Seminar Zahlentheorie bei Herrn Prof. Dr. Wedhorn - Minkowski-Theorie

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1 Seminar Zahlentheorie bei Herrn Prof. Dr. Wedhorn - Minkowski-Theorie Ausarbeitung zum Seminarvortrag von Kathrin Märkel und Judith Hausmann WS 007/ Februar 008 I

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Einbettungen 1 Diskriminante eines Ideals Minkowski-Theorie 5 Literaturverzeichnis 11 II

3 Einleitung Im Folgenden wird die Minkowski-Theorie dargestellt. Ein zentraler Gedanke dieser Theorie besteht darin, dass man die Zahlen einer endlichen Körpererweiterung K Q vom Grade n als Punkte im n-dimensionalen R-Vektorraum betrachten kann. Bevor die Minkowski-Theorie dargestellt wird, sind zunächst einige Definitionen erforderlich. Zunächst werden Einbettungen einer endlichen Körpererweiterung K Q in den Körper der komplexen Zahlen definiert und näher betrachtet. Danach wird die Diskriminante eines gebrochenen Ideals a von K definiert. Auf der Grundlage dieser Definitionen können grundlegende Sätze der Minkowski-Theorie bewiesen werden. Die folgende Ausarbeitung ist daher in drei Teile unterteilt: Einbettungen Diskriminante eines Ideals Minkowski-Theorie. Einbettungen Wir gehen im Folgenden stets von der Situation aus, dass K Q eine endliche Körpererweiterung vom Grade n ist. O K := {a K a ganz über Z} sei der ganze Abschluss von Z in K. Definition 9.1 Ein Q-linearer Körperhomomorphismus : K C heißt Q-Einbettung von K nach C. Hom Q (K,C) = { Q-Einbettung von K nach C}. Hom Q (K,C) heißt reell genau dann, wenn (K) R. Sonst heißt nicht-reell oder komplex. Bemerkung 9. Jeder Körperhomomorphismus : K C ist automatisch Q-linear. Satz 9.3 Es gilt: [K : Q] = Hom Q (K,C). Beweis: Den Beweis dieses Satzes findet man in der Algebra (z.b. in dem Buch zur Algebra von Siegfried Bosch im Kapitel 3.6 unter Satz 8). Beispiel 9.4 Sei K := Q[ d] = {a+b d a,b Q}, d Z, d / Q. Gesucht sind alle Q-Einbettungen von K nach C. 1

4 Sei Hom Q (K,C). Per Definition ist Q-linear. Aus der Q-Linearität von folgt, dass alle Elemente aus Q festlässt. Denn: Sei z Q beliebig. Dann gilt: (z) = (z 1) = z (1) = z 1 = z. Damit gilt dann insbesondere für d Q: d = (d)=( d). Daraus folgt: ( d) {+ d, d}. Es gibt also nur zwei Möglichkeiten eine Q-Einbettung von K nach C zu definieren: Definiere 1, : K C durch 1 (a+b d) := a+b d und (a+b d) := a b d. Nach obigen Überlegungen gilt dann: Hom Q (K,C) = { 1, }. Abschließend muss man zwei Fälle unterscheiden: 1.Fall: d > 0. Dann ist d R, und so sind 1, reell..fall: d < 0. Dann ist d CR, und so sind 1, nicht-reell. Diskriminante eines Ideals Erinnerung 9.5 Sei a ein gebrochenes Ideal von K (d.h., a ist ein endlich erzeugter O K - Untermodul von K). Dann besitzt a eine Z-Basis mit n Elementen, wobei n = [K : Q] (vgl. Lemma (7.3) aus dem 7. Vortrag). Definition 9.6 Sei a ein gebrochenes Ideal von K. Sei α 1,...,α n eine Z-Basis von a. Setze d(α 1,...,α n ) := det( i (α j )), wobei i Hom Q (K,C), i = 1,...,n. d(α 1,...,α n ) heißt Diskriminante der Basis α 1,...,α n. Bemerkung 9.7 Die Diskriminante d(α 1,...,α n ) hängt nicht von der Wahl der Basis α 1,...,α n von a ab. Wir dürfen daher d(a) := d(α 1,...,α n ) setzen. Für a = O K setzen wir d(o K ) := d K. Beweis: Seien α 1,...,α n und α 1,...,α n zwei Z-Basen von a. Beschreibe die α i als Linearkombination der α j mit Koeffizienten a i j Z: α i = a i j α j j

