Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

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1 Kpitel 4 Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Bemerkung 4. Motivtion. Die Integrtionstheorie wurde im letzten Kpitel recht weit entwickelt. Nun wird ein Werkzeug bereitgestellt, mit welchem mn Integrle uch wirklich berechnen knn. Stz 4.2 Huptstz der Differentil und Integrlrechnung,. Version. Sei f : [,b] R stetig. Dnn ist ds unbestimmte Integrl F : [,b] R, F() := stetig differenzierbr und es gilt F () = f(). f(t) dt Beweis: Seien [, b] und h, so dss + h [, b]. Dnn gilt nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung, Stz 3.45, F( + h) F() = Z +h f(t) dt Z f(t) dt = Z +h f(t) dt = hf(ξ h ), mit ξ h zwischen und + h. Mit h ist ξ h und d f() stetig ist, folgt f(ξ h ) f(). Ds zeigt insbesondere the Eistenz des folgenden Grenzwerts nch Definition der Ableitung. F( + h) F() f() = lim f (ξ h ) = lim = F (), h h h Bemerkung 4.3 Die bloße Riemnn Integrierbrkeit vonf() reichtnichtfürden Huptstz. Mn brucht mehr, etw Stetigkeit von f(). Stz 4.4 Huptstz der Differentil und Integrlrechnung, 2. Version. Seien F : [,b] R differenzierbr und f : [,b] R integrierbr mit F () = f(). Dnn gilt b f() d = F(b) F(). Ist G() eine weitere differenzierbre Funktion mit G () = f(), so eistiert ein c R, so dss für lle [,b] gilt G() = F() + c. 38

2 Beweis: Sei Z : = < <... < k = b irgendeine Zerlegung von [, b]. Dnn gilt (Teleskopsumme, Ziehrmoniksumme) F(b) F() = kx (F( j) F( j )) = j= kx j= F( j) F( j ) j j ( j j ). Nun knn mn die Differenzenquotienten mit Hilfe des Mittelwertstzes der Differentilrechnung umschreiben. Betrchte [ j, j], dnn eisitiert ein ξ j [ j, j], so dss F( j) F( j ) j j = F (ξ j) = f(ξ j). Mit den Stützpunkten ξ = (ξ,..., ξ k ) erhält mn lso F(b) F() = σ(f, Z, ξ). Mit δ(z) liefertstz3.32ufgrundder vorusgesetztenriemnn Integrbilitätvon f() F(b) F() = Z b f() d. Die Eindeutigkeit der Stmmfunktion bis uf eine dditive Konstnte ergibt sich us (F G) () = f() f() =. In Anlysis I wurde gezeigt, dss nur bei konstnten Funktionen die Ableitung verschwindet (Folgerung us dem Mittelwertstzder Differentilrechnung). Also ist (F G)() = c. Definition 4.5 Stmmfunktion, unbestimmtes Integrl. Sei f : [,b] R Riemnn integrierbr. Dnnnenntmnjededifferenzierbre FunktionF : [,b] R Stmmfunktion von f(). Unter dem unbestimmten Integrl von f() versteht mn uch f() d = {F : [,b] R, F() ist Stmmfunktion von f()} und schreibt l f() d = F() + c, c R, wobei F() eine Stmmfunktion von f() ist. Beispiel 4.6 Beispiele von unbestimmten Integrlen. Für F() = ep( 2 ) ist F () = 2ep( 2 ), lso gilt e 2 d = 2 ep(2 ) + c. Nch dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung folgt insbesondere ( ( )) e 2 d = 2 ep(2 ) + c 2 ep(2 ) + c = (e ). 2 Die Funktion F() ist nicht elementr integrierbr. Es gilt sin tn d = d = ln( cos ) + c, cos Liste von Grundintegrlen: ( k + ) π, k Z. 2 39

