Anleitung zu Blatt 7, Analysis II

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1 Deprtment Mthemtik der Universität Hmburg Dr. H. P. Kini Anleitung zu Bltt 7, Anlysis II SoSe 1 Kurvenintegrle (1. Art) Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitrbeit während der Vernstltung erleichtern. Ohne die in der Vernstltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlgen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Vorussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig uffllen, werden nur mündlich während der Vernstltung ngesgt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlgen n nderer Stelle ist untersgt! HINWEISE: Für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Donnerstgs- und Freitgsübungen findet die Besprechung von Bltt 7 m Mittwoch d. 14.7, b 14:3 im Rum H16, SBS 95

2 sttt. Gremienmitglieder, die diesen Termin nicht whrnehmen können, weichen bitte uf einen der nderen regulären Übungstermine us. Sprechstunden in der Vorlesungsfreienzeit: oder nch Vereinbrung per e-mil: kini AT mth.uni-hmburg.de dominik.enseleit AT mth.uni-hmburg.de thorben.weiner AT mth.uni-hmburg.de Klusurbertungstermine: Anlysis I: ************ Freitg , Uhr, Audimx II TUHH Ein weiterer Termin im September wird noch beknnt gegeben. Anlysis II: ************ Donnerstg , Uhr, Audimx I TUHH Dienstg , Uhr, Audimx I TUHH

3 Zur Erinnerung: Kurven Kurve: stetige Funktion c : [,b] R n, c(t) = ċ 1 (t) gltte Kurve: ċ(t) = ċ (t).. ċ n (t) Kurvenlänge einer stückweise C 1 -Kurve: b L(c) = 1 ċ(t) dt =: 1 ds. c c 1 (t) c (t). c n (t) 3

4 Neue Definition: Sei c : [,b] D, D R n, Kurve und f : D R eine sklre Abbildung. Dnn ist ds Kurvenintegrl (1.Art) von f über c definiert durch c f ds := c f(x)ds := b f(c(t)) ċ(t) dt = b f(x(t)) ẋ(t) dt. Beispiele: A) Länge: f(c(t)) = 1 = c f ds = Länge der Kurve, B) Msse: f(c(t)) = ρ(c(t)) = Dichte (Msse pro Längeneinheit) = M =: c f ds = b ρ(c(t)) ċ(t) dt = Msse der Kurve (z.b. Drhtstück). 4

5 C) Schwerpunkt: m Mssepunkte in den den Orten x i = c(t i ) mit den Mssen m i hben den Schwerpunkt X s := ( m i=1 m i x i ) / ( m i=1 m i ) Schwerpunkt eines Mssebelegten Drhtes: Approximiere wieder durch Polygonzug, Nimm n: Dichte uf c(t i 1 ),c(t i )] = ρ(c(t i )). Ds Stück [c(t i 1 ),c(t i )] ht dnn die Msse M i ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i 1 ). Konzentriere die Msse M i im Punkt c(t i ) Dnn ht ( mn m Mssepunkte und erhält mit m ) M := M i = Gesmtmsse: i=1 5

6 X s m m M i c(t i ) ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i 1 ) c(t i ) i=1 M X s M m i=1 M i c(t i ) i=1 i=1 M m ρ(c(t i )) c(t i ) c(t i 1 ) c(t i ) m ρ(c(t i ))c(t i ) ċ(t i ) (t i t i 1 ) i=1 Für den Schwerpunkt gilt lso b ρ(c(t))c(t) ċ(t) dt X s = b b ρ(c(t))c(t) ċ(t) dt ρ(c(t)) ċ(t) dt = ρ(x) xds c ρ(x) ds c =: X s. wobei ds Integrl im Zähler komponentenweise usgwertet wird (vgl. Bsp. 1). 6

7 Im R 3 mit der Gesmtmsse M und x(t) = c 1(t) c (t) c 3 (t) X s = x s y s = 1 b ρ(c(t)) c 1(t) c (t) ċ(t) dt M c 3 (t) z s x s = 1 M y s = 1 M z s = 1 M b b b ρ(c(t))c 1 (t) ċ(t) dt ρ(c(t))c (t) ċ(t) dt ρ(c(t))c 3 (t) ċ(t) dt 7

