5 Noethersche Ringe und Moduln

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1 5 Noethersche Ringe und Moduln Sofern nichts anderes gesagt wird, sind im Folgenden alle Ringe kommutativ mit 1 0. Satz und Definition 5.1. Sei A ein Ring. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) A erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung (AUF) für Ideale: Für jede aufsteigende Kette I 1 I 2 I 3... von Idealen I j A (j N) gibt es ein k N mit I l = I k l k, d.h. die Kette wird stationär. (ii) Jede nichtleere Menge S von Idealen in A hat (mindestens) ein maximales Element bzgl. der Inklusion. (iii) Jedes Ideal I in A ist endlich erzeugt (als A-Modul), d.h. n N, a 1,..., a n A mit I = (a 1,..., a n ). Wenn eine (und damit jede) der obigen Aussagen erfüllt ist, so nennt man A einen noetherschen Ring. Bemerkung 5.2. Für Ringe kann man entsprechend eine absteigende Kettenbedingung (AB) definieren: Für jede absteigende Kette I 1 I 2 I 3... von Idealen I j A (j N) gibt es ein k N mit I l = I k l k, d.h. die Kette wird stationär. Ein Ring, der (AB) erfüllt, wird artinscher Ring genannt. Man kann zeigen: artinsch = noethersch. Die Umkehrung gilt aber i.a. nicht. Beispiel. (1) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring in n N Variablen K[X 1,..., X n ] noethersch. (2) Sei A n = K[X 1,..., X n ] sodass man Ringerweiterungen A n A n+1 hat. Betrachte den Ring A := n=1 A n und darin das Ideal I n = (X 1, X 2,..., X n ). Dann wird die aufsteigende Kette I 1 I 2 I 3... nicht stationär (X n+1 I n+1 \ I n ) und das Ideal I = n=1 I n A ist nicht endlich erzeugt. A ist also nicht noethersch. (3) In K[X, Y ] betrachte den Unterring A = {c + Xg(X, Y ) c K, g(x, Y ) K[X, Y ]} 1

2 (man zeige, dass dies ein Unterring ist). Dann ist A nicht noethersch: Mit I n := (X, XY, XY 2,..., XY n ), n N 0 und I = n=0 I n = (X, XY, XY 2, XY 3,...) hat man, dass I nicht endlich erzeugt ist und die aufsteigende Kette I 0 I 1 I 2... nicht stationär wird (XY n+1 I n+1 \ I n ). Unterringe noetherscher Ringe sind also i.a. nicht wieder noethersch. Definition 5.3. Seien A ein Ring und M ein A-Modul. M nennt man noethersch wenn M die aufsteigende Kettenbedingung (AUF) für Untermoduln erfüllt: Für jede aufsteigende Kette M 1 M 2 M 3... von Untermoduln M j A (j N) gibt es ein k N mit M l = M k l k, d.h. die Kette wird stationär. Bemerkung. Ähnlich wie für Ringe zeigt man, dass M genau dann noethersch ist wenn jeder Untermodul von M endlich erzeugt ist, bzw. wenn jede nichtleere Menge von Untermoduln von M ein maximales Element bzgl. der Inklusion besitzt. Ein Ring ist also genau dann noethersch wenn der A-Modul AA noethersch ist. Lemma 5.4. Sei 0 L α M β N 0 eine KES von A-Moduln. Dann gilt: M noethersch L und N noethersch. Korollar 5.5. (i) Sind M i noethersche A-Moduln, 1 i n, so ist n i=1 M i noethersch. (ii) Sei A ein noetherscher Ring und M ein A-Modul. Dann gilt: M noethersch M ist endlich erzeugt als A-Modul. (iii) Sei A ein noetherscher Ring und M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann ist jeder Untermodul N M endlich erzeugt. (iv) Sei A ein noetherscher Ring, I A. Dann ist der Faktorring A/I noethersch. Satz 5.6. (Hilbertsches Basistheorem) Ist A ein noetherscher Ring, so ist A[X] ein noetherscher Ring. Definition 5.7. (i) Seien A B Ringe. Wir nennen B eine endlich erzeugte Ringerweiterung von A falls es n N und b 1,..., b n B gibt mit B = A[b 1,..., b n ] = {f(b 1,..., b n ) f A[X 1,..., X n ]}, d.h. für b = (b 1,..., b n ) ist die Evaluierungsabbildung ev b : A[X 1,..., X n ] B : f f(b 1,..., b n ) 2

