Integration von Funktionen einer Variablen

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1 Integrtion von Funktionen einer Vriblen Ds Riemnnintegrl Motivtion: Wie knn mn den Weg w berechnen, den ein Fhrzeug zwischen den Zeitpunkten und b zurückgelegt ht, wenn mn seine Geschwindigkeit v(t) für t b kennt? Flls v(t) v konstnt ist, einfch zu w = v(b ). Flls die Geschwindigkeit v(t) zeitbhängig ist, knn mn die Zeitchse in kurze Teilintervlle zerlegen: = t < t < t 2 <... < t n = b. Wählt mn jeweils Zwischenpunkte τ j [t j, t j ] und ist v eine stetige Funktion der Zeit, so gilt näherungsweise v(t) v(τ j ) für t [t j, t j ] und zwr umso genuer, je kürzer [t j, t j ]. Der zurückgelegte Weg im kurzen Zeitintervll ist dnn ungefähr gleich w j v(τ j )(t j t j ). Der Gesmtweg zwischen Zeitpunkt und Zeitpunkt b ist dnn w = v(τ j )(t j t j ). j= w j j= Lässt mn nun die Zeitintervlle [t j, t j ] gegen Null gehen, so sollte im Grenzwert der ttsächliche Wert w für den Weg heruskommen. In ähnlicher Weise knn mn die Fläche unter einem Funktionsgrphen y = f(x) durch feiner und feiner werdende Rechtecke zu pproximieren versuchen: Die ttsächliche Fläche sollte sich ls Grenzwert der Rechtecksflächensummen ergeben: F f(ξ j )( ). j=

2 Ds Riemnnintegrl: Gegeben sei ein Intervll [, b] und eine Funktion f = [, b] R. Wir nehmen Punkte = x < x < x 2 <... < x n < x n = b. Die Intervlle [x, x ], [x, x 2 ],..., [x n, x n ] bilden eine Zerlegung Z des Intervlls [, b]. Ihre Feinheit Φ(Z) ist die Länge des größten Teilintervlls: Φ(Z) = mx. j=,...,n Wählt mn beliebige Zwischenpunkte ξ j [, ], so nennt mn S = f(ξ j )( ) j= eine Riemnnsumme. Um die Idee des Grenzübergnges oben zu präzisieren, nehmen wir eine Folge Z, Z 2, Z 3,... von Zerlegungen, deren Feinheit Φ(Z N ) geht für N, und zugehörige Riemnnsummen S N. Definition: Eine Funktion f heißt uf [, b] Riemnn-integrierbr, flls für beliebige Folgen von Zerlegungen (Z N ) N mit Φ(Z N ) die zugehörigen Riemnnsummen (S N ) N gegen denselben Grenzwert I(f) streben. Dieser Grenzwert heißt ds bestimmte Integrl von f uf [, b]. In den einleitenden Beispielen ist folglich: I(f) = f(x) dx Fläche unter Kurve... F = Gesmtweg... w = f(x) dx; v(t) dt. Beispiel : () f(x) = c = konstnt. Dnn ist die Fläche unter dem Funktionsgrphen die Rechtecksfläche c(b ). Vergleichen wir mit einer Riemnnsumme f(ξ )(x x ) + f(ξ 2 )(x 2 x ) f(ξ n )(x n x n ) = c(x x + x 2 x x n x n ) = c(x n x ) = c(b ). Alle Riemnnsummen sind gleich und es gilt ttsächlich c dx = c(b ). (b) f(x) = x ist uf [, ] nicht integrierbr: Jede Riemnnsumme ist von der Form (x ) + (x 2 x ) (x n x n ). ξ ξ 2 ξ n Indem mn ξ nhe bei wählt, knn jede Riemnnsumme beliebig groß gemcht werden, lso existiert der Grenzwert der Riemnnsummen nicht. 2

