Der allgemeine Satz von Stokes...

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1 Der allgemeine Satz von Stokes in der Sprache der Differentialformen. dω Differentialformen... sind - vereinfacht gesagt - orientierte Differentiale. k-form im R n a i1,...,i k (x) dx i1... dx ik, x = (x 1,..., x n ) Beispiele 0-Form a 0 (x) Funktion 1-Form n i=1 a i(x) dx i 2-Form a n1 dx n dx 1

2 Rechenregeln 1 und 2 Antikommutativität Verkettung dx i dx j = dx j dx i = dx i dx i = 0 Formen können verkettet werden. Dabei gelten Assoziativität, Distributivität und Antikommutativität. Beispiel: ω 1 = a 1 (x) dx 1 + a 2 (x) dx 2, ω 2 = a 23 (x)dx 2 dx 3 = ω 1 ω 2 = a 1 (x) a 23 (x) dx 1 dx 2 dx 3 Rechenregel 3 - Differentialbildung 0-Form - vollständiges Differential n a 0 (x) da 0 (x) = x i i=1 dx i k-form = d a i1,...,i k (x) dx i1... dx ik da i1,...,i k (x) dx i1... dx ik

3 Integration von Differentialformen Wo leben Differentialformen? Auf k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des R n, das sind Teilmengen, die sich (lokal) durch k Variable parametrisieren lassen. Was soll ω sein? Sei Φ : U R k R n, Φ differenzierbar, eine Parametrisierung von, d. h. jeder Punkt x lässt sich darstellen durch x = Φ(u) für eine u U. Dann definiert man für a i1,...,i k (x) dx i1... dx ik : U a i1,...,i k (x) (dx i 1... dx ik ) (u 1... u k ) du 1... du k Der Satz von Stokes für 0-Formen (Funktionen) im R n. dω f (x), d grad f (x) dx = n i=1 f x i dx i dω ist dann eine 1-Form und eine eindimensionale Manigfaltigkeit, also eine Kurve im R n mit Endpunkten A und B. Der Satz von Stokes lautet dann: n f (B) f (A) = f xi dx i. i=1 Hauptsatz der Differential und Integralrechnung n = 1 : f (b) f (a) = b a f (x) dx

4 Der Satz von Stokes für 1-Formen (Funktionen) im R 2. dω Satz von Gauß in der Ebene P(x, y) dx + Q(x, y) dy d (P x (x, y)dx + P y (x, y)dy) dx + (Q x (x, y)dx + Q y (x, y)dy) dy = (Q x (x, y) P y (x, y)) dx dy ist ein Gebiet im R 2 und dessen Rand. Der Satz von Stokes lautet dann: P(x, y) dx + Q(x, y) dy = (Q x (x, y) P y (x, y)) dx dy FLächenberechnung durch Kurvenintegrale Mit P(x, y) = y 2, Q(x, y) = x 2 ist Q x(x, y) P y (x, y) = 1 und man erhält die Formel 1 2 x dy y dx = 1 dxdy = Kann die Randkurve allein durch den Winkel zur positiven x-achse beschrieben werden, ist also x(ϕ) = r(ϕ) cos ϕ, y(ϕ) = r(ϕ) sin ϕ, dann erhält man die Sektorformel 1 ϕ2 2 ϕ 1 r 2 (ϕ) dϕ =

5 Der Satz von Stokes für 1-Formen im R 3. klassischer Satz von Stokes v 1 (x, y, z) dx + v 2 (x, y, z) dy + v 3 (x, y, z) dz ( v3 d y v ) ( 2 v1 dy dz + z z v ) 3 dz dx x ( v2 + x v ) 1 dx dy y ist eine (gekrümmte) Fläche im R 3 und deren Randkurve. Mit r = (x, y, z) T, v = (v 1, v 2, v 3 ) T und df = (dy dz, dz dx, dx dy) T lautet der Satz von Stokes dann: v(x, y, z) d r = d Rot v df. Zusammengang mit dem Satz von Gauß in der Ebene v 3 = 0 Ist v 3 = 0, hängen v 1 und v 2 nur von x und y ab und ist darüber hinaus eine Teilmenge der (x, y)-ebene, dann ist und v 1 (x, y) dx + v 2 (x, y) dy, d ( v2 x v ) 1 y dx dy und man erhält aus dem Stokeschem Satz unmittelbar den Satz von Gauß in der Ebene. Der Satz von Gauß in der Ebene ist also ein Spezialfall des Satzes von Stokes. Das Oberflächenintegral wird zum einfachen Riemann-Integral im R 2 und dessen Integrand ist die dritte Komponente der Rotation.