3 n d = n + n+ + c, n, d = ln + c,, sin d = cos + c, cos d = sin + c, tn d = ln cos + c, cos, 2k+ cos 2 d = tn + c, 2 π,k Z, e d = e + c,, ln d = (ln ) + c, >, d 2 = rcsin + c, <, 2 d = ln c, >, 2 + d = ln c, d = rctn + c, d = 2 ln + + c,. Die Richtigkeit dieser Formel knn mn einfch durch Differentition der Stmmfunktion überprüfen. Weitere Beispiele findet mn in Formelsmmlungen, zum Beispiel im Bronstein u.. Tschenbuch der Mthemtik. Beim Integrieren knn mn sich leicht verrechnen. Drum führt mn immer die Probe us, indem mn die berechnete Stmmfunktion differenziert! Bemerkung 4.7 Integrtion rtionler Funktionen. Bei der Integrtion (echter) rtionler Funktionen ist die Herngehensweise reltiv klr. Mit Hilfe einer Prtilbruchzerlegung wird ds Integrl uf eine Summe von Integrlen mit lineren und qudrtischen Termen im Nenner zurückgeführt. Dnn knn mn für die einzelnenterme Stmmfunktionenfinden, die LogrithmenoderdenArcustngens enthlten. Beispiel 4.8 Integrtion rtionler Funktionen. Betrchte d. Zunächst muss mn die Nullstellen des Nenners berechnen. Mn erhält = 2, = 3, worus die Fktorisierung = ( 2)( 3) folgt. Ds führt zu folgendem Anstz = A 2 + B A( 3) + B( 2) = = 3 ( 2)( 3) (A + B) + ( 3A 2B) Die unbeknntenkoeffizientena, B knnmndurchkoeffizientenvergleich bestimmen A + B =, 3A 2B = = B =,A =. 4

4 Mn ht lso ein lineres Gleichungssystem zu lösen. Dmit folgt 2 = = d = 2 d + 3 d = ln 2 + ln 3 + c = ln c {2,3}. Stz 4.9 Prtielle Integrtion. Seien f,g : [,b] R stetig differenzierbr, dnn gilt b f ()g() d = (f()g()) =b = f(b)g(b) f()g() b f()g () d. Beweis: Ds Produkt (fg)() ist stetigdifferenzierbr undnch der Produktregel gilt (fg) () = f ()g() + f()g (). Die rechte Seite ist in [, b] stetig, insbesondere nch Stz3.27 Riemnn integrierbr. Nch Stz 4.4 ist (fg)() die Stmmfunktion von f ()g() + f()g () und es gilt Z b f ()g() d + Z b f()g () d = f(b)g(b) f()g(). Beispiel 4. Prtielle Integrtion. e d = e g f ln d = sin 2 d = f g ln g f g d = ln e f d = e e + c. d = ln + c. sin sin d = sin( cos ) + cos 2 d g f = sincos + ( sin 2 ) d Mn bringt nun ds Integrl mit sin 2 uf die linke Seite und erhält 2 sin 2 d = sincos + d = sin 2 d = 2 sincos c. 4

5 Hierbei hndelt es sich um einen unngenehmen Grundtyp von rtionlen Funktionen. Sei k N, k > : ( 2 + ) k d = = = + 2 ( 2 + ) k d ( 2 d + ) k [ (k )( 2 + ) k 2 2 ( 2 + ) k 2 d ( 2 + ) k d + 2(k )( 2 + ) k 2(k ) ( 2 d + ) k = 2k 3 2k 2 ] (k )( 2 + ) k 2 d ( 2 + ) k d + 2(k )( 2 + ) k. Auf diese Art und Weise knn mn sich im Prinzip bis uf k = herunterhngeln. D ht mn dnn ds Grundintegrl + 2 d = rctn + c. Stz 4. Substitutionsregel. Seien f : [c,d] R stetigund ϕ : [,b] [c,d] stetig differenzierbr. Dnn gilt ϕ(b) ϕ() f(y) dy = b f(ϕ())ϕ () d. Beweis: Sei F : [c, d] R eine Stmmfunktion von f(). Diese gibt es uf Grund der n f() vorusgesetzten Stetigkeit. Dnn folgt mit Kettenregel (F ϕ) () = F (ϕ())ϕ () = f(ϕ())ϕ (). Dmitist (F ϕ)()die Stmmfunktionfür die rechteseiteder Substitutionsregel. Zweimlige Anwendungdes Huptstzes der Differentil undintegrlrechnung, Stz4.4, liefert Z b f(ϕ())ϕ () d = (F ϕ) b = F ϕ(b) ϕ() = Z ϕ(b) ϕ() f(y) dy. Bemerkung 4.2 Zu den Integrtionsregeln. Für die Regel der prtiellen Integrtion und die Substitutionsregel gibt es uch Versionen für unbestimmte Integrle, siehe in den Beispielen. FürdieSubstitutionsregelist keinestrengemonotonie (Bijektivität) vonϕ() erforderlich. Bei streng monotonem (bijektivem) ϕ() knn mn mittels Riemnnscher Summen die Substitutionsregel uch für lediglich integrierbres f() zeigen. 42

