Parametrisierungsinvarianz von Kurvenintegralen.

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1 Prmetrisierungsinvrinz von Kurvenintegrlen. Stz: Ds Kurvenintegrl ist unbhängig von der Prmetrisierung der betrhteten Kurve. Beweis: Für einen Prmeterwehsel h : [α, β] [, b] einer Kurve gilt β d f x) ds f hτ))) dτ hτ)) dτ h α β α b f hτ))) ċhτ)) h τ) dτ f t)) ċt)) dτ f x) ds Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 139 / 148 Beispiel. Betrhte einen krummlinigen mit Msse belegten Drht, beshrieben durh eine C 1 Kurve und mit der inhomogenen) Mssendihte ρ. Für die Gesmtmsse des Drhtes bekommt mn b ρx) ds ρt)) ċt) dt Der Shwerpunkt des Drhtes liegt bei ρx)x ds x S ρx) ds Ds Trägheitsmoment des Drhtes ist gegeben durh θ ρx)r x) ds wobei rx) der Abstnd von der Drehhse ist. Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 14 / 148

2 Kpitel 1. Fourier Anlysis 1.1. Grundlegende Begriffe Definition: Eine Funktion f : R R oder f : R C) heißt periodish mit der Periode T oder T periodish), flls f t + T ) f t) für lle t R. Ziel: Entwiklung einer periodishen Funktion f in eine Fourier Reihe f t) + k1 Grundshwingungen: osωt), sinωt) [ k oskωt) + b k sinkωt)] Obershwingungen: oskωt), sinkωt), k, 3,... Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 141 / 148 Bemerkungen. Ist T eine Periode von f, so ist uh kt, k Z, eine Periode. Sind T 1 und T Perioden, so sind uh k 1 T 1 + k T für k 1, k Z Perioden von f. Existiert eine kleinste positive Periode T > von f, so ist die Menge der Perioden gegeben durh kt, k Z. Jede nihtkonstnte, stetige und periodishe Funktion besitzt eine solhe kleinste Periode. Sind f t) und gt) T periodish, so ist uh αf + βg, α, β R, T periodish. Ist f t) T periodish und integrierbr über kompkten Intervllen), so gilt für beliebige R. T f t) dt +T f t) dt Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 14 / 148

3 Periodishe Fortsetzungen. Definition: Eine Funktion gt), t [, T ] bzw. t [, T /] läßt sih zu einer T periodishen Funktion f : R R wie folgt fortsetzen. Direkte Fortsetzung. f t) : gt kt ), kt t < k + 1)T Gerde Fortsetzung. Sei gt) uf [, T /] gegeben. Dnn setze ) ) k 1 k + 1 f t) : gt kt ), für T t < T wobei g zunähst n der y Ahse gespiegelt wird: gt) : g t), für T t <. Ungerde Fortsetzung. Wie oben, ber Spiegelung m Ursprung: gt) : g t), für T t < Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 143 / 148 Fourier Reihen und trigonometrishe Polynome. Definition: Eine Reihe der Form f t) + [ k oskωt) + b k sinkωt)], k, b k R oder C) k1 heißt Fourier Reihe oder trigonometrishe Reihe). Dbei sei Die zugehörigen Prtilsummen ω π T >. f n t) + [ k oskωt) + b k sinkωt)], k, b k R oder C) k1 der Fourier Reihe heißen trigonometrishe Polynome vom Grd n. Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 144 / 148

4 Komplexe Shreibweise der Fourier Reihe. Es gilt die Eulershe Formel e ix os x + i sin x für lle x R, womit os x 1 e ix + e ix) und sin x 1 i e ix e ix) Dmit lssen sih die trigonometrishen Polynome wie folgt drstellen. f n t) + [ k oskωt) + b k sinkωt)] k1 + k1 + k1 [ k e ikωt + e ikωt) + b k i [ k ib k e ikωt + k + ib k e ikωt e ikωt)] e ikωt ] Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 145 / 148 Komplexe Shreibweise der Fourier Reihe. Somit knn mn die trigonometrishen Polynome shreiben ls f n t) γ k e ikωt k n für t R mit den Koeffizienten γ 1, γ k 1 k ib k ), γ k 1 k + ib k ), womit gilt: γ, k γ k + γ k, b k iγ k γ k ). Für die Drstellung der Fourier Reihe bekommt mn f t) lim n k n γ k e ikωt Wihtige Frge: Konvergiert die Fourier Reihe punktweise oder gleihmäßig)? Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 146 / 148

5 Orthonormlität der Bsisfunktionen. Stz: Die Funktionen e ikωt, k Z, ω π, bilden ein T Orthonormlsystem bezüglih des Sklrprodukts: u, v : 1 T T ut)vt) dt Beweis: Einerseits gilt e ikωt, e ikωt : 1 T T e ikωt e ikωt dt 1 T T dt 1, ndererseits hben wir e ikωt, e ilωt : 1 T T e il k)ωt dt 1 il k)ω eil k)ωt tt t für k l. Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 147 / 148 Berehnung der Fourier Koeffizienten. Stz: Konvergiert die Fourier Reihe lim n k n γ k e ikωt uf [, T ] gleihmäßig gegen eine Funktion f t), so ist f stetig und es gilt: γ k 1 T T f t)e ikωt dt für k Z Beweis: D f n stetig und gleihmäßig gegen f konvergieren, ist f stetig. Weiterhin: T T f t)e ilωt dt γ k e ikωt e ilωt dt k Z k Z γ k T e ikωt e ilωt dt γ l T. Jens Strukmeier Mthemtik, UniHH) Anlysis II für Ingenieure 148 / 148