Strassen Type Theorems Proseminar Stochastik

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1 Strassen Type Theorems Proseminar Stochastik Cecelie Hector Universität Hamburg Fachbereich Mathematik SoSe 2004 Vortrag am

2 Definition (a). Ein topologischer Raum E heißt polnisch, wenn es eine seine Topologie definierende, vollständige Metrik gibt und wenn E eine abzählbare Basis besitzt. Für eine Übergangswahrscheinlichkeit Q von S nach S und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P und P auf S schreibe ich P P Q, falls P (A) Q(x, A)P (dx) A S. Theorem Sei S ein polnischer Raum und der maximale Erzeuger R F abgeschlossen bezüglich der Maximumfunktion, mit f, g R F folgt also max{f, g} R F. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) P F P (ii) es gibt eine Übergangswahrscheinlichkeit Q von S nach S, so dass P P Q. Außerdem erfüllt das Wahrscheinlichkeitsmaß Q(x, ) x S die Ungleichung f(s)q(x, ds) f(x) f R F. Beweis. (ii) (i): f(x)p (dx) x S f(x) y S Q(y, dx)p (dy) f(x)q(y, dx)p (dy) f(s)q(x, ds) P (dx) }{{} f(x) f(x)p (dx) P F P (i) (ii) siehe Meyer (1966), Strassen (1965) Theorem kann auch angewendet werden, wenn der Erzeuger abgeschlossen ist bezüglich der Minimumfunktion. Man definiert P F P P F P. Es wird dann F erzeugt von den Funktionen f mit f R F. Dieser Erzeuger ist abgeschlossem bezüglich der Maximumfunktion, falls R F bezüglich der Minimumfunktion abgeschlossen ist. Die beiden wichtigsten Fälle, in denen Theorem angewendet werden kann, sind die, in denen R F aus allen monoton steigenden oder allen konvexen Funktionen besteht. Definition (b). Eine Ordnung auf S heißt abgeschlossen, wenn die Menge {(x, y) S S : x y} eine abgeschlossene Teilmenge des Produktraums S S ist. 1

3 Definition Sei (S, S) ein polnischer Raum mit einer abgeschlossenen partiellen Ordnung, ausgestattet mit der Borel σ-algebra. Für Wahrscheinlichkeitsmaße auf (S, S) ist st die Integral induzierte Ordnung, die erzeugt wird von der Menge F st aller beschränkten, messbaren, monoton steigenden Funktionen f : S R. Für S R ist das die gewöhnliche stochastische Ordnung. Weiter ist P st P f dp f dp für alle messbaren Funktionen f, f : S R mit f (x) f (y) wenn x y. Dies kann man wie folgt einsehen: Definiere f(x) inf y x f (y). Dann ist f f f, und f ist monoton steigend, da f monoton steigend ist. Damit erhält man f dp fdp fdp f dp. Aus Theorem folgt P st P, da für alle monoton steigenden Funktionen f f f die Ungleichung f (x) f (y) erfüllt ist für x y. Theorem Sei S ein polnischer Raum mit einer abgeschlossenen partiellen Ordnung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) P st P (ii) Es existieren Zufallsvariablen X P und X P, sodass X X fast sicher ist. Beweis. (i) (ii): F st ist ein konvexer Kegel, der die konstanten Funktionen beeinhaltet, was aus Definition folgt. Da F st auch abgeschlossen bezüglich punktweiser Konvergenz ist, folgt somit aus Korollar 2.3.9, das F st der maximale Erzeuger von st ist. Aus den Eigenschaften von F st folgt, dass die Voraussetzungen von Theorem erfüllt sind. Es ist f(s)q(x, ds) f(x) f R st Q(x, {y : y x}) 1, wobei die Rückrichtung für monoton steigende Funktionen f offensichtlich gilt, die Hinrichtung ergibt sich mit f(s) 1 [s x] wie folgt: f(s)q(x, ds) Q(x, ds) f(x) 1. Mit der obigen Äquivalenz folgt weiter, dass es eine Übergangswahrscheinlichkeit Q gibt mit Q(x, {y : y x}) 1, für die P P Q gilt. Gesucht sind Zufallsvariablen X, X für die gilt: P (X X ) 1. Ich wähle pr 1 X : (S 2, S 2 ) (S, S) pr 2 X : (S 2, S 2 ) (S, S) (x, y) pr 1 (x, y) x x (x, y) pr 2 (x, y) y Es muß also folgendes erfüllt sein: (P Q)({pr 1 pr 2 }) 1 (siehe Bild). Man 2