6 Beispiel 4.3 Substitutionsregel. Mnchml ist reltiv klr, wie mn substituieren muss, oft ist dies ber nicht der Fll. D hilft dnn nur probieren oder in entsprechenden Fchbüchern nchschlgen. Betrchte e d. Hier substituiert mn z =. Dnn berechnet mn forml dz d = 2 = 2z = d = 2z dz. Nun knn mn im ursprünglichen Integrl lle Terme substituieren e d = e z Bsp. 4. e 2z dz = 2(ze z e z ) + c = 2( e ) + c. Die Rücksubstitution m Ende nicht vergessen! Betrchte 2 d. Ds ist die Fläche unter dem hlben Einheitskreis oberhlb der Achse. Die geeignete Substitution für dieses Integrl ist = cos z = d = sinz = d = sinz dz. dz Mnerhält, wobeimndie SubstitutionindenIntegrtionsgrenzenbechten muss, z= 2 d = cos2 z ( sinz) dz = = z= π π π sin 2 z sinz dz = ( sinz) sinz dz = Bsp. 4. = 2 sinz cos z + 2 z π π π sinz sinz dz sin 2 z dz ( = + π ) = π 2 2. Alterntiv ist es uch möglich, ds Integrl unbestimmt zu berechnen, mit Rücksubstitution, und dnn den Huptstz der Differentil und Integrlrechnung mit den Integrtionsgrenzen für nzuwenden. Bemerkung 4.4 Zur Integrtion. Eplizites Integrieren, ls Umkehropertion zur Differentition, ist eine Kunst. Vom numerischen ls uch vom theoretischen Stndpunkt ist die Integrtion jedoch des Einfchere. Nicht lle Integrle lssen sich nlytisch lösen, obwohl sie zum Teil einfch ussehen, beispielsweise e t2 dt. Dieses Integrl ist jedoch so wichtig, dss mn dfür eine eigene Funktion definiert ht, die sogennnte Fehlerfunktion erf(). Diese Funktion ist tbelliert, beziehungsweise numerisch pproimierbr. 43

7 Kpitel 5 Uneigentliche Integrle Bemerkung 5. Motivtion. In Anwendungen können Integrle vorkommen, bei denen über ein unendliches Intervll integriert wird, f() d, b f() d, f() d, oder bei denen unbeschränkte Funktionen integriert werden, d. Solche Integrle heißen uneigentliche Integrle. Es stellt sich nun die Frge, unter welchenbedingungendieberechnungsolcherintegrle möglichist. Ds heißt, unter welchen Bedingungen ist der Wert dieser Integrle eine reelle Zhl. Definition 5.2 Uneigentlich Riemnn integrierbre Funktion. Eine Funktion f : [, ) R heißt uneigentlich Riemnn integrierbr uf [, ), flls für jedes b > die Einschränkung f() [,b] Riemnn integrierbr ist und flls bk lim f() d b k für jede Folge mit {b k } eisitiert. Entsprechend definiert mn diese Eigenschft für f : (,b] R. Ist f : (,b] R für jedes ε (,b ) uf [ + ε, b] Riemnn integrierbr und eistiert b lim f() d ε k + +ε k für jede Folge {ε k } +, so nennt mn f() uf (,b] uneigentlich Riemnn integrierbr. Mn setzt b b f() d = lim f() d. ε + +ε Entsprechend definiert mn dies für Funktionen [,b) R. Ist schließlich f : (,b) R, so nennt mn f() uf (,b) uneigentlich Riemnn integrierbr, flls für ein c (,b) sowohl f() (,c] ls uch f() [c,b) uneigentlich Riemnn integrierbr sind. In diesem Fll setzt mn b f() d = c f() d + b c f() d. 44