6 Wegunabhängigkeit Gradientenfelder Ist die Rotation des Vektorfeldes Rot v = 0 (im ebenen Fall nur die dritte Komponente), dann verschwinden Kurvenintegrale über geschlossenen Kurven. v(x, y, z) d r = Rot v df = 0 v ist dann ein Gradientenfeld, d. h. es existiert eine differenzierbare Funktion f mit grad f = v. Das Kurvenintegral entlang verschiedener Wege, die zwei Punkte A und B des R 3 bzw. R 2 verbinden, sind gleich und hängen nur noch von dem Werten von f in diesen Punkten ab, d. h. es ist B A v(x, y, z) d r = B A grad f (x, y, z) d r = f (B) f (A). Unabhängigkeit von der Gestalt der Fläche Vektorpotential Der Satz von Stokes sagt aus, dass das Oberflächenintegral über die Rotion eine Vektorfeldes nur von dessen Werten auf dem Rand der Fläche abhängt: v(x, y, z) d r = Rot v df Im allgemeinen ist diese Aussage falsch, d. h. für ein gegebenes Vektorfeld u hängt das Oberflächenintgral u d F nur dann nur von den Werten von u auf dem Rand ab, wenn u = Rot v für ein Vektorfeld v ist. v heißt dann Vektorpotential von u.

7 Der Satz von Stokes für 2-Formen im R 3. klassischer Satz von Gauß im Raum v 1 (x, y, z) dy dz + v 2 (x, y, z) dz dx d +v 3 (x, y, z) dx dy ( v1 x + v 2 y + v ) 3 dx dy dz z ist ein Gebiet im R 3 und dessen Randfläche. Mit r = (x, y, z) T, v = (v 1, v 2, v 3 ) T und df = (dy dz, dz dx, dx dy) T lautet der Satz von Stokes dann: v(x, y, z) df = d Div v dx dy dz. Quellenfreiheit von Vektorfeldern Oberflächenintegral Seien v ein Vektorfeld und F eine (gekrümmte) Fläche im R 3, dann steht das Oberflächenintegral v(x, y, z) df F für den Durchfluss von v durch F. Ist F = geschlossener Rand eines Gebietes R 3, dann verschwindet nach dem Satz von Stokes der Gesamtdurchfluss genau dann, wenn in Div v = 0 ist. Man sagt dann, das quellen- und senkenfrei ist, d. h. es fließt genau soviel aus heraus, wie hineinfließt.

8 Das vektorielle Oberflächenelement Flussvektor x u x v i r u r v = y u y v j z u z v k Ortsvektor: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) T Tangentialvektoren: r u (u, v) = (x u (u, v), y u (u, v), z u (u, v)) T r v (u, v) = (x v (u, v), y v (u, v), z v (u, v)) T = (y u z v z u y v, z u x v x u z v, x u y v y u z v ) T = df = r u r v dudv = ( ) (y, z) (z, x) (x, y) T,, (u, v) (u, v) (u, v) ( ) (y, z) (z, x) (x, y) T,, dudv (u, v) (u, v) (u, v) = (dy dz, dz dx, dx dy) T. Oberflächenintegrale 1. und 2. Art Seien v ein Vektorfeld und F eine (gekrümmte) Fläche im R 3 und ρ : R 3 R eine skalare Funktion. Dann ist das Oberflächenintegral 1. Art ρ(x, y, z) df F interpretierbar als Gesamtmasse der Fläche F bei gegebener (Flächen-)Dichte ρ. Oberflächenintegral 2. Art v(x, y, z) df F interpretierbar als Gesamtdurchfluss des Flusses v durch die Fläche F. Zusammenhang von df und df df = df und df = df n, wobei n derjenige Normalenvektor auf F ist, für den bei einer Parametisierung des Ortsvektors r = r(u, v) die Vektoren ( r u, r v, n) ein positiv orientiertes Dreibein bilden.