5 Diese Darstellung ist möglich, da die α 1,...,α n aus a stammen und die α 1,...,α n eine Z-Basis von a bilden. Bilde nun die Matrix, die aus den Koeffizienten a i j besteht: T := (a i j ). T ist die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von α 1,...,α n nach α 1,...,α n. Da die Matrixeinträge von T alle aus Z stammen, ist auch det(t ) aus Z. Nach dem Determinantenproduktsatz gilt: 1 = det(i n ) = det(t T 1 ) = det(t) det(t) 1, wobei I n die (n n)-einheitsmatrix ist. Analoges gilt für die Transformationsmatrix T zum Basiswechsel von α 1,...,α n nach α 1,...,α n. Damit ist det(t ) invertierbar in Z und es folgt: det(t) {+1, 1}. Es folgt: d(α 1,...,α n) = det( i (α j)) = det( i ( k a ik α k )) = det( a ik i (α k )) k = det(t i (α k )) = det(t) det( i (α k )) = d(α 1,...,α n ), da nach obiger Rechnung det(t) = 1 gilt. Beispiel 9.8 Sei K := Q[ d]. Nach Satz (6.15) des 6. Vortrags muss man bei der Bestimmung von O K zwei Fälle unterscheiden: 1.Fall: d = oder 3 mod 4. Dann gilt: O K = {a+b d a,b Z}. Damit ist 1, d eine Z-Basis von O K. Daraus folgt:.fall: d = 1 mod 4. d K = d(1, d) = 1(1) 1 ( d) (1) ( d) = 1 d 1 d = 4d Dann gilt: O K = {a+b 1+ d a,b Z}. Dann ist 1, 1+ d eine Z-Basis von O K. Daraus folgt: d k = d ( 1, 1+ d ) = 1(1) 1 ( d) (1) ( d) = 1 1+ d 1 d 1 Insbesondere gilt für K := Q[i], dass d K = 4, denn i = 1 und 1 = 3 mod 4. = d 3

6 Theorem 9.9 Sei a ein freier Z-Modul vom Rang n. Sei a a ein Z-Untermodul. (1) Es gilt: a ist frei. () Ist a vom Rang n, so existiert eine Basis e 1,...,e n von a und r 1,...,r n Z,r i 1, sodass r 1 e 1,...,r n e n eine Z-Basis von a ist. In diesem Fall gilt: (a n r 1 0 : a) = r i = det i=1 0 r n Satz 9.10 Sind a a zwei gebrochene Ideale von K, so ist der Index (a :a) endlich und es gilt: d(a) = (a : a) d(a ). Beweis: Als gebrochene Ideale sind a und a per Definition endlich erzeugte O K -Moduln. Nach Lemma (7.3) des 7. Vortrags sind a und a damit freie Z-Moduln vom Rang n. Die Voraussetzungen für das Theorem (9.9) sind also erfüllt. Sei e 1,...,e n eine Z-Basis von a, wobei n :=rk(a ). Nach dem Theorem existieren dann r 1,...,r n Z, r i 1, sodass r 1 e 1,...,r n e n eine Z-Basis von a ist und es gilt: (a n r 1 0 : a) = r i = det i=1 0 r n K ist ein Q-Vektorraum der Dimension n. Sowohl e 1,...,e n als auch r 1 e 1,...,r n e n bilden eine Q- r 1 0 Basis von K. Die Matrix T :=..... ist die Transformationsmatrix zum Basiswechsel 0 r n von e 1,...,e n nach r 1 e 1,...,r n e n. Dann gilt wie im Beweis zu Bemerkung (9.7): d(a) = d(r 1 e 1,...,r n e n ) = det(t) d(e 1,...,e n ) = (a : a) d(a ). 4

