Mathematik II für Chemie und LA Chemie. Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik

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1 Mathematik II für Chemie und LA Chemie Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik eppler Vorlesungsassistent: Herr Dr. Morherr

2 4. Mehrdimensionale Integralrechnung 4.1 Elemente der Kurventheorie Ebene Kurven - Darstellungsmöglichkeiten Def. 4.1: Eine ebene Kurve läßt sich (u.a.) wie folgt definieren a) explizit: y = f(x), y = sin x, b) implizit: F (x, y) = 0, x 3 + y 3 3axy = 0, c) parametr.: x = x(t), y = y(t), x = t 3, y = t 2 d) Polarkoord.: ρ = ρ(φ), ρ(φ) = ae kφ, a, k > 0 ( R). a) c): alle Darstellungen in kartesischen Koordinaten(!), d) x = x(φ) = (x(φ), y(φ)) T = (ρ(φ) cos φ, ρ(φ) sin(φ)) T

3 Lokale Elemente ebener glatter Kurven Tangente und Normale: Tangente in P 0 ist die Grenzlage der Sekante durch P 0 = (x(t 0 ), y(t 0 )) T und P 1 = (x(t 1 ), y(t 1 )) T für t 1 t 0. Tangentengleichung: x(s) = P 0 + sτ 0, s R. Tangenten- und Normaleneinheitsvektor τ, n: ( ) ( ) f a): τ 0 = 1 + f (x 0 ) 2 f, n 0 = 0 (x 0 ) 1 + (f 0 ) 2 1 ( ) ( ) 1 Fy (x b): τ 0 = 0, y 0 ) 1 Fx, n 0 = Fx 2 + Fy 2 F x (x 0, y 0 ) Fx 2 + Fy 2 F y (ẋ(t0 ) ( ) 1 ) 1 ẏ c): τ 0 = ẋ2, n 0 = + ẏ 2 ẋ2 ẏ(t 0 ) + ẏ 2 ẋ ( 1 ρ ) cos φ ρ sin φ d): τ 0 = ρ2 + ρ 2 ρ, P 0 = (x(φ 0 ), y(φ 0 )) T sin φ + ρ cos φ

4 Die Krümmung ebener (glatter) Kurven Krümmungskreis an die Kurve: Grenzlage des Kreises durch P 0 = (x(t 0 ), y(t 0 )) T und P 1 = (x(t 1 ), y(t 1 )) T P 2 = (x(t 2 ), y(t 2 )) T für t 1, t 2 t 0 dessen Radius: Krümmungsradius R Krümmung κ := 1/R (Gerade: R κ 0) f ( ) (x 0 ) a): κ 0 = (1 + f (x 0 ) 2 ), P x0 3/2 0 = f(x 0 ) b): κ 0 = F y 2 F xx + 2F x F y F xy Fx 2 ( ) F yy x0, P (Fx 2 + Fy 2 ) 3/2 0 = c): κ 0 = ẋÿ ẏẍ (ẋ 2 + ẏ 2 ) 3/2, P 0 = ( ) x(t0 ) y(t 0 ) d): κ 0 = ρ2 + 2(ρ ) 2 ρρ (ρ 2 + ρ 2 ) 3/2, P 0 = ( x(φ0 ) y(φ 0 ) ) y 0

5 Singuläre Kurvenpunkte Def. 4.2: Ein Kurvenpunkt heißt singulär, falls gilt (i) F (x 0, y 0 ) = 0 (Fall b), (ii) ẋ(t 0 ) = 0 (Fall c), (iii) ρ (φ 0 ) = ρ(φ 0 ) = 0 (Fall d). Lokales Bogenelement und Kurvenlänge Wir betrachten eine reguläre Kurve in Darstellung c) (damit auch: Fall a), d)), einem (festen) Punkt P 0 = ( x(t 0 ) y(t 0 )) und einen weiteren Punkt P 1 = ( x(t 1 ) y(t 1 )). Dann setzen wir t0 := t 1 t 0 > 0, s(t 1, t 0 ) := P 0 P 1 E = (x(t 1 ) x(t 0 )) 2 + (y(t 1 ) y(t 0 )) 2, und betrachten ṡ(t 0 ) = ds(t 0) dt := lim t 1 t 0 s(t 1, t 0 ) t 0 = ẋ(t 0 ) 2 + ẏ(t 0 ) 2 ṡ(t 0 ) heißt lokale Längenänderung, ds(t 0 ) := ẋ ẏ2 0 dt das (lokale) Bogenelement.