4 erhält mit D x {y : y x} {pr 1 pr 2 } und D {y : y x}: S x0 (P Q)({pr 1 pr 2 }) P (dx)q(x, D x ) P (dx)q(x, y : y x) P (dx) 1 1. S S y D x pr 2 (x 0, y 0 ) y 0 (x 0, y 0 ) D pr 1 (x 0, y 0 ) x 0 x x (ii) (i): Zufallsvariablen X, X mit P (X X ) 1 und X P, X P. Es ist zu zeigen für alle monoton steigenden unbestimmten beschränkten f: P (dx)f(x)! P (dx)f(x) P X (dx)f(x) P X (dx)f(x) P (dω)f(x (ω)) P (dω)f(x (ω)) Von der zweiten zur dritten Zeile benutze ich die Transformationsformel. Die letzte Zeile ist wahr, da X (ω) X (ω) und f monoton steigend, sowie wegen der Isotonie des Integrals (f g f dµ g dµ). Definition (c). Eine Teilmenge U S heißt aufsteigend, falls die Indikatorfunktion 1 U monoton steigend ist. Theorem Für Wahrscheinlichkeitsmaße P und P über einem polnischen Raum mit partieller Ordnung sind die folgenden Aussagen äquivalent: 3

5 (i) P st P (ii) fdp fdp für alle beschränkten, stetigen, monoton steigenden Funktionen f (iii) P (U) P (U) für alle aufsteigenden Mengen U (iv) P (U) P (U) für alle abgeschlossenen aufsteigenden Mengen U Beweis. (i) (ii) : P st P fdp fdp, für f stetig, beschränkt, monoton steigend ist klar, da Stetigkeit die Meßbarkeit impliziert. (i) (iii) : P (U) 1 U dp 1 U dp P (U), da 1 U (iii) (iv) : trivial (ii) (i) : Die messbaren, monoton steigenden Funktionen können durch die stetigen Funktionen von (ii) angenähert werden. Vollständiger Beweis siehe Kamae et al. (1977) Definition (d). Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Definition (e). Eine Funktion f : S R heißt konvex, falls f(αx+(1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y) x,y S und 0 < α < 1. Definition (f). Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare Basis hat. Definition Sei S ein separabler Banachraum und b(s) 1 + s die beschränkende Funktion. Die konvexe Ordnung cx ist auf P b als Integral induzierte Ordnung definiert, die von der Menge F cx aller konvexen Funktionen in B b erzeugt wird. Im Folgenden wird die Banachraumstruktur benötigt, um mit bedingten Erwartungswerten zu rechnen. Theorem Angenommen, S sei ein separabler Banachraum mit einer abgeschlossenen partiellen Ordnung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) P cx P (ii) es existieren Zufallsvariablen X P und X P, sodass X E[X X ] fast sicher ist. Beweis. (i) (ii) (Skizze auf der nächsten Seite) F cx ist der maximale Erzeuger und die Voraussetzungen von Theorem sind erfüllt. Somit gibt es eine Übergangswahrscheinlichkeit Q mit P P Q und f(y)q(x, dy) f(x) für alle konvexen f, sowie l(y)q(x, dy) l(x) für alle linearen l. 4

6 Es ist E[X X ]: h X für eine geeignete unbestimmte Funktion h : S R und es muß nur noch gezeigt werden, dass h id ist. Es gilt allgemein h(x ): E[X X x ]: x P X X x (dx ). Mit P X X (x, ) Q(x, ) und l(y)q(x, dy) l(x) ergibt sich h(x ) x Q(x, dx ) x und damit h id. Es gibt somit ein Paar (X, X ) von Zufallsvariablen mit X P und X P, sodass E[X X ] X fast sicher ist. (ii) (i) siehe Perlman (1974). Die Beweise für Theorem und Theorem funktionieren ganz ähnlich. Theorem Angenommen, S sei ein separabler Banachraum mit einer abgeschlossenen partiellen Ordnung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) P icx P (ii) Es existieren Zufallsvariablen X P und X P, sodass X E[X X ] fast sicher ist. Theorem Angenommen, S sei ein separabler Banachraum mit einer abgeschlossenen partiellen Ordnung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) P icv P (ii) Es existieren Zufallsvariablen X P und X P, sodass X E[X X ] fast sicher ist. Literatur [1] Müller, A. und Stoyan, D. (2002). Comparison Methods for Stochastic Models and Risk. JohnWiley & Sons, Ltd, Chicester. 5