7 Minkowski-Theorie Zunächst sei daran erinnert, dass K Q eine endliche Körpererweiterung vom Grade n ist. Definition 9.11 Nach Satz (9.3) beträgt die Anzahl der Q-Einbettungen i : K C (i=1,...,n) genau n. Davon sind manche reell und manche komplex. Seien die reellen. Definiere E R := {ρ 1,...,ρ r }. Die komplexen gruppieren sich zu Paaren ρ 1,...,ρ r : K R σ 1,σ 1,...,σ s,σ s : K C komplex konjugierter Einbettungen. Definiere E C := {σ 1,...,σ s }. Damit liegt in E C von jedem Paar konjugiert komplexer Einbettungen nur ein Element, d.h. E C = s. Es gilt: n = r+ s. Im Folgenden werden die obigen Abbildungen nur noch nummeriert, wenn es der Übersichtlichkeit dient. Definition 9.1 K C := {(x ) E x C}, wobei E := Hom Q (K,C). K R := {(x ) K C x ρi R, x σ j = x σ j } = {(x ρ1,...,x ρr,x σ1,x σ1,...,x σs,x σs ) x ρi R, x σ j C}. K R heißt Minkowski-Raum. Bemerkung 9.13 K C ist ein C-Vektorraum der Dimension n. K R ist ein R-Vektorraum der Dimension n = r+ s. Beweis: Die Addition und Multiplikation auf K C geschehen komponentenweise. Alle Komponenten eines n-tupels aus K C stammen aus C. Da C ein C-Vektorraum ist, sind die Vektorraum-Axiome also erfüllt und die Dimension von K C über C ist n. Die Addition und Multiplikation auf K R sind ebenfalls komponentenweise definiert. Da alle Komponenten eines n-tupels aus K R aus C stammen und C ein R-Vektorraum ist, ist also auch K R ein R-Vektorraum. Die ersten r Komponenten eines n-tupels aus K R stammen aus R. So besteht eine R-Basis für ein solches r-tupel aus r Elementen. Betrachtet man dann die noch fehlenden s Komponenten (x σ1,x σ1,...,x σs,x σs ) des n-tupels, so stellt man zunächst fest, dass von den Paaren x σ j,x σ j jeweils ein Element durch das andere schon festgelegt ist. Es müssen 5

8 also nur s der s Komponenten bestimmt werden. Da die x σ j aus C stammen, besteht eine R- Basis für jedes der x σ j aus zwei Elementen. Eine R-Basis für das s-tupel (x σ1,x σ1,...,x σs,x σs ) enthält also s Elemente. Eine R-Basis für das n-tupel aus K R besteht demnach insgesamt aus r+ s Elementen. Damit ist die Dimension von K R als R-Vektorraum n = r+ s. Definition 9.14 Durch die Abbildung, : K R K R R, x,y = x y wird ein Skalarprodukt auf K R definiert. Dieses Skalarprodukt wird auch kanonische Metrik von K R genannt. K R wird somit zu einem euklidischen Vektorraum. Beweis: Zeige zunächst x,y R für alle x, y K R : Seien x := (x ), y := (y ) K R. Dann gilt (unter Beachtung der Eigenschaften von K R ): x,y = x y = ρ E R x ρ y ρ + σ E C (x σ y σ + x σ y σ ) = ρ x ρ y ρ + σ (x σ y σ + x σ y σ ) = ρ x ρ y ρ + σ (x σ y σ + x σ y σ ) = ρ x ρ y ρ + σ Re(x σ y σ ) R. Die Abbildung ist folglich wohldefiniert. Zeige nun, dass, ein Skalarprodukt auf K R ist. Die R-Bilinearität und die Symmetrie sind leicht einsichtig. Zeige die Positiv-Definitheit: Sei x K R, x 0. Dann existiert Hom Q (K,C) : x 0. x,x = x x = (Re(x ) + Im(x ) ) Re(x ) + Im(x ) > 0. Satz 9.15 Die Abbildung f : K R R r+s, (z ) (x ) mit x ρ = z ρ, x σ = Re(z σ ), x σ = Im(z σ ) ist ein Isomorphismus. Dieser überführt die kanonische Metrik, von K R in das Skalarprodukt (x,x ) = α x x mit α = 1 bzw. α =, je nachdem ob reell oder komplex ist. 6