6 Damit ergibt sich die Bogenlänge eines Kurvenstücks über dem Bereich [t a, t], t 0 < t t e, zu s(t) = t t ẋ(τ)2 ds(τ) = + ẏ(τ) 2 dτ, t (t 0, t e ], t a t a bzw. für die Gesamtlänge einer Kurve (über [t 0, t e ]) L = s(t e ) = te t a ẋ(t)2 + ẏ(t) 2 dt Die analogen Formeln im Fall a) und d) lauten a): ds = 1 + f (x) 2 dx, L = s(x e ) = xe x a 1 + f (x) 2 dx d): ds = ρ 2 + ρ 2 dφ, L = s(φ e ) = φe φ a ρ2 (φ) + ρ 2 (φ)dφ Im Fall b) muß eine Parametrisierung vorgenommen werden.

7 Beispiel: Die logarithmische Spirale ρ = ρ(φ) = ae kφ x(φ) = dabei ( ) x(φ) y(φ) = ( ae kφ ) cos φ ae kφ, φ R (!) sin φ lim φ x(φ) = 0, x(φ) = x 2 (φ) + y 2 (φ) für φ, auch: ρ (φ) 0 für φ - 0 ist asymptodisch singulärer Punkt. Tangente und Normale: (z.b. für φ 1 = 0, φ 2 = 3π/4) ( ( ) a x(φ 1 ) = x 1 = ), x(φ 2 ) = x 2 = aek3π/4 1, ( ae und ρ (φ) = ake kφ x kφ ) [k cos φ sin φ] (φ) = ae kφ t(φ) := [k sin φ + cos φ] x ( ) ( ) (φ) x (φ) =...= 1 k cos φ sin φ 1 k t(φ 1 )=t 1 =, k2 + 1 k sin φ + cos φ k ( ) ( ) 1 k k 1 t(φ 2 )=t 2 =, n 2 t 2, n 2 = 2k k 2k2 + 2 k + 1

8 Tangenten- und Normalengleichung: (in x 1, x 2, s R) ( ) ( ) a 1 k Tangente in x 1 : x = x(s) = + s 0 k ( ) ( Tangente in x 2 : x = x(s) = aek3π/4 1 1 k + 1 +s 2 1 2k k ( ) ( Normale in x 2 : x = x(s) = aek3π/4 1 1 k 1 +s 2 1 2k k Krümmung: (ρ = ak 2 e kφ (ρ ) 2 = ρρ, φ R) ), ). κ = κ(φ) = ρ2 + 2(ρ ) 2 ρρ (ρ 2 + ρ 2 ) 3/2 = 1 ρ2 + ρ = 1 2 a k e kφ lim κ(φ) = 0, lim φ κ(φ) =, (κ(φ) > 0, φ R). φ

9 Kurvenlänge der log.-spirale Längenänderung und Bogenelement (lokal): s (φ 0 ) = ρ 2 (φ 0 )+ρ 2 (φ 0 ) = a k 2 +1e kφ 0, ds 0 = a k 2 +1e kφ 0 dφ Die Länge eines Spiralenstücks: (über [φ a, φ e ]) φe L= ρ 2 +ρ 2 dφ=a φe k 2 +1 e kφ k2 +1 dφ= k/a [ekφ e e kφ a ] φ a Speziell für das Stück zw. x 1, x 2 (s.o.): L = a 1 + k 2 [e k3π/4 1] Die Gesamtlänge der logarithmischen Spirale von x(φ 0 ) bis x( ) = 0 (über (, φ 0 ] - uneigentliches Integral) L ges (φ 0 ) = φ0 φ a a k 2 +1e kφ dφ = a 1 + k 2 e kφ 0 <, φ 0 R. Die Gesamtlänge der logar. Spirale ist für jedes φ 0 R endlich.

10 4.1.2 Kurven im R n Def. 4.3: Sei I := [t a, t b ] ein reelles Intervall und x : I R n eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann heißt die Punktmenge C := {x(t) t I} Kurve, die Funktion x Parameterdarstellung der Kurve und I Parameterintervall. x(t a ) und x(t b ) heißt Anfangs- bzw. Endpunkt. Kurven können aus endlich vielen Kurven(stücken) x (j) : [t j 1, t j ] R n, j = 1,..., k, bestehen mit Dann heißt x (j+1) (t j ) = x (j) (t j ), j = 1,..., k 1. x := [x (1),..., x (k) ] mit x : [t 0, t k ] R n stückweise stetig differenzierbare Kurve.