3 (c) Die Dirichletsche Sprungfunktion f(x) = {, x Q, x Q ist uf [, ] nicht integrierbr: Die Riemnnsummen sind von der Form S N = f(ξ )(x x ) f(ξ n )(x n x n ). Flls lle ξ j Q sind, so ist S N =. Nimmt mn lle ξ j Q, so ist S N =, der Grenzwert lso nicht unbhängig von der Whl der Zwischenpunkte ξ j. Stz: () Riemnn-integrierbre Funktionen f:[, b] R sind notwendigerweise beschränkt. (b) Ist f beschränkt und monoton wchsend oder monoton fllend, so ist f Riemnn-integrierbr uf [, b]. (c) Jede uf dem Intervll [, b] stückweise stetige Funktion f ist Riemnn- integrierbr. Dbei heißt eine Funktion stückweise stetig, wenn sie stetig ist bis uf endlich viele Sprungstellen und überdies ihr Grph in jeder Sprungstelle einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt. Bemerkung: Nimmt mn äquidistnte Stützstellen = x < x <... < x n < x n = b für die Zerlegungen, lso =: x = b n, so schreiben sich die Riemnnsummen S N = f(ξ j ) x. j= Der Übergng x bei gleichzeitiger Vergrößerung der Anzhl der Summnden ins Kontinuierliche legt die Schreibweise f(x) dx nhe. Ursprünglich wurde sie von G. Leibniz durchus mit der Interprettion einer unendlichen Summe über unendlich schmle Rechtecke der Breite dx eingeführt. Diese Interprettion knn heute im Rhmen der Nichtstndrd-Anlysis präzise gerechtfertigt werden. Eigenschften des Integrls. Im Folgenden sei < b und f, g Riemnn-integrierbr uf [, b]. () Positivität: f uf [, b] f uf [, b] f(x)dx, f(x)dx. 3

4 (b) Monotonie: Insbesondere gilt mit die Ungleichung (c) Summe und konstnter Fktor: f g uf [, b] m = f(x)dx inf f(x), M = sup f(x) x [,b] x [,b] m(b ) f(x)dx M(b ). ( ) b f(x) + g(x) dx = f(x)dx + λf(x)dx = λ f(x)dx g(x)dx. g(x)dx (λ R). (d) Zerlegung des Integrtionsbereichs: Es sei zunächst < b < c und f integrierbr uf [, c]. Dnn gilt Definiert mn f(x)dx + f(x)dx =, c b f(x)dx = b c f(x)dx = f(x)dx. f(x)dx, so erhält mn die Gültigkeit der Summenformel sogr für beliebige, b, c R, wenn f uf den jeweiligen Bereichen integrierbr ist. Beweis: Alle Begründungen ergeben sich leicht durch Hinschreiben der Riemnnsummen. Bemerkungen: () zeigt, dss die Interprettion ls Fläche unter dem Funktionsgrphen nur getreu ist, wenn f ist. Die Interprettion mittels Weg ls Integrl der Geschwindigkeit ist uch für negtive Geschwindigkeiten bzw. Wege sinnvoll (Richtungsänderung). Punkt (d) ist vor llem wichtig für die Integrtion stückweise stetiger Funktionen: Ds Integrl ergibt sich ls Summe über die Teilintegrle. Die Summenfunktion: Wählt mn die obere Grenze des Integrtionsbereiches selbst ls Vrible, so erhält mn eine neue Funktion F (x), die Summenfunktion zu f(x): F (x) = x f(t) dt. 4

5 In der Flächeninterprettion ist F (x) die Fläche unter dem Funktionsgrphen über dem Intervll [, x]. Huptsätze der Integrlrechnung: Sei f stetig uf [, b]. Dnn gilt: () (. Huptstz:) Ist G eine Stmmfunktion von f, so ist f(x) dx = G(b) G(). (b) (2. Huptstz:) Die Summenfunktion F ist eine Stmmfunktion von f, d.h. ( x f(t) dt) = f(x). Zum Beweis verweisen wir etw uf die unten ngegebene Litertur. Anwendungen des ersten Huptstzes: Die wichtigste Anwendung besteht in der Berechnung von f(x)dx. Mn ermittle dzu eine Stmmfunktion F (x), etw ls unbestimmtes Integrl, und setze ein: Es gilt zum Beispiel: 3 f(x)dx = F (x) x 2 dx = x3 3 x=b x= x=3 x= = F (b) F (). = = Anwendungen des zweiten Huptstzes: Diese sind oft theoretischer Ntur, wie die Beschreibung des Zusmmenhngs Weg-Geschwindigkeit, w(t) = w() + t v(s)ds, w (t) = v(t), wobei w(t) den bis zum Zeitpunkt t zurückgelegten Weg und v(t) die Momentngeschwindigkeit bezeichnet; oder ber numerischer Ntur: x e y2 dy ist eine Stmmfunktion von e x2. Die Auswertung eines derrtigen Integrls knn näherungsweise mittels numerischen Integrtionsmethoden erfolgen (siehe unten). Näherungsweise Berechnung des Integrls: Riemnnsummen sind geeignet, eine Näherung n den Wert des Integrls zu berechnen, wobei die Genuigkeit mit zunehmender Feinheit der Zerlegung = x < x < x 2 <... < x n < x n = b. größer wird. In diesem Zusmmenhng werden die Zwischenpunkte ξ j oft in spezieller Weise gewählt: ls linker oder rechter Endpunkt des Intervlls [, ] oder ls Mittelpunkt. Wählt mn bei stetigem f die Zwischenpunkte ξ j so, dss der Funktionswert f(ξ j ) gleich dem kleinsten bzw. größten Wert von f im Teilintervll ist, genuer f(ξ j ) = inf{f(x) : x [, ]} bzw. f( ξ j ) = sup{f(x) : x [, ]}, 5