9 Beweis: 1. Zeige die Isomorphie: Seien z = (z ), z = (z ) K R, r R. Dann gilt: f(z+z ) = f(z)+ f(z ), sowie f(r z) = r f(z). Dies folgt direkt aus der Definition von f. Damit folgt die R-Linearität von f. Gelte f((z )) = (x ) = (0), wobei mit (0) das Nullelement in K R bezeichnet wird. Dann folgt z ρ = x ρ = 0 für alle ρ E R und Re(z σ ) = Re(z σ ) = x σ = 0, Im(z σ ) = Im(z σ ) = x σ = 0 für alle σ E C. Folglich ist (z ) = (0) und somit ist f injektiv. Sei (x ) R r+s. Dann gilt für (z ) K R mit z ρ = x ρ für alle ρ E R und z σ = x σ + i x σ, z σ = x σ i x σ für alle σ E C, dass f((z )) = (x ) ist. Somit ist f surjektiv. Insgesamt folgt nun, dass f ein Isomorphismus ist.. Zeige die Behauptung über das Skalarprodukt: Seien z = (z ), z = (z ) K R und seien x = (x ) = f(z), x = (x ) = f(z ). Dann folgt nach der Definition von f : z ρ z ρ = x ρ x ρ = x ρ x ρ für alle ρ E R. Wegen z σ = Re(z σ ) + i Im(z σ ) = x σ + i x σ, z σ = Re(z σ) + i Im(z σ) = x σ + i x σ für alle σ E C gilt: Folglich gilt: z σ z σ + z σ z σ = z σz σ + z σ z σ = z σ z σ + z σ z σ = Re(z σ z σ) = (x σ x σ + x σ x σ ). z,z = z z = ρ E R x ρ x ρ + σ E C (z σ z σ + z σ z σ ) = ρ x ρ x ρ + σ (x σ x σ + x σ x σ ) = α x x mit α wie gefordert. Bemerkung 9.16 Sei X K R messbar (das ist z.b. dann der Fall, wenn X zentralsymmetrisch und konvex ist oder wenn X ein vollständiges Gitter in K R ist). Dann gilt: vol kanonisch (X) = s vol Lebesgue ( f(x)). Für Gitter gilt diese Behauptung nach den Ergebnissen des 8.Vortrags. Häufig ist es leichter mit dem Lebesgue schen Volumen auf dem R n zu arbeiten, als mit dem kanonischen Volumen bezüglich der kanonischen Metrik auf K R. Diese Formel ermöglicht die Berechnung des kanonischen Volumens mit Hilfe des Lebesgue schen Volumens, dies wird im Beweis des Theorems (9.1) ausgenutzt. 7

10 Definition 9.17 Definiere j : K K R, a j(a) = ((a)) HomQ (K,C). Da (a) = (a) für alle Hom Q (K,C) und für alle a K gilt, ist die Abbildung wohldefiniert. Satz 9.18 Ist a 0 ein Ideal von O K, so ist Γ = j(a) ein vollständiges Gitter in K R mit dem Grundmaschenvolumen vol kanonisch (Γ) = d K (O K : a) = d(a). Beweis: Nach einem Ergebnis des 7. Vortrags gilt, dass a ein gebrochenes Ideal von K ist und dass a eine Z-Basis von n = [K : Q] Elementen besitzt. Sei α 1,..., α n eine Z-Basis von a. Dann ist Γ := j(a) = j(zα Zα n ) = Z j(α 1 )+...+ Z j(α n ) mit j(α i ) K R für alle i = 1,...,n. Denn j ist Q-linear, da alle Hom Q (K,C) Q-linear sind. Man kann zeigen, dass die Diskriminante von a von Null verschieden ist. (Man betrachte dazu die Diskriminante einer Basis der separablen Körpererweiterung K Q und folgere mit Hilfe der Determinante der Vandermond schen Matrix, dass die Diskriminante einer Basis der Körpererweiterung K Q von Null verschieden ist. Vgl. dazu Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Berlin: Springer 007. S.11f. Da eine Z-Basis von a eine Q-Basis von K ist, ist die Diskriminante von a ebenfalls von Null verschieden.) Es gilt 0 d(a) = det(m), wobei die Matrix M die j(α 1 ),..., j(α n ) nach Definition als Spaltenvektoren hat. Da diese Determinante ebenfalls von Null verschieden ist, sind die Vektoren j(α 1 ),..., j(α n ) linear unabhängig über R im Vektorraum K R. Folglich ist j(a) ein vollständiges Gitter in K R. Für die n nummerierten Q-Einbettungen 1,..., n : K C, bilde die n n Matrix A := ( l (α i )) l,i=1,...,n mit Koeffizienten aus den komplexen Zahlen. Dann gilt nach (9.10) d(a) = (det(a)) = (O K : a) d(o K ). Es gilt für die Matrix ( j(α i ), j(α k ) ) i,k=1,...,n = ( n l=1 l(α i ) l (α k )) i,k=1,...,n = A A T. Nach den Ergebnissen des 8. Vortrags gilt nun: vol kanonisch (Γ) = det( j(α i ), j(α k ) ) ik ) 1 = det(aa T ) 1 = ( det(a) det(a) ) 1 = ( det(a) det(a) ) 1 = ( det(a) det(a) ) 1 = det(a) = (OK : a) d K. 8

