6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral

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1 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine Funktion. Ziel: Berechnung der Fläche A, die vom Grphen der Funktion f, der x-achse und den senkrechten Gerden x = und x = b eingeschlossen wird. Lösungsidee: Mthemtik für Chemiker

2 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Approximtion durch Rechtecke Wir pproximieren die Fläche folgendermßen durch Rechtecke: Wir zerlegen [, b] in n Teilintervlle: Hierzu wählen wir x 0, x,..., x n mit = x 0 < x < x 2 <... < x n = b. Z = (x 0, x, x 2,..., x n ) heißt Zerlegung von [, b]. 2 Wir wählen us jedem Teilintervll [x i, x i ] eine Zwischenstelle ξ i [x i, x i ]. 3 Wir betrchten die Rechtecke mit Grundfläche [x i, x i ] und Höhe f (ξ i ). Mthemtik für Chemiker Riemnnsummen 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Eine Näherung für die Gesmtfläche ist die Riemnnsumme S(Z, ξ) = n f (ξ i )(x i x i ). i= Mn betrchtet nun immer feinere Zerlegungen. Dbei versteht mn unter der Feinheit l(z ) einer Zerlegung Z die Länge des größten Teilintervlls, d.h. l(z ) = mx i=,...,n (x i x i ). Mthemtik für Chemiker

3 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Ds Riemnn-Integrl Definition 6. Sei f : [, b] R beschränkt. Dnn heißt f über [, b] integrierbr, wenn für jede Folge von Zerlegungen Z n von [, b] mit l(z n ) 0 und beliebiger Whl von Zwischenstellen ξ n i, die Folge der Riemnnsummen S(Z n, ξ n ) stets konvergent ist und immer denselben Grenzwert besitzt. Dieser Grenzwert heißt ds (Riemnn-)Integrl von f über [, b] und wird mit bezeichnet. f (x) dx Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Integrierbrkeit und Stetigkeit Der folgende Stz gibt eine wichtige hinreichende Bedingung für die Integrierbrkeit. Stz 6.2 Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist f über [, b] integrierbr. Wenn bereits beknnt ist, dss f uf [, b] integrierbr ist, können zur Berechnung von f (x) dx möglichst günstige Zerlegungen und Zwischenstellen verwendet werden. Beispiele x 2 dx dx x Mthemtik für Chemiker

4 Rechenregeln 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Stz 6.4 Seien f und g uf [, b] integrierbr. Dnn gilt 2 f (x) dx = c ( αf (x) + βg(x) für α, β R f (x) dx + ) dx = α c 3 Aus f (x) g(x) uf [, b] folgt 4 f (x) dx f (x) dx f (x) dx für c (, b) f (x) dx + β f (x) dx g(x) dx g(x) dx Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Berechnung von Flächeninhlten Sei f : [, b] R integrierbr und A die Fläche, die vom Grphen von f, der x-achse und den Gerden x = und x = b begrenzt wird. Ist f (x) 0 uf [, b], so ist A = Ist f (x) 0 uf [, b], so ist A = Allgemein gilt f (x) dx = A + A, wobei f (x) dx. f (x) dx. A + = Flächeninhlt der Bereiche oberhlb der x-achse, A = Flächeninhlt der Bereiche unterhlb der x-achse. Mthemtik für Chemiker

5 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mittelwertstz der Integrlrechnung Stz 6.5 Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (x) dx = f (ξ)(b ). Geometrische Bedeutung: Die Fläche zwischen der x-achse und der Kurve y = f (x) (im Bereich x b) ist gleich der Rechtecksfläche über [, b] mit der Höhe f (ξ) für eine Stelle ξ (, b). Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Stz 6.6 Sei f : [, b] R stetig, x 0 [, b] beliebig und F(x) := x x 0 f (t) dt für x [, b]. Dnn ist F differenzierbr und es gilt F (x) = f (x) für x [, b]. 2 Sei F : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion mit F (x) = f (x) für x [, b]. Dnn gilt Beispiel e x dx f (x) dx = F(b) F() =: F(x) b Mthemtik für Chemiker

6 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Stmmfunktion und unbestimmtes Integrl Definition 6.8 Eine differenzierbre Funktion F mit F (x) = f (x) uf [, b] heißt Stmmfunktion von f. Sind F und G zwei Stmmfunktionen von f, so gilt (F G) = 0, lso G(x) = F(x) + c mit einer Konstnte c R. Eine Stmmfunktion von f nennt mn uch unbestimmtes Integrl von f und schreibt dfür f (x) dx. Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Wichtige Stmmfunktionen Es seien c R und r R \ { }. f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx 0 c sinh(x) cosh(x) + c x r r+ x r+ + c cosh(x) sinh(x) + c x ln x + c rctn(x) + c +x 2 + c e x e x + c x 2 2 ln +x x ln(x) x ln(x) x + c rsinh(x) +x 2 + c sin(x) cos(x) + c x 2 rcsin(x) + c cos(x) sin(x) + c x 2 ln x + x 2 + c Mthemtik für Chemiker