11 Singuläre/Reguläre Kurve Sei x : I R n die Parameterdarstellung einer Kurve. Ein Punkt x(t 0 ) mit t 0 I heißt singulär, falls ẋ(t) = 0 Falls es keine singulären Punkte gibt, heißt die Kurve regulär. Interpretation: Wenn man x = x(t) als Bahnkurve eines Punktes interpretiert, der sich in der Zeit t e t a auf der Kurve vom Anfangspunkt zum Endpunkt bewegt, bedeutet Regularität, dass die (Tangential- bzw. Bahn)-Geschwindigkeit des Punktes stets größer als Null ist, d.h., dass der Punkt sich immer vorwärts bewegt.

12 Ableitungsregeln: Seien γ 1, γ 2 : I R n stetig differenzierbare Abbildungen ( Kurven ) und α, β R, dann gelten die Regeln (i) Linearität d dt (αγ 1(t) + βγ 2 (t)) = αγ 1 (t) + βγ 2 (t), (ii) Produktregel für das Skalarprodukt d dt [γ 1(t) γ 2 (t)] = γ 1 (t) γ 2 (t) + γ 1 (t) γ 2 (t), (iii) Produktregel für das Vektorprodukt(n = 3) d dt [γ 1(t) γ 2 (t)] = γ 1 (t) γ 2 (t) + γ 1 (t) γ 2 (t), (iv) Produktregel für Multiplikation mit einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion α(t) d dt [α(t)γ 1(t)] = α(t)γ 1 (t) + α(t) γ 1 (t).

13 Bogenlänge und Tangentenvektor Sei γ : [t a, t e ] R n eine reguläre Kurve. Def. 4.4: s(t) := t t a γ(u) du bezeichnen wir als Bogenlänge des Kurvenstücks über [t a, t]. Def. 4.5: Mit t(t) = γ(t) γ(t) bezeichnet man den Tangentenvektor der Kurve γ für den Parameterwert t [t a, t e ]. Die Gleichung der Kurventangente in γ(t 0 ) lautet x(λ) = γ(t 0 ) + λt(t 0 ) (λ R).

14 Kurven im R 3 I Def. 4.6: Ist die Kurve γ : I R 3 zweimal (komponentenweise) stetig differenzierbar, regulär und gilt ṫ(t) 0, so nennt man n(t) := ṫ(t) ṫ(t) b(t) := t(t) n(t) den Hauptnormalenvektor und den Binormalenvektor der Kurve γ für den Parameterwert t. n(t) und b(t) sind zu t(t) orthogonale Einheitsvektoren. Das Rechtssystem (t(t), n(t), b(t)) heißt das begleitende Dreibein der Kurve an der Parameterstelle t. Die von t(t) und n(t) aufgespannte Ebene durch γ(t) x(λ, µ) = γ(t) + λt(t) + µn(t) (λ, µ R) nennt man Schmiegebene der Kurve an der Stelle t.

15 Krümmungsvektor, Krümmung im R n Def. 4.7: Der Grenzwert lim t 1 t t s = lim t 1 t t(t 1 ) t(t) t 1 t s(t 1 ) s(t) t 1 t = ṫ(t) ṡ(t) heißt Krümmungsvektor. Die Länge des Krümmungsvektors ergibt sich zu κ(t) := 1 ṫ(t) ṫ(t) = ṡ(t) γ(t) und bezeichnet die Krümmung der Kurve an der Stelle t.

16 Kurven im R 3 II Abbildung 4.1: Begleitendes Dreibein und Schmiegebene

17 Kurven im R 3 III Abbildung 4.2: Normalen der Kurve γ im Punkt γ(t)

18 Kurven im R 3 IV γ(t).. s. 2 s χ.. γ n t γ Abbildung 4.3: Beschleunigungsvektor γ(t) mit seinen Komponenten in der Schmiegebene

19 Torsion und Torsionsvektor Def. 4.8: Man nennt 1 = lim ṡ(t)ḃ(t) t 1 t b s den Torsionsvektor der dreimal stetig differenzierbaren Kurve γ an der Stelle t ]t a, t e [. Es gilt: 1 = τ(t)n(t) ṡ(t)ḃ(t) Def. 4.9: Man nennt τ(t) die Torsion der dreimal stetig differenzierbaren Kurve γ an der Stelle t ]t a, t e [.

