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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester 004) Lösungen zu Aufgenltt (. Juli 004) Präsenzufgen f eine punktsymmetrische Funktion (f (x) f ( x)), f eine chsensymmetrische Funktion (f (x) f ( x)) und f eine konstnte Funktion (f (x) c), die llesmt integrierr seien. Welche der folgenden Formeln sind whr? i i i f i (x)dx 0 f i (x)dx + c f i (x)dx f i (x)dx f i (x)dx 0 c f i (x)dx Zunächst einml sind konstnte Funktionen chsensymmetrisch, so dss sich einige Impliktionen ergeen. Die erste Formel ist für die konstnte Funktion (und dmit für lle chsensymmetrische Funktionen) flsch, z.b. ist dx 0. Für punktsymmetrische Funktionen f ist die Formel richtig, denn (mn egründe zur Üung jeden Schritt, n einer Stelle wurde die Sustitutionsregel verwendet) Die Regel f(x)dx gilt für lle integrierren Funktionen f. f( x)dx f(x)dx + c f(x)dx f(x)dx c f(x)dx f(x)dx. Dss die dritte Regel für punktsymmetrische Funktionen flsch ist, mcht mn sich (wie immer) m esten nhnd eines Gegeneispiels (z.b. xdx 0 xdx) klr. Die Regel stimmt für chsensymmetrische 0 Funktionen f, denn 0 f(x)dx 0 f( x)dx 0 f(x)dx 0 f(x)dx. Aufge 70. Vritionen von Integrtionen..) Bestimmen Sie ds folgende Integrl (x + x + x + )dx..).) Beweisen Sie folgende Formel zur lineren Sustitution: f(αx + β)dx α [F (αx + β)]

2 .) Verwenden Sie oige Formel zur Berechnung des folgenden Integrls:.).) Beweisen Sie die Regel der prtiellen Integrtion 7 (x + ) dx f(x)g(x)dx [F (x)g(x)] F (x)g (x)dx. Welche Vorussetzungen müssen die Funktionen f und g dei erfüllen?.) Bestimmen Sie dmit die Stmmfunktionen von f(x) x e x.) Wir hen (x + x + x + )dx.).) Zum Beweis der Formel zur lineren Sustitution: [ 4 x4 + x + ] x + x f(αx + β)dx α [F (αx + β)] verwenden wir die llgemeine Formel zur Sustitution us der Vorlesung: f(ϕ(x)) ϕ (x)dx ϕ() ϕ() f(x)dx mit einer elieigen integrierren Funktion f : R R mit Stmmfunktion F : R R und ϕ(x) αx + β. Es gilt dnn: f(αx + β)dx α f(ϕ(x))dx mit ϕ(x) αx + β α α ϕ() ϕ() f(αx + β) αdx f(αx + β) ϕ (x)dx f(x)dx [F (x)]ϕ() α ϕ() α [F (ϕ(x))] α [F (αx + β)].) Mit oiger Formel, f(x) x und somit F (x) 9 x gilt dnn 7 (x+) dx 7 f(x+)dx [F (x+)]7 [ 9 (x+) ] 7 4 (7 7 )