11 Beispiel 9.19 Sei K := Q[i]. Dann ist O K = Z[i] (nach den Ergebnissen des 6. Vortrags). Wähle a := O K = Z[i]. Dann ist nach (9.18). vol kanonisch ( j(a)) = d K (O K : O K ) = 4 = Eigentlich würde man vermuten, dass das hier zu berechnende Grundmaschenvolumen 1 = 1 i ist. Um an dieser Stelle das Grundmaschenvolumen zu berechnen, betrachtet man j(z[i]) als Gitter in K R. Da die Vektoren j(1) = ( 1 1), j(i) = ( i i) KR die Länge haben, erhält man = als Grundmaschenvolumen. Dieses Ergebnis veranschaulicht auch die Formel in (9.16). Erinnerung (Minkowskischer Gitterpunktsatz) 9.0 Sei Γ ein vollständiges Gitter im euklidischen Vektorraum V der Dimension n und X V zentralsymmetrisch und konvex. Ist dann vol(x) > n vol(γ), so enthält X mindestens einen von Null verschiedenen Gitterpunkt γ Γ. (Dieser Satz wurde im 8. Vortrag bewiesen.) Theorem 9.1 Sei a 0 ein Ideal von O K und seien c > 0 ( Hom Q (K,C)) reelle Zahlen mit c = c und c > A (O K : a), wobei A := ( π )s d(o K ). Dann gibt es ein α a, α 0 mit (α) < c für alle Hom Q (K,C). Beweis: Ziel ist es, den Minkowskischen Gitterpunktsatz anzuwenden. Dazu sollen zunächst die Voraussetzungen geschaffen werden. Die Menge X := {(z ) K R z < c } ist zentralsymmetrisch und konvex: Sei (z ) X, dann gilt z = z < c für alle Hom Q (K,C). Daher ist (z ) X und somit ist X zentralsymmetrisch. Seien (z ),(z ) X. Dann gilt: z < c, z < c für alle Hom Q (K,C). Seien α, β 0 mit α + β = 1. Daher gilt nach der Dreiecksungleichung αz + βz α z +β z < (α + β) c für alle Hom Q (K,C). Daher ist α (z )+β (z ) X und somit ist X konvex. 9

12 Das Volumen vol kanonisch (X) ergibt sich über den aus (9.15) bekannten Isomorphismus f : K R R r+s, (z ) (x ), mit x ρ = z ρ, x σ = Re(z σ ), x σ = Im(z σ ) als das s -fache des Lebesgue-Inhalts des Bildes f(x) = {(x ) R n x ρ < c ρ,x σ + x σ < c σ }. Nach (9.16) gilt: vol kanonisch (X) = s vol Lebesgue ( f(x)) = s ρ E R (c ρ ) σ E C (πc σ ) = r+s π s c. Nun folgt mit (9.18) vol kanonisch (X) > r+s π s ( π )s d K (O K : a) = n d K (O K : a) = n vol kanonisch (Γ) mit Γ = j(a). (Γ ist nach (9.18) ein vollständiges Gitter.) Mit dem Minkowskischen Gitterpunktsatz folgt, dass X einen Gitterpunkt γ Γ = j(a) mit γ 0 besitzt. Daher existiert ein α a mit γ = j(α). Da γ 0 gilt auch α 0. Da γ X folgt: (α) < c für alle Hom Q (K,C). 10

13 Literaturverzeichnis Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Berlin: Springer