10. Periodische Funktionen, Fourier Reihen

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1 H.J. Oberle Analysis II SoSe Periodische Funktionen, Fourier Reihen Jean Baptiste Joseph Fourier: Joseph Fourier wurde am bei Auxerre (Burgund) geboren und starb am in Paris wurde Fourier Professor an der École normale und 1797 Nachfolger von Lagrange an der École polytechnique in Paris. Fourier beschäftigte sich mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern uns stieß dabei auf einen Lösungsansatz mit trigonometrischen Reihen (Fourier-Reihen). 33

2 1.1 Grundlegende Begriffe Joseph Fourier: Jede periodische Funktion lässt sich durch eine Überlagerung von Grundschwingungen cos (ω t), sin (ω t) und zugehörigen Oberschwingungen cos (k ω t), sin (k ω t), k = 2, 3,... darstellen (Fourier Reihe): f(t) = a 2 + [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ], ω = 2 π T Definition (1.1.1) Eine Funktion f : R R (oder f : R C) heißt periodisch mit der Periode T, falls für alle t R : f(t + T ) = f(t). 34

3 Eine periodische Funktion, Periode T Beispiele (1.1.2) a) sin t, cos t, e it, a k cos(kt) + b k sin(kt) sind sämtlich 2π periodische Funktionen. b) U(t) = U cos (ω t) hat die Periode T = 2 π/ω und die Frequenz (= Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) ν = ω/(2 π). 35

4 Bemerkungen (1.1.3) a) Ist T eine Periode von f, so ist auch k T, k Z, eine Periode. Sind T 1 und T 2 Perioden von f, so ist auch k 1 T 1 +k 2 T 2 (k 1, k 2 Z) eine Periode von f. b) Existiert eine kleinste positive Periode T >, so ist die Menge der Perioden gegeben durch k T, k Z. Jede nichtkonstante, stetige und periodische Funktion (mit Periode ) besitzt eine kleinste positive Periode. c) Sind f und g T periodisch, so ist auch α f + β g eine T periodische Funktion. d) Jede T periodische Funktion f, lässt sich durch die Substitution τ := (2 π/t ) t = ω t in eine 2π periodische Funktion f(τ) := f(τ/ω), τ R, transformieren. 36

5 e) Ist f T periodisch und lokal integrierbar, so gilt für beliebige a R: Definition (1.1.4) f(t) dt = a+t a f(t) dt. (Periodische Fortsetzung) Jede Funktion g(t), t [, T ] bzw. t [, T/2], lässt sich zu einer T periodischen Funktion auf R fortsetzen. a) Direkte Fortsetzung: Ist g auf [, T ] vorgegeben, so setzt man f(t) := g(t kt ), k T t < (k + 1) T

6 b) Gerade Fortsetzung: Ist g auf [, T/2] vorgegeben, so spiegele man g an der y Achse, g(t) := g( t), T/2 t <, und setze g dann wie in a) zu einer T periodischen Funktion f fort c) Ungerade Fortsetzung: Ist g auf [, T/2] vorgegeben, so spiegele man g am Ursprung, g(t) := g( t), T/2 < t <, ergänze g( T/2) := g() := und setze g dann wie in a) zu einer T periodischen Funktion f fort. 38

7 Definition (1.1.5) f(t) = a 2 + Eine Reihe der Form [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ] mit a k, b k R/C heißt Fourier Reihe, oder trigonometrische Reihe ; dabei sei die Kreisfrequenz ω = 2π/T >. Die zugehörigen Partialsummen f n (t) = a 2 + n heißen trigonometrische Polynome. [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ] 39

8 Komplexe Schreibweise (1.1.6) Durch Umformung erhält man für die Partialsummen: f n (t) = a 2 + n = a 2 + n = a 2 + n = n und analog k= n [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ] [ ak ( e ikωt + e ikωt) + b k 2 2i [ ak ib k e ikωt + a k + ib k 2 2 γ k e i k ω t, f(t) = a 2 + = k= [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ] γ k e i k ω t := lim n n k= n γ k e i k ω t. ( e ikωt e ikωt)] e ikωt ] 31