3 surjektiv. (Beachte: ev b ist sicher ein Ringhomomorphismus.) (ii) Seien A, B Ringe. Man nennt B eine A-Algebra wenn es einen Ringhomomorphismus ϕ : A B gibt. Wir schreiben: B = (B, A, ϕ). Damit wird B zu einem A-Modul A B (siehe 5.5.(iv)). B ist eine endliche erzeugte A-Algebra falls AB endlich erzeugt als A-Modul ist. Bemerkung 5.8. (i) Ist A B eine Ringerweiterung, so ist B auf natürliche Weise eine A-Algebra: B = (B, A, id) mit id : A B : a a. B endlich erzeugt als A-Algebra ist was anderes als B endlich erzeugt als Ringerweiterung von A: B endlich erzeugt als A-Algebra: n N, b 1,..., b n B mit B = n i=1 Ab i; B endlich erzeugt als Ringerweiterung von A: n N, b 1,..., b n B mit B = A[b 1,..., b n ]. Man sieht leicht für so eine Ringerweiterung A B: n i=1 Ab i A[b 1,..., b n ], daher gilt dann: endlich erzeugt als A-Algebra = endlich erzeugt als Ringerweiterung. Die Umkehrung gilt i.a. nicht: A A[X] ist endlich erzeugt als Ringerweiterung, aber als A-Modul ist A[X] vom Rang mit Basis 1, X, X 2, X 3,..., also sicher nicht endlich erzeugt als A-Modul. (ii) Sei A B eine Ringerweiterung. Ist diese Ringerweiterung endlich erzeugt, so gilt mit b = (b 1,..., b n ) und ev b wie in der Definition und mit I = Kern(ev b ): A[X 1,..., X n ]/I = B, wobei unter dem Isomorphismus a + I auf a A B abgebildet wird. Daher gilt sicher auch I A = (0). Umgekehrt, gilt A[X 1,..., X n ]/I = B für ein Ideal I sodass a + I auf a A B abgebildet wird (und somit notwendigerweise I A = (0)), so ist B endliche erzeugt als Ringerweiterung: Sei ψ : A[X 1,..., X n ]/I B so ein Isomorphismus, so gilt B = A[b 1,..., b n ] mit b i = ψ(x i + I). (iii) Ist B = (B, A, ϕ) eine endlich erzeugte A-Algebra, so ist A = ϕ(a) B ein Unterring von B und B = n i=1 A b i für geeignete n N und b i B. Die Evaluierungsabbildung ev b : A [X 1,..., X n ] B : f f(b 1,..., b n ) ist dann sicher eine surjektiver Ringhomomorphismus. Ferner ist ϕ : A[X 1,..., X n ] A [X 1,..., X n ] : a i X i ϕ(a i )X i ein surjektiver Ringhomomorphismus (hier ist i = (i 1,..., i n ) N n 0 ein Multiindex und X i = n k=1 Xi k k ). Mit γ := ev b ϕ hat man dann mit I = Kern(γ) A[X 1,..., X n ] ebenfalls B = A[X 1,..., X n ]/I. 3

4 (iv) Für ein kommutatives A kann man auch nicht-kommutative A-Algebren B = (B, A, ϕ) betrachten, wobei man verlangen würde: ϕ(a) Z(B) = {x B xy = yx y B} (Zentrum von B). Damit wird B wieder zu einem A- Modul wie zuvor und es gilt a A, x, y B: a (xy) = (a x)y = x(a y). Dies werden wir im Teil der Vorlesung über nicht-kommutative Algebra näher betrachten. Korollar 5.9. Sei A ein noetherscher Ring. Ist B = (B, A, ϕ) eine endlich erzeugte A-Algebra, oder ist A B eine endlich erzeugte Ringerweiterung, so ist B ein noetherscher Ring. Definition Sei B = (B, A, ϕ) eine A-Algebra mit A = ϕ(a) B. y B heißt ganz über A falls es ein monisches f A [X] gibt mit f(y) = 0, d.h. n N, a 0,..., a n 1 A mit a 0 + a 1y a n 1y n 1 + y n = 0. B heißt ganz über A falls jedes y B ganz über A ist. Bemerkung. Betrachtet man in 5.10 B als A-Modul und wählt a i A sodass a i = ϕ(a i ), so hat man also eine lineare Abhängigkeit von 1 B, y,..., y n über A: a 0 1 B + a 1 y a n 1 y n A y n = 0. Somit ist y B ganz über A genau dann wenn es ein n N und eine lineare Abhängigkeit von 1 B, y,..., y n über A gibt, in der 1 A der Koeffizient von y n ist. Satz Seien B = (B, A, ϕ) eine A-Algebra mit A = ϕ(a) und y B. Dann ist A [y] auf natürliche Weise eine A-Unteralgebra von B (da ϕ(a) = A A [y] B) und die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) y ist ganz über A; (ii) A [y] ist eine endlich erzeugte A-Algebra; (iii) Es existiert eine endlich erzeugte A-Unteralgebra C B mit A [y] C; (iv) Es existiert ein endlich erzeugter A-Untermodul C von A B mit 1 C und yc C. Satz (i) Seien A B C Ringerweiterungen sodass B als A-Algebra und C als B-Algebra endlich erzeugt sind. Dann ist C als A-Algebra endlich erzeugt. (ii) Ist B = (B, A, ϕ) eine A-Algebra, A = ϕ(a), und sind y 1,..., y n B ganz über A, so ist die A-Algebra C := A [y 1,..., y n ] endlich erzeugt und ganz über A. (iii) Seien A B C Ringerweiterungen mit B ganz über A und C ganz über B, so ist C ganz über A. 4

5 Satz und Definition Sei A B eine Ringerweiterung. Dann ist à := {y B y ist ganz über A} ein Unterring von B der A enthält. Ist y B ganz über Ã, so gilt schon y Ã, also à = Ã. Man nennt à den ganzen Abschluss von A in B. A heißt ganz abgeschlossen in B falls à = A. Ein Integritätsbereich A heißt normal falls A ganz abgeschlossen im Quotientenkörper Quot(A) ist. Beispiel. (1) Jeder faktorielle Ring ist normal. (2) Aus der Körpertheorie ist bekannt, dass die quadratischen Körpererweiterungen von Q vollständig mittels folgender Bijektion beschrieben werden können: {d Z \ {0, 1} d quadratfrei} {Körpererw. Q L C [L : Q] = 2} d Q( d) Dann ist z.b. 1, d eine Q-Basis von Q( d). Der ganze Abschluss von Z in Q( d) ist dann Z 1 + Z α mit { 1+ d falls d 1 mod 4 2 α = d falls d 2, 3 mod 4 5