8 B) Trägheitsmoment Rotiert ein Mssepunkt der Msse m im Abstnd r mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse A, so gilt für die kinetische Energie E = 1 mv = 1 mr ω = 1 θ Aω θ A heißt Trägheitsmoment von m bezüglich A: System von k Punkten: θ A = k i=1 m i r i Trägheitsmoment des Mssebelgten Drhtes θ A = c ρ(x)r (x)ds = b ρ(c(t))(r(c(t))) ċ(t) dt. 8

9 BEISPIELE: BEISPIEL 1) Durch c : [,1ln(5)] R 3, c(t) := e1 t (cos(t), sin(t), 1) T sei ein Stück Drht in der Form einer Schrubenlinie vorgegeben. Die Mssendichte (Hier: Msse pro Länge) des Drhtes betrge ρ(c(t)) := e t 5. Berechnen Sie die Länge des Drhtes, den Schwerpunkt des Drhtes und ds Trägheitsmoment bzgl. der z Achse Abbildung 1: Schrubenlinie 9

10 ) Die Länge des Drhtes c(t) = = e t cos(t) 1 sin(t) = ċ(t) = e t e t e1 t 1 cos(t) 1sin(t) sin(t)+1cos(t) 1 e1 t 1 cos(t) e1 t 1 sin(t) + e t 1 1 sin(t)e1 t cos(t)e1 t ċ(t) = e t 1 1 (cos(t) 1sin(t)) +(sin(t)+1cos(t)) +1 L(c) = 1ln(5) e t 1 1 1dt = 1e t 1 1ln(5) =

11 b) Der Schwerpunkt des Drhtes Schwerpunkt Msse = M = = 1ln(5) 1ln(5) ρ(c(t)) ċ(t) dt e t 1 1 1dt = M x s = 1ln(5) ρ(c(t))c 1 (t) ċ(t) dt == 1ln(5) e t t e1 t 5 e1 cos(t) 1 1dt = 1ln(5) cos(t)dt = 1 1 sin(1ln(5)). Anlog erhält mn M y s = 1 1 (1 cos(1ln(5))), M z s = 1ln(5) und dmit 11

12 X s = (x s,y s,z s ) T = 1 sin(1ln(5)) 1 cos(1ln(5)) 8. 1 ln(5) c) Trägheitsmoment bzgl. der z Achse r(t) = c 1 (t) +c (t) = e t 1 θ z Achse = 1ln(5) ρ(c(t)) (r(c(t))) ċ(t) dt = 1ln(5) e t 5 ( ) e1 t t 1 e1 1 dt =

13 BEISPIEL ) Gegeben sei die Funktion f(x,y) = x y+1. Berechnen Sie ds Kurvenintegrl 1. Art von f(x,y) längs einer Kurve, die die Punkte (,) und (1,) in R verbindet. (Klusur /3) f(x) = x y +1, c() = ( ), c(b) = ( ) 1. c(t) := ( ) t, t [,1], = ċ(t) = t ( ) 1 C f ds = 1 f(c(t)) ċ(t) dt = 1 (t t+1) 5dt = [ t 3 3 t +t ] 1 5 = 5 ( ) =

14 Die von einer Kurve überstrichene Fläche F = 1 b (x(t)ẏ(t) y(t)ẋ(t)) dt (krtesisch) F = 1 φ(b) φ() (r(φ)) dφ (polr mit r = r(φ)) Beispiel: Krdioide: (x +y ) x(x +y ) y =. (*) Polrkoordinten: Suche Beziehung zwischen r und φ, wobei x = rcos(φ), y = rsin(φ) gelte. Einsetzen ergibt für r : (r cos (φ)+r sin (φ)) rcos(φ)(r cos (φ)+r sin (φ)) r sin (φ) =. r 4 (cos (φ)+sin (φ)) r 3 cos(φ)(cos (φ)+sin (φ)) r sin (φ) =. 14