20 Eine dreimal stetig differenzierbare reguläre Kurve γ : [t a, t e ] R 3 besitzt an jeder Parameterstelle t mit γ(t) γ(t) 0 die Bogenlänge s(t) = t den Tangentenvektor t(t) = γ(t) γ(t), den Binormalenvektor b(t) = t a γ(u) du, ṡ(t) = γ(t) γ(t) γ(t) γ(t) γ(t), den Hauptnormalenvektor n(t) = b(t) t(t), die Krümmung κ(t) = die Torsion τ(t) = γ(t) γ(t) γ(t) 3,... det( γ(t), γ(t), γ (t)) γ(t) γ(t) 2. n > 3 : nx-stetig diffbare reguläre Kurven (Frenet-Kurven mit begleit. n-bein) besitzen n 1 Krümmungen (κ n 1 ˆ= τ).

21 Kurven im R 3 IV Abbildung 4.4: Schraubenlinie γ(t)

22 Die Erkennungsdaten der Schraubenlinie I (i) Parametrisierung: γ s (t) = (cos t, sin t, at) T, a R fixiert. Genau eine Windung: t [0, 2π], n Windungen: t [0, 2nπ], usw. (ii) Tangentenvektor und (lokale) Bogenlänge: sin t cos t γ s (t) = cos t, γ s(t) = sin t,... γ s (t) = a 0 sin t cos t 0 ṡ(t) = γ s (t) = 1 + a 2 s(t) = 1 + a 2 (t t a ). Die Kurve ist regulär in jedem Punkt, da 1 + a 2 > 0. (iii) Begleitendes Dreibein: Es gilt γ s (t) γ s (t) 2 = 1 + a 2 > 0.

23 Die Erkennungsdaten der Schraubenlinie II Folglich existieren Haupt- und Binormalenvektor in jedem Punkt der Schraubenlinie. sin t cos t a sin t 1 t s (t)= 1 + a 2 cos t n s(t)= sin t b 1 s(t)= 1 + a 2 a cos t a 0 1 (iv) Krümmung und Torsion: Beide Größen sind konstant κ s (t) a 2, τ s(t) a 1 + a 2.

24 4.2 Kurvenintegrale 1. und 2. Art Kurvenintegrale 1. Art I Gegeben: Glatte, reguläre Kurve (stückweise glatte ) γ. Erinnerung: Bogenelement und Bogenlänge Sei x : [t a, t b ] R n die Parameterdarstellung dieser Kurve. Dann heißt ds := ẋ 2 1 (t) + ẋ2 2 (t) + + ẋ2 n(t)dt = ẋ(t) dt das (skalare) Bogenelement der Kurve (an der Stelle x(t)). Für die Bogenlänge s(t) der Kurve zwischen x(t a ) und x(t) gilt s(t) = t t a ẋ(τ) dτ.

25 Kurvenintegrale 1. Art II Für die Gesamtlänge L der Kurve gilt L = s(t b ) = Die Kurve heißt regulär, falls tb t a ẋ(τ) dτ. γ 0 ( γ 2 > 0), t [t a, t b ]. Definition Kurvenintegral 1. Art. Die Funktion f : D R sei stetig, γ D R n. Dann heißt tb f ds := f(x(t)) ẋ(t) dt γ t a Kurvenintegral 1. Art oder skalares Kurvenintegral von f.

26 Kurvenintegrale 1. Art III Anwendungen: (Gesamt-)Masse (Liniendichte ρ = ρ(x, y, z)) te m = ρ( x)ds = ρ(x(t), y(t), z(t)) ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt, γ t a te analog Schwerpunktskoordinaten x S = 1 x(t)ρ(...)...dt usw. m t a ( ) cos t Rechenbeispiel: γ(t) := r R 2, t [0, 2π], sin t f(x, y) = x 2 y 2, r > 0 fixiert ( ) sin t f(t) = f(γ(t)) = r 2 cos 2t, γ(t) = r, γ(t) = r cos t 2π 2π fds = f(t) γ(t) dt = r 3 cos 2t dt = 0. γ 0 0

27 Def./Berechnung Kurvenintegrale 2. Art Sei γ : [t a, t e ] R n eine reguläre Kurve und v : R n R n ein stetiges Vektorfeld (mit γ D(v)). Dann bildet man das Kurvenintegral 2. Art ( Arbeitsintegral ) v ds = v 1 dx v n dx n ds - vektorielles Bogenelement. γ γ Berechnung: γ v ds = te t a v(γ(t)) γ(t) dt ds := γ(t) dt. Alle wesentlichen Eigenschaften von Integralen (Linearität bzgl. des Integranden; Additiv. bzgl. Teilkurven; etc.) bleiben erhalten v ds = (!) v ds. γ γ KI 2. Art hängt von Orientierung der Kurve ab(!)

