Mathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer

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1 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Übersicht Ohne Mthe geht es leider nicht... = Mthemtik-Vorlesung Hier: nur schneller Kurzüberblick! Kochrezepte: wie rechne ich... us? wenig Theorie, viel Prxis: Rechentricks Achtung: kum Wert uf mthemtische Exktheit!

2 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Litertur: kurz und knpp Wikipedi: Die freie Enzyklopädie. Recht gutes Nchschlgewerk für Sie ± usreichend (flls nicht usreichend: selbst verbessern!) I. N. Bronstein nd K. A. Semendjjew. Tschenbuch der Mthemtik. BSB B.G. Teubner Verlgsgesellschft, Leipzig. Dickes mthemtisches Nchschlgewerk usgefuchstere Tricks Bibliothek: Mthemtik für Ingenieure Mthemtik für Nturwissenschftler Empfehlungen der Mthevorlesung Physikbücher hben oft kurzen Mtheteil Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt Sklrprodukt Definition Sklrprodukt Ergebnis: Zhl (Sklr) x y := n x i y i = x 1 y x n y n i=1 Physik für Sie: n =, 3 = x yx 1 y 1 + x y (+x 3 y 3 ) Gegeben: = ( 1 ) ; b = ( 3 4 ) Gesucht: c = b Lösung: c = b = x 1 y 1 + x y = = = 11

3 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt Sklrprodukt Rechenregeln x y = y x x ( y + z) = x y + x z x (c y) = c ( x y) Beweis: mit voriger Definition nchrechnen! Betrg von Vektoren Betrg oder Länge des Vektors x: x = x x = x x n }{{} Länge Pythgors Folgt für -D us dem Stz von Pythgors Knn uf 3-D... erweitert werden Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt Sklrprodukt: Winkelberechnung Winkelberechnung cos α = x y x y α: Winkel zwischen den Vektoren x und y (Beweis: Geometrie von Dreiecken; Kosinusstz) Spezilfälle x y: cos α = 0 = x y = 0 x y: cos α = 1 = x y = x y Übungsbltt 3: Vom Atomei zur Golden-Gte-Bridge : Bestimme Winkel zwischen Atomei und Golden-Gte-Brücke Bestimme Entfernung Luftlinie

4 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt us der Physik Arbeit A Einfcher Fll: ortsunbhängige Krft entlng gerdem Weg A = F s = F s cos α Allgemeiner Fll: A := F( r) d r = (Fx dx + F y dy + F z dz ) A = F x ( r) dx + F y ( r) dy + F z ( r) dz Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt Vektorprodukt Vektorprodukt Kreuzprodukt Definition Vektorprodukt z 1 z = z = x y = z 3 Ergebnis: Vektor x 1 x x 3 y 1 y y 3 := x y 3 x 3 y x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y x y 1 Eigenschften Vektorprodukt Rechte-Hnd-Regel z steht senkrecht uf x und senkrecht uf y! z x und z y x y = x y sin θ e

5 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt Vektorprodukt Vektorprodukt Kreuzprodukt Definition Vektorprodukt z 1 z = z = x y = z 3 Ergebnis: Vektor x 1 x x 3 y 1 y y 3 := x y 3 x 3 y x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y x y 1 Eigenschften Vektorprodukt Rechte-Hnd-Regel z steht senkrecht uf x und senkrecht uf y! z x und z y x y = x y sin θ e Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Sklrprodukt Vektorprodukt us der Physik Drehmoment M = d L dt = r F = r F sin θ e sin θ mximl für θ = 90 = M mximl für 90 bei gegebenem r und F

6 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Differentilrechnung Ableitung: Steigung einer Kurve in einem Punkt Definition Ableitung Sekntensteigung = f(x 0 + x) f(x 0 ) = y (x 0 + x) x 0 x Ableitung: f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) := lim = lim x x0 x x 0 h 0 h Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Differentilrechnung Ableitung Ableitung: f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) := lim = lim x x0 x x 0 h 0 h Ableitung ist Steigung der Tngente in einem Punkt us der Physik: Mechnik Zusmmenhng Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ort: (t) = d d v(t) = dt dt s(t)

