Fouriertransformation und Unschärfeprinzip

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1 Information, Codierung, Komplexität 2 SS April 2007 Das berühmte von Heisenberg in der Quantentheorie beruht, rein mathematisch betrachtet, auf einer grundlegenden Eigenschaft der der Dichtefunktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Normalverteilungen stellen den Extremfall dar, in dem die Unschärfe-Ungleichung mit Gleichheit erfüllt ist.

2 Theorem e x2 dx = π Beweis ( 2 ( e dx) x2 = = 2π ) ( e x2 dx e (x2 +y 2) dx dy = e r 2 r dr dφ 0 0 = 2π [ 12 ] r= e r 2 = π r=0 e y 2 dy )

3 Mittels partieller Integration erhält man Folgerung x 2 e x2 dx = π 2 Für α > 0 ergibt sich mit Variablentransformation Folgerung e α2 x 2 π dx = α x 2 e α2 x 2 π dx = 2α 3

4 Mittels quadratischer Ergänzung im Exponenten findet man für reelles ω Folgerung e α2 x 2 e iωx dx = π ω 2 α e 4α 2 und das liefert die Fouriertransformierte der Dichte einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz σ 2 : Folgerung 1 2π 1 e x2 2σ 2 e iωx dx = 1 e ω2 σ 2 2 2πσ 2π

5 Wird die genannte Dichte mit bezeichnet, so gilt natürlich Folgerung g(σ, x) = 1 2πσ e x2 2σ 2 g(σ, x) dx = 1, x 2 g(σ, x) dx = σ 2 und die Aussage über die Fouriertransformierte kann man so schreiben Folgerung Fg(σ, x) = g(1, σ ω)

6 Eine ganz ähnliche Beziehung erhält man für die Fouriertransformierte der Quadratwurzel aus g(σ, x): F g(σ, x) = und das schreibt sich elegant so 2 π σ ω 2 e σ2 = 2σ e 2π ω2 2( 2σ 1 )2 Folgerung F g(σ, x) = g( 1 2σ, ω) d.h. ( F g(σ, x)) 2 ist die Dichte einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1/(2σ) 2.

7 Für integrierbare Funktionen f : R C wird deren Fouriertransformierte Ff : R C definiert durch Definition (Ff )(ω) = 1 2π f (x) e i ω x dx Analog definiert man die konjugierte Transformation Definition (F f )(ω) = 1 2π f (x) e i ω x dx Offensichtlich ist (Ff ) = F f

8 Lemma Für integrierbare Funktionen f, g : R C gilt (Ff )(s) g(s) ds = f (s) (Fg)(s) ds Ist f stetig und integrierbar und ist auch Ff integrierbar, so gilt Umkehrformel f (x) = 1 (Ff )(ω) e i ω x dω = (F (Ff ))(x) 2π d.h. F und F sind invers zueinander: F 1 = F

9 Für integrierbare Funktionen f, g : R C ist die Faltung f g : R C definiert durch Definition (f g)(x) = 1 2π f (x y) g(y)dy Eine ganz wichtige Eigenschaft der Faltungstheorem F(f g) = (Ff ) (Fg)

10 Bezüglich der Ableitung von Funktionen gilt Ableitungsformel D ω (Ff ) = i (F [I x f ]) F [D x f ] = i I ω Ff wobei I x = Multiplikation mit x, D x = Ableitung nach x

11 Definition L 1 (R, C) := Menge der integrierbaren Funktionen f : R C L 2 (R, C) := Menge der quadrat-integrierbaren Funktionen Auf L 2 (R, C) definiert man ein Skalarprodukt und eine Norm Definition f, g = f 2 2 := f, f = f (x) g(x) dx f (x) f (x) dx = f (x) 2 dx NB: L 2 (R, C) (modulo Nullfunktionen) ist ein separabler Hilbertraum

12 Cauchy-Schwarz-Ungleichung f, g 2 f 2 2 g 2 2 Parseval-Plancherel-Identität Für f, g L 1 (R, C) L 2 (R, C) gilt Ff, Fg = f, g und insbesondere Ff 2 = f 2 Beweis: Ff, Fg = (Ff ) (Fg) = (F f ) (Fg) = F(F f ) g = f g D.h.: die ist ein unitärer Operator auf dem Raum L 1 (R, C) L 2 (R, C)

13 Ist f (x) eine genügend gutartige Funktion (alle beteiligten Integrale existieren und haben einen endlichen Wert), so gilt (partielle Integration!) x d dx f (x) 2 dx = 2Re I x f, D x f = Für normierte Funktionen, d.h. f 2 = 1 gilt also f (x) 2 dx = f 2 2 Re I x f, D x f = 1 2 Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ergibt sich I x f 2 D x f 2 I x f, D x f Re I x f, D x f = 1 2 und das bedeutet schliesslich I x f 2 I ω Ff 2 1 2

14 Damit ist gezeigt Unschärferelation der x 2 f (x) 2 dx ω 2 (Ff )(ω) 2 dω 1 4 für geeignete normierte Funktionen f L 2 (R, C) (für die z.b. auch f L 2 (R, C) gilt).

15 Interpretation: für f L 2 (R, C) mit f 2 2 = f (x) 2 dx = 1 kann man ρ f : x f (x) 2 = f (x) f (x) als Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P f auf R auffassen. Die Varianz dieser Verteilung ist natürlich var(p f ) = x 2 f (x) 2 dx Wegen Parseval-Plancherel ist Ff = f = 1, d.h. auch ρ Ff : ω (Ff )(ω) 2 = (Ff )(ω) (Ff )(ω) ist die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Q f auf R. Diese hat die Varianz var(q f ) = ω 2 (Ff )(ω) 2 dω

16 Varianz-Unschärfe für Wahrscheinlichkeitsverteilungen var(p f ) var(q f ) 1 4 Dabei wird der Fall der Gleichheit für Normalverteilungen erreicht: und somit P f = N (0, σ 2 ) Q f = N (0, 1/(2σ 2 )) var(p f ) var(q f ) = σ 2 1 (2σ) 2 = 1 4 (und das charakterisiert sogar die Normalverteilungen!) Beachte: Fourier-transformiert wird nicht die Dichte ρ f der Verteilung, sondern f, also im Fall der Normalverteilung die Quadratwurzel aus der Dichte!