Messbare Vektorräume

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1 Messbare Vektorräume Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Westsächsische Hochschule Zwickau Dezember 2010 / Januar 2011 Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 1

2 1. Definition Geg. X linearer Raum über K = R oder C; S X σ Algebra auf X (X, S X ) heißt messbarer Vektorraum oder linearer messbarer Raum oder messbarer linearer Raum, falls die Abbildungen (x, y) x + y, X X X, S X S X S X messbar und (α, x) αx, K X X, B(K) S X S X messbar sind. Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 2

3 2. Behauptung Geg.: (X, S X ) messbarer linearer Raum α K \ {0} : X X, x αx messbar, bijektiv x 0 X : X X, x x + x 0 messbar, bijektiv x 0 X \ {0} : K X, α αx 0 messbar, injektiv x 0 X, α K \ {0}, S S X : αs S X, x 0 + S S X Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 3

4 3. Bemerkung Geg.: (X, S X ) messbarer linearer Raum Im Allgemeinen ist für S 1 S X, S 2 S X die algebraische Summe S 1 + S 2 = {x X : x = x 1 + x 2, x 1 S 1, x 2 S 2 } nicht messbar. Es existieren Gegenbeispiele schon für X = R, S X = B(R). Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 4

5 4. Satz Geg. X linearer Raum über K = R oder C; S X σ Algebra auf X (X, S X ) ist genau dann ein messbarer linearer Raum, falls für einen beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und darauf definierte beliebige Zufallsvariable ξ 1, ξ 2 mit Werten in (X, S X ) und beliebige K wertige Zufallsvariable η auf (Ω, A, P) gelten: ξ 1 + ξ 2 und ηξ 1 sind Zufallsvariable mit Werten in (X, S X ). Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 5

6 5. Beispiele Für jeden linearen Raum X ist mit S X = {, X} das Paar (X, S X ) ein meßbarer Vektorraum. Es seien X ein linearer Raum und S X σ Algebren a) P(X), die Menge aller Teilmengen von X; eine der folgenden b) { S X : S = S }, die Menge der symmetrischen Teilmengen von X; c) { S X : S oder X \ S enthält höchstens abzählbar viele Elemente } = σ({x}, x X). Dann ist (X, S X ) ein meßbarer Vektorraum genau dann, wenn X = {0}, d.h. dim X = 0. Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 6

7 6. Satz Geg. (X, ϱ) separabler metrischer linearer Raum; B(X) σ Algebra der Borel-Mengen in X (X, B(X)) ist ein messbarer linearer Raum Insbesondere ist jeder separable normierte oder Hilbert-Raum, ausgestattet mit der σ Algebra der Borel-Mengen, ein messbarer linearer Raum. Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 7

8 7. Behauptung Geg. (X, τ) Hausdorffscher linearer topologischer Raum; B(X) σ Algebra der Borel-Mengen in X card X > card R (X, B(X)) ist kein messbarer linearer Raum In diesem Fall gilt z.b. {(x, x) : x X} / P(X) P(X) B(X) B(X) Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 8

9 8. Behauptung Es seien (Ω, S Ω ) und (X, S X ) messbare Räume, wobei die σ Algebra S X von einer nichtleeren Familie von Abbildungen f γ : X Y γ in messbare Räume (Y γ, S γ ) erzeugt wird, d. h. S X = σ(f γ, γ Γ). Dann gilt: Die Abbildung ξ : Ω X ist genau dann S Ω S X messbar, wenn jede der Abbildungen S Ω S γ messbar ist. g γ = f γ (ξ) : Ω Y γ, γ Γ, (Grundlegende Aussage über die Messbarkeit bezüglich von σ Algebren, die von einer Menge von Abbildungen erzeugt werden.) Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 9

10 9. Satz Geg. X linearer Raum; {f γ : γ Γ} Menge linearer Funktionale auf X; S X = σ(f γ, γ Γ) von diesen linearen Funktionalen erzeugte σ Algebra Dann ist (X, S X ) ein messbarer linearer Raum. Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 10

11 10. Behauptung Geg. (X, S X ) messbarer linearer Raum; Y X linearer Teilraum; S Y = {Y B : B S X } Spur σ Algebra auf Y Dann ist (Y, S Y ) ein messbarer linearer Raum. Es gilt S Y S X genau dann, wenn Y S X, also Y ein messbarer linearer Teilraum ist. Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 11

12 11. Behauptung Geg.: (X γ, S Xγ ), γ Γ, nichtleere Familie von messbaren linearen Räumen Dann ist der kartesische Produktraum ( γ Γ X γ, γ Γ S Xγ ) ein messbarer linearer Raum. Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 12

13 12. Definition Geg.: (X, S X ), (Y, S Y ) messbare lineare Räume MesLin(X, S X ; Y, S Y ) Menge der messbaren linearen Abbildungen von (X, S X ) in (Y, S Y ) MesLin(X, S X ) Menge der messbaren linearen Abbildungen von (X, S X ) in sich Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 13

14 13. Behauptung (i) Ist (Y, S Y ) ein messbarer Vektorraum, so ist für jeden Vektorraum X und jede σ Algebra S X auf X die Menge MesLin(X, S X ; Y, S Y ) ein Vektorraum. (ii) Ist umgekehrt für jeden Vektorraum X und jede σ Algebra S X auf X die Menge MesLin(X, S X ; Y, S Y ) ein Vektorraum und ist die Multiplikation mit Skalaren B(K) S Y S Y messbar, so ist (Y, S Y ) ein messbarer Vektorraum. (iii) Ist (X, S X ) ein messbarer Vektorraum, so ist MesLin(X, S X ) eine Algebra (bezüglich der Komposition von Abbildungen). Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 14

15 14. Satz Geg. X, Y vollständige separable metrische Vektorräume; A : X Y lineare Abbildung A ist B(X) B(Y ) messbar A ist stetig. (ohne Beweis) Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 15

16 15. Folgerung Geg. X separabler Banach-Raum; l : X K lineares Funktional l ist B(X) B(K) messbar l ist stetig (und beschränkt). Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 16

17 16. Beispiel betrachten Raum L q (0, 1) mit 0 < q < 1 ist ein vollständiger separabler metrischer Vektorraum (L q (0, 1), B(L q (0, 1))) ist ein messbarer linearer Raum es existieren keine nichttrivialen stetigen linearen Funktionale auf diesem Raum es existieren keine nichttrivialen messbaren linearen Funktionale auf diesem Raum (ausgestattet mit der σ Algebra der Borel-Mengen) σ Algebra der Borel-Mengen kann von keiner Menge von linearen Funktionale erzeugt werden Hans-Jörg Starkloff Messbare Vektorräume 17