SPEZIELLE KAPITEL DER MATHEMATIK TEIL 1

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik SPEZIELLE KAPITEL DER MATHEMATIK TEIL Fourier-Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 216/17

2 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 2/21 Trigonometrisches Funktionensystem Wiederholung: Eine Funktion f : R R heißt periodisch mit der Periode p oder p-periodisch, wenn f (x + p) = f (x) für alle x R gilt. Meist wird unter Periode die kleinste positive Periode verstanden. Definition Die Funktionen 1, cos ( ) ( ) 2π 2π p kx, sin p kx, k = 1, 2,..., bilden das trigonometrische Funktionensystem für p-periodische Funktionen.

3 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 3/21 Wiederholung: Additionstheoreme Additionstheoreme: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Folgerungen: cos α cos β = 2( 1 ) cos(α + β) + cos(α β), sin α sin β = 1 ) cos(α β) cos(α + β), 2( sin α cos β = 1 ( ) sin(α + β) + sin(α β) 2

4 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 4/21 Eigenschaften des Funktionensystems Satz Es gelten die Beziehungen ( ) ( ) 2π 2π sin p kx sin p kx dx = p 2, ( ) ( ) 2π 2π cos p kx cos p kx dx = p 2, ( 2π sin cos ) p kx ( 2π p kx ( 2π sin ) cos ) p lx dx =, ) dx =, ( 2π p lx ( ) ( ) 2π 2π sin p kx cos p lx dx =, k = 1, 2,..., k l, k, l ganzzahlig

5 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 5/21 Fourier-Koeffizienten Definition Sei f eine p-periodische Funktion. Dann nennen wir die Zahlen a = 2 p a k = 2 p b k = 2 p f (x) dx, ( ) 2π f (x) cos p kx dx, k = 1, 2,..., ( ) 2π f (x) sin p kx dx, k = 1, 2,..., die Fourier-Koeffizienten der Funktion f. Bemerkung Da f und alle Winkelfunktionen die Periode p haben, kann das Integrationsintervall [, p] zu [x, x + p] mit beliebigem x R geändert werden, ohne dass sich die Fourier-Koeffizienten ändern.

6 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 6/21 Fourier-Polynom und Fourier-Reihe Satz Sei f eine p-periodische Funktion. Dann nennen wir s n (x) := a n ( ) 2π n ( ) 2π 2 + a k cos p kx + b k sin p kx das Fourier-Polynom vom Grad n zur Funktion f und s(x) := a 2 + ( ) 2π ( ) 2π a k cos p kx + b k sin p kx die Fourier-Reihe zur Funktion f.

7 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 7/21 Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten Wiederholung: Eine Funktion f : R R heißt Satz gerade, wenn für alle x R gilt; ungerade, wenn für alle x R gilt. Sei f eine p-periodische Funktion. f ( x) = f (x) f ( x) = f (x) Ist f gerade, dann gilt b k = für k = 1, 2,..., d. h., Fourier- Polynom und Fourier-Reihe enthalten nur cos-terme und die Konstante. Ist f ungerade, dann gilt a k = für k =, 1, 2,..., d. h., Fourier-Polynom und Fourier-Reihe enthalten nur sin-terme.

8 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 8/21 Illustration f (x) = x für x [, 2), periodisch mit p = s 2 (x)= 1 2 π sin(πx) 1 π sin(2πx), s 4 (x)= 1 2 π sin(πx) 1 π sin(2πx) 2 3π sin(3πx) 1 2π sin(4πx)

9 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 9/21 Fortsetzung von Funktionen Gegeben sei f : [, p] R. Dann kann f auf verschiedene Arten auf R fortgesetzt werden: p-periodisch f (x + p) = f (x) für alle x R; gerade mit Periode 2p f ( x) = f (x) für alle x [, p] und f (x + 2p) = f (x) für alle x R; ungerade mit Periode 2p f ( x) = f (x) für alle x [, p] und f (x + 2p) = f (x) für alle x R;

10 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 1/21 Illustration: Periodische Fortsetzung von Funktionen Funktion periodisch ungerade gerade

11 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 11/21 Konvergenz von Fourier-Reihen Satz Sei f : R R eine p-periodische Funktion, die auf [, p] mit Ausnahme der endlich vielen Punkte x,..., x m stetig differenzierbar ist. Weiterhin mögen die einseitigen Grenzwerte f (x j ) und f (x j +) existieren. Dann konvergiert die Folge (s n ) n N der Fourier- Polynome von f punktweise gegen die Fourier-Reihe s, d. h., s(x) = lim s n(x) n für alle x R. Außerdem gilt f (x j ) + f (x j +), j =,..., m, s(x) = 2 f (x), sonst.