28 Schritte zur Berechnung KI 1.(2.) Art Bei der Berechnung sind die folgenden Schritte zu vollziehen 1) Falls nicht gegeben, Parametrisierung der Kurve γ : [t a, t e ] R n 2) Berechnung der Funktionswerte f(γ(t)) (bzw. v(γ(t))) der Belegungsfunktion 3) Berechnung von γ(t) (bzw. von γ(t)) 4) Berechnung des Kurvenintegrals γ f ds = t e t a f(γ(t)) γ(t) dt ( bzw. γ v ds = t e t a v(γ(t)) γ(t) dt ). Kurvenintegrale 1. und 2. Art sind unabhängig von der expliziten Wahl der Parametrisierung!

29 Berechnungs-Beispiel zu KI 2. Art Belegung: v = r = (x, y, z) T, P 1 (1, 0, 0), P 2 (1, 0, 1), P 3 (0, 0, 1 2 ) Weg III: γ 3 = γ 31 γ 32, γ 31 = P 1 P 3, γ 32 = P 3 P 2, Parametris.: t t γ 31 := 0 + t 0 = 0, γ 32 := 0, je t [0, 1] 0 1/2 t/2 γ 31 v ds = 1 0 t t dt = [ t t2 ] 1 0 = 3 8 t/2 1/2 Analog: γ 32 v ds = 7 8, damit: γ 3 v ds = = 1 2 (!!)

30 Wegunabhängigkeit von KI 2. Art Es sei φ : R 3 R ein glattes Skalarfeld (φ C 2 ), γ : [t a, t e ] R 3 eine Kurve mit der Parametrisierung γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) T. Wir betrachten die Anwendung der Kettenregel g(t) := φ(x(t), y(t)z(t)) dg dt = ġ(t) = φ xẋ + φ y ẏ + φ z ż = φ γ, und den Haupsatz der Integralrechnung g(t e ) g(t a ) = te t a ġ(t)dt = te Mit unseren Bezeichnungen gilt aber auch t a φ γdt = γ φ ds. g(t e ) = φ(x(t e ), y(t e ), z(t e )), g(t a ) = φ(x(t a ), y(t a ), z(t a )).

31 Skalare Potentialfelder Def. 4.10: Sei D R n offen. Weiter seien v : D R n ein Vektorfeld und φ : D R ein differenzierbares Skalarfeld mit φ = v. Dann heißt das Skalarfeld φ Potential oder Stammfunktion von v. Das Vektorfeld v nennt man dann Potentialfeld oder Gradientenfeld (oder konservatives Feld). Satz 4.1: Seien D R n eine offene und einfach zusammenhängende Menge und v : D R n ein Gradientenfeld mit der Stammfunktion f. Weiter sei C eine in D verlaufende Kurve mit der Parameterdarstellung x : [t a, t b ] R n. Dann gilt v ds = f(x(t b )) f(x(t a )). C (Erster Hauptsatz für Potentialfelder)

32 Ein Beispiel zur Potentialberechnung Ein Beispiel aus Bärwolf (Auflage 1, S. 540). Vektorfeld: yz 2 cos(xy) + 2xy v = v(x, y, z) := xz 2 cos(xy) + x 2 + z rot v =... = 2z sin(xy) + y + 2z v ist also ein Gradientenfeld (rot v = 0 - selbst überprüfen!). v 1 = F x F = z 2 sin(xy) + x 2 y + C 1 (y, z), v 2 = F y F = z 2 sin(xy) + x 2 y + zy + C 2 (x, z), v 3 = F z F = z 2 sin(xy) + zy + z 2 + C 3 (x, y), F (x, y, z) = z 2 sin(xy) + x 2 y + zy + z 2 + C.