9 Umrechnung der Koeffizienten: (k = 1, 2,..., n) γ = 2 1 a, γ k = 2 1 (a k ib k ), γ k = 2 1 (a k + ib k ) a = 2 γ, a k = γ k + γ k, b k = i (γ k γ k ) Beispiel (1.1.7) Für a k = 2, b k = und ω = 1: f n (t) = cos t + 2 cos(2 t) cos(nt) = n = k= n e i k t 2 n + 1, für t = 2 k π, k Z, sin [(n + 1/2) t], sonst. sin (t/2) Die erste Gleichung folgt dabei aus der komplexen Darstellung cos(k t) = (e ikt + e ikt )/2. Die zweite Gleichung ergibt sich aus der geometrischen Summenformel (3.4.5). 311

10 Die Umformung zeigt, dass die Partialsummenfolge f n (t) für kein t R konvergiert. Die obige Funktion f n heißt auch Dirichlet- Kern. Sie tritt bei der Integraldarstellung von Fourier-Reihen auf. Beispiel (1.1.8) Für z = r e i t, 1 < r < 1: 1 1 r e i t = = = (1 r cos t) + i (r sin t) (1 r cos t) 2 + (r sin t) 2 ( r e i t ) k k= ( k= r k cos (k t) ) + i ( k= r k sin (k t) Für r < 1 und t R konvergieren beide Reihen gleichmäßig, und man hat somit die folgende Fourier-Reihen Darstellung: ). 312

11 k= r k cos(kt) = r k sin(kt) = 1 r cos t 1 2 r cos t + r2 =: C(t) r sin t 1 2 r cos t + r2 =: S(t) C(t) S(t)

12 Satz (1.1.9) a) Die Funktionen e i k ω t, k Z, ω = 2 π >, bilden ein T Orthonormalsystem bezüglich des Skalarprodukts: u, v := 1 T u(t) v(t) dt. b) Konvergiert die Fourier Reihe k= γ k e i k ω t auf [, T ] gleichmäßig gegen eine Funktion f, so ist diese stetig, und es gilt: γ k = 1 T f(t) e i k ω t dt, k Z. (1.1.1) 314

13 Reelle Orthogonalitätsrelationen (1.1.11): cos(k ω t) cos(l ω t) dt = sin(k ω t) sin(l ω t) dt = sin(k ω t) cos(l ω t) dt =. : k l T/2 : k = l T : k = l = { : k l T/2 : k = l Reelle Fourier Koeffizienten (1.1.12): (k ) a k = 2 T f(t) cos(k ω t) dt, b k = 2 T f(t) sin(k ω t) dt 315

14 1.2 Fourier Reihen Definition (1.2.1) a) Eine Funktion f : [a, b ] C heißt stückweise stetig bzw. stückweise stetig differenzierbar, falls f bis auf endlich viele Stellen t < t 1 <... < t m in [a, b] stetig bzw. stetig differenzierbar ist und in den t j die einseitigen Grenzwerte von f bzw. von f und f existieren. b) Für eine stückweise stetige Funktion f : [, T ] C werden die Fourier Koeffizienten definiert durch: γ k := 1 T f(t) e i k ω t dt, k Z, a k := 2 T f(t) cos(k ω t) dt, b k := 2 T f(t) sin(k ω t) dt, k. 316

15 Dabei ist ω = 2π/T die Kreisfrequenz. c) F f (t) = γ k e i k ω t = a k= 2 + [ a k cos(k ω t) + b k sin(k ω t) ] heißt die Fourier Reihe von f. In obiger Definition wird f identifiziert mit der Fortsetzung von f (direkte Fortsetzung). Schreibweise: f(t) Satz (1.2.2) k= f gerade a k = 4 T γ k e i k ω t. T/2 f ungerade a k =, b k = 4 T T periodischen f(t) cos (k ω t) dt, b k =. T/2 f(t) sin (k ω t) dt. 317

16 Beispiele (1.2.3) a) Sägezahnfunktion: S(t) := Da S ungerade ist, folgt: Damit folgt: a k = ( k), 1 2 S(t) sin t +, t =, t = 2π, (π t), < t < 2π. b k = 2 π π sin(2 t) Für die 1. Partialsumme S 1 (t) = folgende Approximation: 2 π t sin (k t) dt = 1 k. sin(3 t) 3 sin (k t) k +... erhält man die 318

17 2 S 1 (t) b) Rechteckschwingung: R(t) =, t =, t = π, t = 2 π 1, < t < π 1, π < t < 2 π. 319

18 1 R(t) Wiederum ist R eine ungerade Funktion und somit: a k =, k =, 1,..., und b k = 2 π π R(t) 4 π sin(kt)dt = ( sin t 1 + sin(3 t) 3, k gerade 4 k π, k ungerade + sin(5 t) ). 32