6 so erhält mn eine so gennnte Untersumme U bzw. Obersumme O zum Integrl. Die Unter- und Obersummen ergeben Schrnken für den Wert des Integrls: U f(x) dx O, welche mit wchsender Feinheit der Zerlegung immer enger werden. Für eine effiziente numerische Approximtion des Integrls stellen llerdings Riemnnsummen nicht die beste Möglichkeit dr, es gibt rscher konvergente Methoden, die im nächsten Abschnitt diskutiert werden. 2 Numerische Integrtion Motiviert durch den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung bietet sich folgende Vorgngsweise zur Berechnung von bestimmten Integrlen n: Mn sucht zunächst eine Stmmfunktion F des Integrnden f und bestimmt drus den Wert des Integrls f(x) dx = F (b) F (). In der Prxis ist es ber oft unmöglich, eine betreffende Stmmfunktion F ls Kombintion einfcher Funktionen zu finden. Abgesehen dvon können Stmmfunktionen uch recht komplex sein, wie beispielsweise x sin x dx. Schließlich ist in konkreten Anwendungen der Integrnd oft nur numerisch und nicht durch eine explizite Formel gegeben. In ll diesen Fällen greift mn uf numerische Verfhren zurück. Zur numerischen Berechnung von f(x) dx zerlegen wir ds Integrtionsintervll [, b] zunächst in Teilintervlle mit den Stützstellen (Gitterpunkten) = x < x < x 2 <... < x N < x N = b. Auf Grund der Additivität des Integrls gilt f(x) dx = N j= xj+ f(x) dx. Somit ist es usreichend, eine Näherungsformel für ein (kleines) Teilintervll der Länge h j = + zu finden. Ein Beispiel so einer Näherungsformel ist die Trpezregel, bei welcher die Fläche unter dem Funktionsgrphen durch die Fläche des entsprechenden Trpezes pproximiert wird: xj+ ( ) f(x) dx h j f( ) + f(+ ). 2 Für die Herleitung und Anlyse solcher Näherungsformeln ist es zweckmäßig, eine Trnsformtion uf ds Intervll [, ] durchzuführen. Setzt mn x = + τh j, so erhält mn wegen dx = h j dτ xj+ f(x) dx = f( + τh j )h j dτ = h j g(τ) dτ mit g(τ) = f( + τh j ). Somit ist es usreichend, Näherungsformeln für g(τ) dτ zu finden. Die Trpezregel lutet in diesem Fll g(τ) dτ ( ) g() + g(). 2 Sie ist offensichtlich exkt, flls g(τ) ein Polynom von Grd oder ist. 6

7 Um eine genuere Formel zu erhlten, fordern wir, dss uch qudrtische Polynome exkt integriert werden. Sei für einen Moment g(τ) = α + βτ + γτ 2 ein llgemeines Polynom von Grd 2. Wegen g() = α, g ( ) 2 = α + 2 β + 4γ und g() = α + β + γ gilt ( α + βτ + γτ 2 ) dτ = α + 2 β + 3 γ = 6( Die für llgemeines g drus folgende Näherungsformel g(τ) dτ 6 ( g() + 4g ( ) ) 2 + g() g() + 4g ( ) ) 2 + g(). ist somit exkt für Polynome vom Grd kleiner oder gleich 2; sie heißt Simpsonregel. Die spezielle Form der Trpez- und Simpsonregel motiviert nun folgende Definition. Definition: Die Näherungsformel g(τ) dτ b i g(c i ) bezeichnet mn ls Qudrturformel. Die Zhlen b,..., b s heißen Gewichte, die Zhlen c,..., c s heißen Knoten der Qudrturformel; s nennt mn Anzhl der Stufen. Eine Qudrturformel ist durch Angbe der Gewichte und Knoten festgelegt. Wir schreiben für eine Qudrturformel deshlb kurz {(b i, c i ), i =,..., s}. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sind die Gewichte b i nicht Null und die Knoten prweise verschieden (c i c k für i k). Beispiel 2: () Die Trpezregel ht s = 2 Stufen und ist gegeben durch i= b = b 2 = 2, c =, c 2 =. (b) Die Simpsonregel ht s = 3 Stufen und ist gegeben durch b = 6, b 2 = 2 3, b 3 = 6, c =, c 2 = 2, c 3 =. Um Qudrturformeln zur Berechnung des ursprünglichen Integrls f(x) dx zu verwenden, mcht mn die Trnsformtion von f nch g wieder rückgängig. Wegen g(τ) = f( + τh j ) gilt xj+ f(x) dx = h j Somit erhält mn die Näherungsformel g(τ) dt h j b i g(c i ) = h j b i f( + c i h j ). i= i= f(x) dx = N j= xj+ f(x) dx N h j j= i= b i f( + c i h j ). Wir suchen nun Qudrturformeln, die möglichst genu sind. Nchdem der Integrnd uf kleinen Intervllen typischerweise gut durch Tylorpolynome pproximiert wird, zeichnet sich eine gute Qudrturformel ddurch us, dss sie möglichst viele Polynome exkt integriert. Dieser Gednke motiviert folgende Definition. 7