33 4.3 Bereichsintegrale (und Jordanmaß) Informativ(!): Einführung zum Jordanmaß - Folie 1 und 2 Zur Konstruktion/Definition des Begriffs Flächeninhalt: Rechteck ( ) x R := R 2 a 1 x a 2 y b 1 y b 2 µ(r) = R = (b 2 b 1 )(a 2 a 1 ). Es sei M R 2 eine (beliebige) beschränkte Menge. Betrachten: Folge von Gittern Γ k mit h k = 1/2 k, k = 1, 2.., Maschen Bi k. s k (M) := µ(bi k ) = h 2 k 1, Bi k M Bi k M S k (M) := µ(bi k ) = h 2 k 1 Bi k M Bi k M

34 Monotonie: s k (M) s k+1 (M)... S k+1 (M) S k (M) lim s k(m) =: s i (M), lim S k(m) =: s a (M). k k Definition 8.1: µ( ) := 0. M : s i (M) heißt innerer Inhalt und s a (M) heißt äußerer Inhalt. Gilt s i (M) = s a (M), so heißt M Jordan-meßbar und die Zahl s i (M) = s a (M) =: µ(m) = M heißt Flächeninhalt (oder Jordanmaß) von M. Eigenschaften: s. Satz 8.1 (besonders b), c)!); Begriff regulärer Bereich: siehe Definition 8.2 (insbesondere: abgeschlossen und beschränkt(!), Rand: endlich viele reguläre Kurvenstücke) Nicht Jordan-meßbar: 1.) [0, 1] [0, 1] \ Q 2. 2.) Fraktale Mengen ( modifizierte(r) Cantormenge, Sierpinski-Teppich, Mengerschwamm etc.) sind häufig nicht Jordanmeßbar.

35 Das Riemannsche Bereichsintegral I Sei B ein regul. Bereich und f : B R eine beschränkte Funktion. Durchmesser einer Menge: diam (M) := sup{ x y ; x, y M}. Zerlegung von B: Z := {B 1,..., B n } mit n i=1 B i = B, B i reguläre (Teil-)Bereiche, µ(b i B j ) = 0, i j. Feinheit einer Zerlegung: δ(z) := max{diam (B i ), i = 1(1)n}. n Riemannsche Summe: S(f, Z) := f(x i )µ(b i ), x i B i, i = 1(1)n. Wir betrachten Folge(n) von Zerlegungen {Z k } mit δ(z k ) 0. Def. 4.11: Falls gilt i=1 lim S(f; Z k) = I, δ(z k ) 0 und ist dieser GW unabhängig von der Wahl der Zerlegung und der Punkte x i, dann heißt dieser GW das Bereichsintegral von f über B.

36 Bezeichnung: Das Riemannsche Bereichsintegral II lim S(f; Z k) = I := δ(z k ) 0 B f(x, y)db = B f(x, y)dxdy. Satz 4.2: Ist B regulär, f beschränkt und stetig (mit Ausnahme einer Menge vom Jordanmaß 0), so existiert das Riemann-Integral. Eigenschaften: Es gilt a) 1dB = µ(b). b) Es sei B K := {(x, y, z) T (x, y) B, 0 z f(x, y)} R 3. Dann gilt fdb = V (K), V (K) - das Volumen von K. B c) c 1 f + c 2 g db = c 1 f db + c 2 g db B Linearität des Integrals bzgl. des Integranden. B B

37 Das Riemannsche Bereichsintegral III d) Additivität des Integrals bzgl. des Bereiches B = B 1 B 2, µ(b 1 B 2 ) = 0 fdb = B fdb + B 1 fdb. B 2 e) Integralabschätzung: Es gilt für beschränkte Integranden f fdb f db sup{ f(x), x B} µ(b). B B f) Das Integral einer beliebigen beschränkten Funktion über einer Null-Menge verschwindet immer: µ(b) = 0 fdb = 0. B g) Ist f : B R stetig, dann existiert ein x B mit fdb = f(x )µ(b). (Mittelwertsatz). B Achtung: Nicht für Vektorfunktionen f : B R l gültig!