7 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Summenregel Definition Summenregel f(x) = g(x) + h(x) = f (x 0 ) = g (x 0 ) + h (x 0 ) Vorussetzung: g(x) und h(x) sind beide differenzierbr f(x) = x 4 + x 3 f (x) = 4x 3 + 3x Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Produktregel Vorussetzung: u(x) und v(x) sind beide differenzierbr Vorussetzung: b jetzt weg lssen... Definition Produktregel f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) oder kurz: (uv) = u v + uv f(x) = x sin x = u(x) = x und v(x) = sin x = u (x) = x und v (x) = cos x = f (x) = x sin x + x cos x

8 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Kettenregel Für zusmmengesetzte Funktion : f(x) = x + 1 Definition Kettenregel f(x) = u (v(x)) = f (x) = u (v(x)) v (x) f(x) = x + 1 = u(v) = v und v(x) = x + 1 = u (v) = 1 und v (x) = x v = f 1 (x) = x + 1 x = x x + 1 Anmerkung: bei komplexen Funktionen in Reihe nwenden! (x(t) = sin t einsetzen) Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Prtielle Ableitung Definition Prtielle Ableitung Eine Funktion f(x, y,...) hängt von mehreren Vriblen x, y,... b. Bei der prtiellen Ableitung x f(x, y,...) betrchtet mn lle übrigen Vriblen ls Konstnten. f(x, y) = x + y 3 f(x, y) = x x (y3 f(x, y) = 3 y (x y = const., Ableitung Null) = const., Ableitung Null)

9 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Summenregel Produktregel Kettenregel Prtielle Ableitung Prtielle Ableitung: us der Physik Oft hängt eine Größe von mehreren Vriblen b. Volumen eines Zylinders V(r, h) = πr h = V(r, h) = πr h r = V(r, h) = πr h Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Huptstz Prtielle Integrtion Substitutionsregel Integrlrechnung Definition und Eigenschften Betrchte Fläche unter Kurve Stmmfunktion F der Funktion f: F (x) = f(x) Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung f(x) dx = F(b) F() = [F(x)] b = [F(x)] x= x=b = F(x) b Anschulich x dx: kleines Stück längs der x-achse y = f(x 0 ): Funktionswert n der Stelle x 0 = x y = Flächenelement = summiere lle Elemente dx y: Scheibweise Integrl

10 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Huptstz Prtielle Integrtion Substitutionsregel Prtielle Integrtion Herleitung Produktregel der Differentition: (uv) = u v + uv = u v = (u v) u v Integrieren: u v dx = (u v) dx Mthemtischere Schreibweise: u v dx = u v f(x) g (x) dx = [f(x) g(x)] b u v dx u v dx f (x) g(x) dx Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Huptstz Prtielle Integrtion Substitutionsregel Prtielle Integrtion f(x) g (x) dx = [f(x) g(x)] b f (x) g(x) dx x ln (x) dx Setzt mn f(x) = ln (x) und g (x) = x, so ist f (x) = 1 x und g(x) = x und mn erhält = b ln (b) x ln (x) dx = x ln (x) b b ln () x 4 b = b x 1 }{{ x } x/ ln (b) dx = b ln () 4 + 4

11 Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Huptstz Prtielle Integrtion Substitutionsregel Substitutionsregel Definition f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = }{{} = dϕ(x) dx Hierbei ist t = ϕ(x) und dher dt dx = ϕ (x) ϕ(b) ϕ() f(t) dt Berechne 0 sin(x) dx Substitution: t = ϕ(x) = x = dt = = dt = dx = dt dx = 0 [ = 1/ cos(t) dx sin(x) dx = ] 0 ϕ() 0 sin(t) dt = 1 0 sin(t) dt = = 1/( cos() + cos(0)) = 1/ (1 cos())