Eine Erweiterung des Lê-Saito-Theorems

Transkript

1 s Eine s Oklahoma State University Kaiserslautern, 6. Januar 2012

2 Definition Ein Polynom f C[x 1,..., x n ] ist homogen vom Grad d, wenn f (λ x 1,..., λ x n ) = λ d f (x 1,..., x n ) für alle λ C. Ableiten nach λ und setzen von λ = 1 liefert s χ f = n i=1 x i f x i = d f wobei χ = n i=1 x i. x i Geometrisch: Der Torus C operiert auf S = C n und auf der Hyperfläche D = {p S f (p) = 0}. Das radiale Vektorfeld χ ist tangential zu D.

3 Log. Vektorfelder und Differentialformen f O = C{x 1,..., x n }, D = {f = 0}, Θ = n i=1 O x i. Definition (K. Saito) Der(log D) := {δ Θ δ f O f } Ω 1 (log D) = {ω Ω 1 (D) dω Ω 2 (D)} Satz (K. Saito) s Der(log D) ist ein reflexiver O-Modul mit dual Ω 1 (log D). Strukturen von Der(log D) Geometrie (Vektorfelder tangential zu D), Algebra (O-Modul-Struktur), Darstellungstheorie (Lie-Algebra-Struktur).

4 Logarithmische Vektorfelder Beispiel (Kuspe) Für f (x, y) = x 2 + y 3 ist Der(log D) frei über O mit Basis χ = 3x x + 2y y, D η = 3y 2 x 2x y, [χ, η] = η s f(x,y)=c 0

5 Definition (K. Saito) D heißt freier Divisor, wenn Der(log D) frei über O (oder Sing D Cohen-Macaulay von Kodimension 1) ist. Beispiele ebene Kurven normale Überkreuzungen: D = {x 1 x n = 0} Diskriminanten in bestimmten versellen Deformationen Coxeter-Arrangements und ihre Diskriminanten s Theorem (Saitos Kriterium) Sind δ 1,..., δ n Der(log D) und f = det(δ i x j ) quadratfrei, so ist D = {f = 0} frei mit Basis δ 1,..., δ n.

6 Logarithmisches Residuum Definition (K. Saito) Definiere das meromorphe Residuum von ω Ω 1 (log D) als ρ D (ω) := ξ Q(O D ) =: M D wobei gω = ξ df + η g D f mit ξ O S, η Ω 1 S und g O S ein Nichtnullteiler in O D. s Beispiel (Normale Überkreuzung) Für D = {x y = 0}, ist (x + y) dx x ( ) dx ρ D = y x x + y wobei D D eine Normalisierung ist. yd(xy) = dx + xy dy und D O D \ O D

7 Das Theorem (1) Die Fundamentalgruppe von S\D ist Abelsch. (2) D hat nur normale Überkreuzungen in Kodimension 1. (3) O D = R D := ρ D (Ω 1 (log D)) Es gilt: (1) (2) (3) [Lê-Saito], (2) (3) [Granger-S.]. Beispiel (Whitney-Regenschirm) s D = {x 2 y 2 z = 0} ist irreduzibel und nicht frei.

8 Vermutung / Theorem (Faber) Ist D frei mit reduziertem Jakobi-Ideal J D, so ist D eine normale Überkreuzung. / Reduktion auf irreduziblen Fall. Theorem (Granger-S.) Es gilt (2) (4) (5). Wenn D frei, (2) (4) (6). (4) Das Jacobi-Ideal J D von D ist reduziert. s (5) D ist Euler-homogen, d.h. f J D. (6) Normalisierung von D ist Cohen Macaulay mit Konduktor-Ideal C D = J D. Theorem (Faber, Granger-S.) Die Faber Vermutung gilt für D mit glatter Normalisierung.

9 Beispiel Seien D 1 = {f 1 = x = 0} and D 2 = {f 2 = x + y m = 0} zwei glatte irreduzible Komponenten von D. ω = ydx mxdy x(x+y m ) = y 1 m ( df1 f 1 df 2 f 2 ) Ω 1 (log D). ρ D (ω) D1 = y 1 m D1 hat einen Pol, wenn nicht m = 1. Wenn O D = R D, schneiden sich D 1 and D 2 transversal. s Beispiel Seien D 1 = {x = 0}, D 2 = {y = 0}, D 3 = {x = y} irreduzible Komponenten von D. ( ) ω = 1 x y dx x dy y Ω 1 (log D). ρ(ω) D1 = 1 y D 1 hat einen Pol und O D R D.

10 Definition Ein gebrochenes Ideal ist ein endlicher O D -Untermodul von M D, der einen Nichtnullteiler von O D enthält. Satz Dualisieren = Hom OD (, O D ) erhält gebrochene Ideale, kehrt Inklusionen um, und ist eine Involution auf maximalen Cohen Macaulay gebrochenen Idealen. s Theorem (Granger-Schulze) Man hat folgende Kette gebrochener Ideale: J D R D O D = C D O D O D R D = JD. Für freies D gilt R D = J D und O D = R D J D = C D.

11 Sei φ: Z X eine Desingularisierung von X, einer Cohen Macaulay-Varietät der Dimension r über k = k. A := Ann coker Tr φ : φ ω Z ω X Adjunktionskonduktor B := Ann coker φ φ Ω r Z Ωr Z I := F 0 (Ω 1 Z/X ) Verzweigungsideal J := Ann coker Ω r X ω X ω-jacobi-ideal s Theorem (Piene) B J O Z = I AO Z Korollar Sei π : D D eine Normalisierung und I π = F 0 (Ω 1 D/D ). Dann gilt J D O D = I πc D und somit J D = C D I π = O D.