12 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 12/21 Eigenschaften von Fourier-Reihen Bemerkung Die Fourier-Reihe konvergiert an den isolieren Unstetigkeitsstellen x,..., x m gegen den Mittelwert aus linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert. Ist f an der Stelle x stetig, dann konvergiert die Fourier-Reihe gegen den Funktionswert f (x). Bemerkung An den Unstetigkeitsstellen zeigen sich Unter- und Überschwinger, deren Größe von der Anzahl n der verwendeten Terme nahezu unabhängig ist (Gibbs-Phänomen).

13 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 13/21 Gibbs-Phänomen I f (x) = { 1, x <, 1, x für x [ 1, 1) periodisch mit p = 2 fortgesetzt Verwendung von 5 und 25 Termen der Fourier-Reihe

14 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 14/21 Gibbs-Phänomen II f (x) = { 1, x <, 1, x für x [ 1, 1) periodisch mit p = 2 fortgesetzt Verwendung von 5, 15, 25 und 35 Termen der Fourier-Reihe

15 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 15/21 Approximation im quadratischen Mittel Satz Sei f eine p-periodische Funktion. Unter allen trigonometrischen Polynomen g(x) = α n ( ) 2π n ( ) 2π 2 + α k cos p kx + β k sin p kx vom Grad n besitzt das Fourier-Polynom s n zur Funktion F den minimalen Abstand im quadratischen Mittel, d. h., der Ausdruck ( ) 2 f (x) g(x) dx wird minimal, wenn gilt. α k = a k, k =,..., n, und β k = b k, k = 1,..., n,

16 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 16/21 Konvergenz im quadratischen Mittel Satz Sei f : R R eine p-periodische, stückweise stetig differenzierbare Funktion. Dann konvergiert die Folge (s n ) n N der Fourier- Polynome im quadratischen Mittel gegen f, d. h., es gilt Weiterhin ist lim n ( f (x) sn (x) ) 2 dx =. ( f (x) s(x) ) 2 dx = erfüllt.

17 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 17/21 Differenzieren und Integrieren von Fourier-Reihen I Satz Sei f : R R eine p-periodische Funktion. Ist f differenzierbar, dann ist die Ableitung f auch wieder eine p-periodische Funktion. Dabei wird die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion und die Ableitung einer ungeraden Funktion eine gerade Funktion. Die Stammfunktion von f ist genau dann p-periodisch, wenn gilt. f (x) dx =

18 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 18/21 Differenzieren und Integrieren von Fourier-Reihen II Satz Sei f : R R p-periodisch mit der Fourier-Reihe s(x) = a 2 + ( ) 2π ( ) 2π a k cos p kx + b k sin p kx. Ist f differenzierbar, dann ist ( 2πk ) ( ) 2π a k sin p p kx + ( 2πk p die Fourier-Reihe von f. Gilt a =, dann ist ( p ) ( ) 2π ( a k sin 2πk p kx + p 2πk die Fourier-Reihe einer Stammfunktion von f. ) ( ) 2π b k cos p kx ) b k cos ( ) 2π p kx

19 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 19/21 Besselsche Ungleichung und Parsevalsche Identität Satz Sei f eine p-periodische Funktion. Dann gilt für jedes ganzzahlige n die Besselsche Ungleichung a 2 n 2 + ( a 2 k + bk) 2 2 p Weiterhin ist die Parsevalsche Identität a ( a 2 k + bk) 2 2 = p erfüllt. ( f (x) ) 2 dx. ( f (x) ) 2 dx

20 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 2/21 Spezialfall Für 2π-periodische Funktionen ergeben sich gemäß s n (x) = a n n 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx), und a = 1 π a k = 1 π b k = 1 π π π π π π i=1 s(x) = a 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx) π f (x) dx = 1 π f (x) cos(kx) dx= 1 π f (x) sin(kx) dx = 1 π vereinfachte Formeln. 2π 2π 2π i=1 f (x) dx, f (x) cos(kx) dx, k = 1, 2,..., f (x) sin(kx) dx, k = 1, 2,...,

21 G. Matthies Spezielle Kapitel der Mathematik, Teil 1 21/21 Illustration f (x) = x 2 für x [, π], gerade 2π-periodisch fortgesetzt 1 5 3π 2π π π 2π 3π s 2 (x)= π2 3 4 cos(x) + cos(2x), s 4 (x)= π2 3 4 cos(x) + cos(2x) 4 9 cos(3x) cos(4x)