8 Mnsgtuch, die uneigentlichenintegrle konvergierenbeziehungsweise divergieren. Bemerkung 5.3 ZumFll f : (,b) R. Gibtes einc (,b) mitderinderdefinitionerwähnten Eigenschft, sogilt diese Eigenschftfürlle c (,b). Angenommen, sie gelte (o.b.d.a.) für c < d < b nicht und sei beispielsweise f() (,d] nicht uneigentlich Riemnn integrierbr. D f() (,c] uneigentlich Riemnn integrierbr ist, ist demzufolge f() (c,d] nicht uneigentlich Riemnn integrierbr. Nch Vorussetzung ist jedoch f() [c,b) uneigentlich Riemnn integrierbr. Nch Definition muss dmit f() [c,d] Riemnn integrierbr sein. Demzufolge knn es solch einen Punkt d nicht geben. Beispiel 5.4 Unbeschränktes Integrtionsgebiet. Betrchte s d mit s >. Zur Bentwortung der Frge, für welche Prmeter dieses uneigentliche Integrl konvergiert, betrchtet mn für b > und s b Für s > gilt worus s d = b s d = s lim b folgt. Für < s < gilt jedoch lim b s =, bs b s d = s = lim bs b b s =, = ( ) s b s. ds Integrl divergiert. Es divergiert uch für s =, d die Stmmfunktion in diesem Fll ln() ist. Der Integrnd in diesem Beispiel ist in Abbildung 5. drgestellt. Betrchte d = lim + 2 b b = lim rctn b b ( = π 2 d lim b ) + π 2 = π. b d + 2 b + lim rctn b Beispiel 5.5 Unbeschränkte Integrnden. Betrchte die Konvergenz von für s >. Es gilt für s ε s d = s s s d ε = ( ε s ). s 45

9 Abbildung 5.: Integrnd im Beispiel 5.4. Drus folgt die Konvergenz für s < und die Divergenz für s > wegen { für < s <, lim ε ε s = für s >. Für s = gilt lso Divergenz. d = lim ε ε d = lim ε ln() ε = lim ε ln(ε) =, Stz 5.6 Cuchy Kriterium für uneigentliche Integrle. Sei f : [, ) R integrierbr uf jedem endlichen Intervll [,b]. Dnn eistiert ds Integrl genu dnn wenn ε > C > : z2 z f() d f() d < ε z,z 2 > C, im Unendlichen muss ds bestimmte Integrl beliebig klein werden. Beweis: Setze F(z) = R z f() d. Nch Vorussetzung ist diese Funktion wohldefiniert. Der Grenzwert lim z F(z) eistiert genu dnn, wenn für jede Folge {z k } und für jedes vorgegebene ε > ein Inde k eistiert, so dss F(z k ) F(z l ) < ε k, l > k, wobei z k, z l z k sind. Ds ist ds Cuchysche Konvergenzkriterium für Zhlenfolgen. Die obige Ungleichung ist äquivlent zu Z zk Z zl Z f() d f() d = zk f() d < ε k, l > k oder z k, z l z k. Wähle C = z k. D die Zhlenfolge beliebig ist, folgt dmit die Aussge des Stzes. z l 46

10 Beispiel 5.7 Cuchy Kriterium für uneigentliche Integrle. Betrchte ds uneigentliche Integrl sin d. Für < z < z 2 erhält mn mit prtieller Integrtion z2 sin d = cos =z2 z2 cos =z 2 d. z Schätzt mn den Betrg des Kosinus nch oben b, erhält mn z2 sin d + z2 + z z 2 z 2 d = + + = 2. z z 2 z 2 z z z Dieser Wert ist kleiner ls jedes vorgegebene ε >, sofern z hinreichend groß ist. Also konvergiert ds uneigentliche Integrl. z Stz 5.8 Mjorntenkriterium. Sei < b und sei g : (,b) R uneigentlich integrierbr. Sei f : (,b) R so, dss für lle < ã < b < b die Einschränkung f() [ã, b] Riemnn integrierbr ist und dss für lle (,b) gilt f() g(). Dnn sind uch f() und f() uf (,b) uneigentlich Riemnn integrierbr und es gilt b b b f() d f() d g() d. Beweis: Es wird beispielhft der Fll R, b = betrchtet. Sei {b k } eine beliebige Folge. Dnn muss gezeigt werden, dss Z bk f() d, Z bk f() d konvergieren. Zur Konvergenz wird ds Cuchy Kriterium genutzt. Sei ε > gegeben. Dnn eistiert, d g() uneigentlich integrierbr ist, ein k, so dss für lle k, l k mit b k < b l gilt Z bl b k g() d < ε. Aus der Dreiecksungleichung, Stz 3.43, und der Monotonie des Riemnn Integrls, Stz 3.35, ergibt sich Z bl Z bl Z bl f() d f() d g() d < ε. b k b k b k Dmit folgt die Konvergenz. Der Grenzwert ist eindeutig. Sei etw für eine ndere Folge {c k } der Grenzwert nders ls für {b k }. Dnn zeigt mn die Konvergenz für die zusmmengesetzte Folge {b k, c k } =: {d l } genuso wie oben (Reißverschlussprinzip). D ber eine konvergente Folge einen eindeutigen Grenzwert besitzt, können die Grenzwerte für die Teilfolgen {b k } und {c k } nicht unterschiedlich sein. Beispiel 5.9 Mjorntenkriterium. Beispiel 5.4 und ds Mjorntenkriterium zeigen, dss für s > folgende Integrle eistieren: cos s d, sin s d, cos s d, sin s d. 47