8 Definition: (Ordnung) Die Qudrturformel {(b i, c i ), i =,..., s} besitzt Ordnung p, flls lle Polynome g vom Grd kleiner oder gleich p von der Qudrturformel exkt integriert werden, d.h. flls gilt g(τ) dτ = für lle Polynome g vom Grd kleiner gleich p. b i g(c i ) Beispiel 3: () Die Trpezregel ht Ordnung 2. (b) Die Simpsonregel ht (nch Konstruktion) zumindest Ordnung 3. Der folgende Stz liefert eine lgebrische Chrkterisierung der Ordnung von Qudrturformeln. Stz: Eine Qudrturformel {(b i, c i ), i =,..., s} ht Ordnung p i= i= b i c q i = q für q p. Beweis: Mn verwendet, dss ein Polynom g vom Grd p g(τ) = α + α τ α p τ p eine Linerkombintion von Monomen ist, und dss Integrtion und Anwendung einer Qudrturformel linere Prozesse sind. Somit genügt es, die Monome g(τ) = τ q, q p zu betrchten. Die Behuptung folgt nun sofort us der Identität Die Bedingungen des Stzes q = τ q dτ = b i g(c i ) = i= i= b + b b s = b c + b 2 c b s c s = 2 b c 2 + b 2 c b s c 2 s = 3 b c p + b 2 c p b s c p s = p. b i c q i. heißen Ordnungsbedingungen für Ordnung p. Gibt mn s Knoten c,..., c s vor, so stellen die Ordnungsbedingungen ein lineres Gleichungssystem für die unbeknnten Gewichte b i dr. Flls die Knoten prweise verschieden sind, lssen sich die Gewichte drus eindeutig bestimmen. Ds zeigt, dss zu s verschiedenen Knoten stets eine eindeutige Qudrturformel der Ordnung p s existiert. Beispiel 4: Wir berechnen nochmls die Ordnung der Simpsonregel. Wegen b + b 2 + b 3 = = b c + b 2 c 2 + b 3 c 3 = = 2 b c 2 + b 2 c b 3 c 2 3 = = 3 8

9 ist die Ordnung zumindest 3 (wie wir bereits uf Grund der Konstruktion wissen). Es gilt jedoch zusätzlich d.h. die Simpsonregel ht sogr Ordnung 4. b c 3 + b 2 c b 3 c 3 3 = = 3 2 = 4, Die besten Qudrturformeln (optimle Genuigkeit bei möglichst wenig Aufwnd) sind die Guß schen Qudrturformeln. Zu gegebenem s N gibt es eine eindeutige Qudrturformel der Ordnung p = 2s. Diese wird ls Guß sche Qudrturformel mit s Stufen bezeichnet. Die Guß schen Qudrturformeln für s 3 luten s = : c = 2, b =, Ordnung 2 (Mittelpunktsregel); s = 2 : c = 3 2 6, c 2 = s = 3 : c = 2 5, c 2 = 2, c 3 = 2 + 6, b = b 2 =, Ordnung 4; 2 5, b = 5 8, b 2 = 8 8, b 3 = 5, Ordnung 6. 8 Weitere Ausführungen zum Riemnnintegrl und zu numerischer Integrtion finden Sie in den Abschnitten und 3 des Lehrbuchs M. Oberguggenberger, A. Ostermnn: Anlysis für Informtiker. Springer-Verlg, Berlin 25. 9