15 r rcos(φ) sin (φ) = r rcos(φ) (1 cos (φ)) = r rcos(φ)+cos (φ)) = 1 (r cos(φ)) = 1 r = 1+cos(φ). Bechte : r = 1+cos(φ) kommt nicht in Frge, d r >. Wähle t = φ und definiere c(t) = ( ) r(t)cos(t) r(t) sin(t) = ( ) r(φ)cos(φ) r(φ) sin(φ) = (1+cos(φ)) ( ) cos(φ) sin(φ) = c(φ) Dnn gilt für die überstrichene (hier: eingeschlossene) Fläche F F = 1 π (r(φ)) dφ = π (1+cos(φ)) dφ = π+ π cos(φ)+1 dφ = 3π 15

16 1.5 z=(x. + Y. ). *X.*(X. + Y. ) 1*Y. ; phi =linspce(-pi,pi ); r=1+ cos(phi)); plot(r.*cos(phi),r.*sin(phi));

17 Approximtion periodischer Funktionen Sei f : R R integrierbr und periodisch mit der Periode T >, lso f(t+t) = f(t) t R Definiere T n := { ω = π T g : g(t) = + = Kreisfrequenz und n k=1 ( k cos(kωt) + b k sin(kωt)) k,b k R, Rum ller T periodischen trigonometrischen Polynome vom Grd n mit dem Sklrprodukt } = < f,g > := T T f(t) g(t)dt. und der Norm g := T T (g(t)) dt = < g,g >. 17

18 Dnn bilden die Funktionen { 1, cos(kωt),sin(kωt) : } k N ein ONS (vgl. Aufgbe b) Bltt 4) und die bgeschnittene Fourierreihe von f f n (x) := + n k= ( k cos(kωt) + b k sin(kωt)) mit T k := f(t) cos(kωt)dt, k N T b k := T f(t) sin(kωt)dt, k N. T ist die beste Approximtion für f us T n, dss heißt f f n < f g g T n. 18

19 Zusmmenfssung der Formeln: f : R C integrierbre T periodische Funktion (Reelle) Fourierkoeffizienten k = T T f(t)cos(kωt)dt k N, b k = T T f(t)sin(kωt)dt k N f gerde : b k = k = 4 T T/ f(t)cos(kωt)dt k N f ungerde : k = b k = 4 T T/ f(t)sin(kωt)dt k N Fourierreihe: F f (t) = + k=1 k cos(kωt)+b k sin(kωt) (reell) F f (t) f(t) (= f(t) flls f stetig in t) 19

20 BEISPIEL 1: Fourierreihe der π periodischen Funktion f(x) = cos(4t) + cos(8t). Anstz: D die Funktion gerde ist, fllen die Sinusterme weg. Also : b k = k Wegen ω = π T F f (t) = + = lutet der Anstz k=1 k cos(kωt) = + k=1 k cos(kt) Offensichtlich gilt mit =, = 5, 4 = 1 und k = sonst f(t) = 1+5cos(4t)+cos(8t) = + k=1 k cos(kt)

21 BEISPIEL :) Gegeben sei f(t) = 4t t [, 1 ] 4 4t t [ 1,1] t [1,] gesucht: reelle FR der 4 period. ungerden Fortsetzung Skizze: 1

22 k = T = 4, b k = 4 T T/ d Funktion ungerde!! ω = π T = π f(t)sin(kωt)dt = f(t)sin( t)dt = 1/ 4tsin( t)dt + 1 1/ (4 4t)sin( t)dt = 4 [ t cos( t) ] cos ( t) dt +4 [ (1 t) cos( t) ] ( 4) cos( t) dt 1

23 = 8 ( 1 cos( )) [ sin ( t) ]1 + 8 ( 1 cos( )) 8 4 [ sin ( t) ] 1 1 = 16 () sin( 4 ) 16 () ( sin( ) sin( 4 )) = 16 () ( sin( 4 ) sin( )) D f stetig und stkw. stetig diffb. ist, konvergiert die Fourierreihe gegen f: f(t) = k=1 16 () (sin( 4 ) ) sin( ) sin( t) 3