11 Sei nun s >. Dnn folgt mit prtieller Integrtion b sin s d = cos =b s b cos d. = s s+ Der erste Term uf der rechten Seite konvergiert für b gegen Null, d derzählerbeschränktist und dernennerunbeschränktwächst. D s+> ist, konvergiert ds Integrl uf der rechten Seite nch dem ersten Teil des Beispiels. Mit erheblichem Aufwnd lässt sich zeigen, dss für s (,] nicht konvergiert. b sin s d Bemerkung 5. Unterschiede zu bestimmten Integrlen. Bei uneigentlichen Integrlen werden viele Teile von Stz 3.39 flsch. Insbesondere sind im llgemeinen mit f() und g() nicht uch f(), f + (), f (), (fg)() und /f() uneigentlich Riemnn integrierbr. Stz 5. Integrlvergleichskriterium. Sei f : [, ) (, ) monoton fllend. Dnn konvergiert k= f(k) genu dnn, wenn f() d ls uneigentliches Riemnn Integrl eistiert. Beweis: = Sei ε > gegeben. Dnn knn mn ein K so bestimmen, dss für lle K K L gilt (Cuchy Konvergenzkriterium für Reihen) LX f(k) ε. k=k Hierbei nutzt mn die Positivität von f(). Für lle K b gilt dnn Z b f() d Z [b]+ K f() d, wobei wieder f() > genutzt wurde unf [b] der gnzzhlige Anteil von b ist. Aufspltung in Teilintervlle und Monotonie von f() ergeben [b] X k=k Z k+ k f() d [b] X k=k f(k) ε. Ds Cuchy Kriterium, Stz 5.6, zeigt die Konvergenz des uneigentlichen Riemnn Integrls. = Sei ε >, dnn eistiert nch dem Cuchy Kriterium ein, dss für lle < b gilt Z b Sei K +, dnn gilt für lle K L K LX f(k) k=k LX k=k Z k k f() d ε. f() d = Z L K f() d ε. InderAbschätzung wurde die Monotonie vonf()verwendet. Ds Cuchy Kriterium für Reihen zeigt die Konvergenz der Reihe. 48

12 Beispiel 5.2 Integrlvergleichskriterium. Aus Beispiel 5.4 erhält mn, dss die Reihe ζ(s) = n s, s >, n= genu dnn konvergiert, wenn s > ist. Diese Reihe wird uch Riemnnsche Zetfunktion gennnt. Beispiel 5.3 Gmm Funktion. Diese Funktion wurde von Leonhrd Euler untersucht. Sie ist definiert durch Γ() := e t t dt für >. Die Untersuchung der Konvergenz dieses Integrl beinhltet beide Schwierigkeiten, die bei uneigentlichen Integrlen uftreten können: Für < < divergiert der Integrnd in t =. Die obere Integrtionsgrenze ist. Mn spltet dher uf Γ() = e t t dt + und behndelt beide Probleme getrennt. Betrchte e t t dt für < <. Wegen e t t t e t t dt ht dieses Integrl nch Beispiel 5.5 die konvergente Mjornte Betrchte nun e t t dt. Es eistiert ein c > mit e t t c t 2 t + ce t, t dt. d die Eponentilfunktion schneller wächst ls jede Potenzfunktion. Somit ist c t 2 nch Beispiel 5.4, eine konvergente Mjornte. Also eistiert Γ() für lle >, siehe Abbildung 5.2. Abbildung 5.2: Die Gmm Funktion. Zwei wichtige Eigenschften der Gmm Funktion sind 49

13 Γ() = Γ() = e t t u = Γ( + ), e t dt = e t = + =. t= dt = e t t + v t= e t t dt lso Γ() = Γ( + ). Durch Induktion findet mn, dss wegen dieser beiden Eigenschften die Gmmfunktion die Fkultät interpoliert. Γ(n + ) = n! 5