38 Weitere Anwendungen von Bereichsintegralen (Zyl. d. Höhe 1, in z-richtung homogen, Grundfläche B) ρ = ρ(x, y) ( Flächendichte ) M = ρ(x, y)db (Masse) Körper homogen: ρ const. M = ρ B (M B ) Statische (Massen-)momente: M x = xρ(x, y)db, M y = B B B yρ(x, y)db Massenschwerpunkskoordinaten: x s := M x /M, y s := My/M. Spezialfall ρ 1: x s, y s Koordinaten des geometr. Schwerpunktes. Falls ρ - elektr. Ladungsdichte : M - Gesamtladung

39 Normalbereiche für Bereichsintegrale Normalbereich Typ I B = {(x, y) R 2 a x b; φ 1 (x) y φ 2 (x)} [ b ] φ2 (x) f db = f(x, y)dy dx B Normalbereich Typ II a φ 1 (x) B = {(x, y) R 2 c y d; ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} [ d ] ψ2 (y) f db = f(x, y)dx dy B c ψ 1 (y) Im allgemeinen: Integrationsbereich so aufspalten (Integral ist additiv bzgl. des Bereichs), daß Teilbereiche jeweils Normalbereiche sind.

40 Bsp.: Normalbereiche beim Kreisring Konzentrischer Kreisring: B := {x R 2 r1 2 x 2 +y 2 r2, 2 0<r 1 <r 2 } Aufspalten in mind. 4 Teile (z.b. entlang der Geraden x = ±r 1 ) [ r1 ] r 2 2 x 2 fdb = f(x, y)dy dx, x [ r 2, r 1 ], B 1 r 2 r2 2 x2 [ r1 ] r 2 1 x 2 fdb = y < 0, f(x, y)dy dx, B 2 r 1 r2 2 x2 x [ r 1, r 1 ]. Analoge iterierte Integrale entstehen für die Bereiche B 3 := {x B x [ r 1, r 1 ], y > 0}, B 4 := {x B x [r 1, r 2 ]}. Dann: B f(x, y)db = 4 i=1 B i f(x, y)db =....

41 Koordinatentransformation in Bereichsintegralen Bereich B in (x, y) Ebene Bereich B in (u, v) Ebene x = x(u, v), y = y(u, v) u = u(x, y), v = v(x, y). f dxdy = f(u, v) D(u, v) dudv B B Dabei ist f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) und die Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation D(u, v) = (x, y) (u, v) = x u y u = x uy v x v y u Koordinatentransformation: Die Abb. ( x y) ( u v) ist injektiv und D(u, v) 0 in jedem Punkt ( x y). x v y v

42 Koordinatentrafo in Bereichsintegralen II B f dxdy = B f(u, v) D(u, v) dudv Umrechnungsschritte bei der Anwendung von Koordinatentransformationen: 1. Neue Grenzen (Vereinfachungen möglich) 2. Integrand in neuen Variablen ausdrücken 3. Funktionaldeterinante (= Maß der lokalen Flächenverzerrung) berechnen In Schritt 2+3: Vereinfachungen möglich Die Koordinatentransformationsformel für Bereichsintegrale ist die Verallgemeinerung der Substitutionsregel in eindimensionalen Riemannintegralen.

43 Koordinatentrafo in Bereichsintegralen III Wichtige Beispiele für ebene Koordinatensysteme: a) Polarkoordinaten: x = r cos φ, y = r sin φ, r = x 2 + y 2 Singuläre Menge: {x = 0}, D = r, φ : Umlaufwinkel K R (0) K := [0, R] [0, 2π], auch einfach : Kreisring (konz.) b) Ellipsoidalkoordinaten: x = at cos ψ, y = bt sin ψ, a>0, b>0. D = det a cos ψ at sin ψ =... = abt b sin ψ bt cos ψ Achtung: t, ψ sind Parameter, (nicht Abstand zu 0, bzw. Winkel) E := { x2 a 2 + y2 b 2 1} Ellipse (zentr.) E := [0, 1] [0, 2π]

44 Koordinatentrafo in Bereichsintegralen IV Ein Beispiel zur Koord.-trafo: Gegeben ist folgender Bereich B B := { ( x y) R 2 x + y 1}. Zu berechnen ist (wäre) 0 [ x+1 ] 1 [ x+1 ] xydb = xydy dx + xydy dx B 1 x 1 0 x 1 Neue Koordinaten (u, v) mit linearer Koordinatentrafo u(x, y) = u = x + y x = 1 [u v] = x(u, v) 2 v(x, y) = v = y x y = 1 [u + v] = y(u, v) 2 ( ) (x, y) 1/2 1/2 Jacobian: (u, v) = (x, y), Funkt.-det.: det 1/2 1/2 (u, v) = [ 1 ] 1 xydb = 8 [u2 v 2 ]du dv = 0, (B = Im(B) = [ 1, 1] 2 ) B 1 1