19 1 R 1 (t) c) Periodisch fortgesetzte Parabel: Sei f(t) := t 2, π < t < π mit (2π) periodischer Fortsetzung: f(t)

20 Die Funktion f ist gerade; damit folgt: b k =, k, und 2 π a k = 2 π 2 t 2 cos (k t) dt = 3, für k = π ( 1) k 4 k2, für k = 1, 2,... Somit erhält man die folgende Fourier Reihe : f(t) π2 3 4 cos t cos(2 t) cos(3 t) P n (t)

21 Rechenregeln für Fourier Reihen (1.2.4) Sind f, g : R C T periodische, stkw. stetige Funktionen mit f k= γ k e i k ω t, g k= δ k e i k ω t, so gelten: a) Linearität: α f(t) + β g(t) b) Konjugation: f(t) c) Zeitumkehr: f( t) k= k= k= (α γ k + β δ k ) e i k ω t γ k e i k ω t γ k e i k ω t 323

22 d) Streckung: f(c t) e) Verschiebung: f(t + a) e i n ω t f(t) k= k= k= γ k e i k (c ω) t, c > ( γk e i k ω a) e i k ω t, a R γ k n e i k ω t, n Z f) Ableitung: Ist f stetig und stkw. stetig diffb., so gilt : f (t) k= = ( i k ω γ k ) e i k ω t ( k ω ) [ b k cos (k ω t) a k sin (k ω t) ] 324

23 g) Integration: Gilt a = γ = t f(τ) dτ 1 T t f(t) dt T f(t) dt =, so folgt: [ bk k ω cos (k ω t) a k k ω sin (k ω t) ] Satz (1.2.5) (Konvergenzsatz) Sei f : R C T periodisch und stkw. stetig diffb. mit zugehöriger Fourier Reihe F f (t) = a 2 + [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ]. a) Die Reihe konvergiert punktweise. Für alle t R gilt: F f (t) = 1 2 ( f(t + ) + f(t ) ). 325

24 b) In allen kompakten Intervallen [a, b], in denen f stetig ist, ist die Konvergenz gleichmäßig. c) In allen Unstetigkeitstellen überschwingen die Partialsummen S n (t) = a 2 + n [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ] für große n den Sprung um ca. 18% (Gibbs Phänomen) Bemerkung (1.2.6) a) Die Voraussetzung der stückweise stetigen Differenzierbarkeit lässt sich noch weiter abschwächen. Die bloße Stetigkeit der Funktion f reicht jedoch nicht aus, um die Konvergenz der Fourier Reihe gegen f zu garantieren. b) In den Beispielen (1.2.3) gilt stets Gleichheit für alle t R. 326

25 Satz (1.2.7) (Approximationsgüte) a) Approximation im quadratischen Mittel: Sei f : R C eine S n (t) := a 2 + n T periodische, stkw. stetige Funktion und [ a k cos (k ω t) + b k sin (k ω t) ] die Partialsummen der zugehörigen Fourier Reihe. T n := Spann { 1 mit Skalarprodukt u, v = 2 T Für 2, cos(ωt),..., cos(nωt), sin(ωt),..., sin(nωt) u(t) v(t) dt ϕ T n : f S n 2 f ϕ 2, gilt dann: d.h., S n (t) ist von allen Funktionen aus T n die beste Approximation an f im quadratischen Mittel. 327 }

26 b) Besselsche Ungleichung: a n ( ak 2 + b k 2) 2 T f(t) 2 dt. Hieraus folgt insbesondere die Konvergenz von k= a k 2 und b k 2 und damit auch: a k, b k. (Riemannsches Lemma). c) Konvergenzgeschwindigkeit: Ist f : R R/C T periodisch, stückweise (m + 1) fach stetig differenzierbar, und sind die Ableitungen f (k), k < m, stetig auf R, so gibt es eine Konstante C > mit γ k C, k = ±1, ±2,... k m+1 328

27 Bemerkung (1.2.8) Man kann zeigen, dass die Besselsche Ungleichung für in Gleichheit übergeht (Parsevalsche Gleichung): n a ( ak 2 + b k 2) = 2 T f(t) 2 dt. Satz (1.2.9) (Eindeutigkeitssatz) Haben zwei T periodische, stückweise stetige Funktionen f und g dieselben Fourier Koeffizienten, und erfüllen beide die Mittelwerteigenschaft so stimmen sie überein, f = g. t : f(t) = 1 2 (f(t ) + f(t + )), 329