ γ Berechnung: γ v ds = te t a v(γ(t)) γ(t) dt ds := γ(t) dt. Alle wesentlichen Eigenschaften von Integralen (Linearität bzgl. des Integranden; Additiv. bzgl. Teilkurven; etc.) bleiben erhalten v ds = (!) v ds. γ γ KI 2. Art hängt von Orientierung der Kurve ab(!)

15 Schritte zur Berechnung KI 1.(2.) Art Bei der Berechnung sind die folgenden Schritte zu vollziehen 1) Falls nicht gegeben, Parametrisierung der Kurve γ : [t a, t e ] R n 2) Berechnung der Funktionswerte f(γ(t)) (bzw. v(γ(t))) der Belegungsfunktion 3) Berechnung von γ(t) (bzw. γ(t)) 4) Berechnung des Kurvenintegrals γ f ds = t e t a f(γ(t)) γ(t) dt ( bzw. γ v ds = t e t a v(γ(t)) γ(t) dt ). Kurvenintegrale 1. und 2. Art sind unabhängig von der expliziten Wahl der Parametrisierung!