3 .).) Aufgrund des Fundmentlstzes der Differentil- und Integrlrechnung genügt es hier zu zeigen, dss die Funktion (F g)(x) eine Stmmfunktion der Funktion (fg + F g )(x) ist. Dies üerprüfen wir leicht durch Differenzieren. Es gilt nch der Produktregel (F g) (x) (F g)(x) + (F g )(x) (fg + F g )(x), wie gewünscht. Dmit der Fundmentlstz ngewendet werden knn, muss die Funktion fg +F g stetig sein. Dzu reicht es us, wenn die Funktion f stetig ist, die Funktion g differenzierr ist und ihre Aleitung g stetig ist..) Zweimliges Anwenden der prtiellen Integrtion (Stichwort: Herunterdifferenzieren des Polynoms) ergit e x x dx [ e x x ] e x xdx [ ( e x x ] ) [e x x] e x dx [ x e x xe x + e x] D.h. die Stmmfunktionen von f sind F (x) e x (x x + ) + C, C R. Aufge 7. Kreis. Bestimmen Sie den Flächeninhlt eines Kreises mit Rdius, indem Sie die Funktion f(x) x etrchten. Im Verluf der Rechnung verwenden wir die Gleichung cos x (cos x + ). Die wesentliche Idee esteht im folgenden drin, die Sustitution ϕ(x) sin x nzuwenden. Ds geht, d sin : [ π, π ] [, ] stetig differenzierr ist. x dx sin( π ) x dx sin( π ) sin t cos tdt π π π π π π cos tdt (cos x + )dx [ 4 sin x + x ] π π π Der Flächeninhlt eines Kreises mit Rdius ist lso π π.

4 Husufgen Aufge 7. Prtielle Integrtionen und Prtilruchzerlegung..) Bestimmen Sie mithilfe von prtieller Integrtion die Stmmfunktionen von f(x) log x x.) Bestimmen Sie mithife von prtieller Integrtion folgendes Integrl sin 4 (x)dx.) Bestimmen Sie mithilfe einer Prtilruchzerlegung folgendes Integrl z + z z + z dz.) Einmliges Anwenden der prtiellen Integrtion ergit log xdx x [ x log x ] [ x log x ] x D.h. die Stmmfunktionen von g sind G(x) x log x x + C, C R..) Wir erechnen ds Integrl sin 4 (x)dx mit Hilfe der Formel zur prtiellen Integrtion f(x)g(x)dx [F (x)g(x)] x x dx F (x)g (x)dx und dem Additionstheorem sin (x) + cos (x) cos (x) sin (x) Es gilt mit Hilfe prtieller Integrtion sin 4 (x)dx sin(x) sin (x)dx [ cos(x) sin (x)] [ cos(x) sin (x)] + [cos(x) sin (x)] + cos(x) sin (x) cos(x)dx sin (x) ( sin (x))dx sin (x) sin 4 (x)dx [ cos(x) sin (x)] + 4 sin 4 (x)dx sin (x)dx

5 Ds Integrl sin (x) erechnen wir wieder mit Hilfe prtieller Integrtion und des Additionstheorems: sin (x)dx sin(x) sin(x)dx [ cos(x) sin(x)] + cos (x)dx [ cos(x) sin(x)] + ( sin (x))dx [ cos(x) sin(x)] + dx sin (x)dx [ cos(x) sin(x)] + [x] sin (x)dx Somit gilt nun sin (x)dx ( [ cos(x) sin(x)] + [x] ) [cos(x) sin(x)] + [x] sin 4 (x)dx 4 [cos(x) sin (x)] [cos(x) sin (x)] + 4 sin (x) ( [cos(x) sin(x)] + ) [x] 4 [cos(x) sin (x)] 8 [cos(x) sin(x)] + 8 [x] z +.) Wir erechnen ds Integrl z z + z dz mit Hilfe der Prtilruchzerlegung von z + z z + z. Für ds Nennerpolynom z z + z gilt z z + z z(z z + ) z(z ). Für die Prtilruchzerlegung suchen wir nun reelle Zhlen,, c R mit z + z z + z z + z + c (z ) (z ) + z(z ) + cz z(z ) ( + )z + ( + c)z + z z + z Durch Koeffizientenvergleich erhlten wir folgendes System linerer Gleichungen c welches die eindeutige Lösung (,, c) (,, ) esitzt. Somit ergit sich die Prtilruchzerlegung und es gilt z + z z + z z z + (z ) z + z z + z dz z dz z dz + (z ) dz

6 Die Funktion z log z ist eine Stmmfunktion der Funktion z z. Die Funktion z log z ist eine Stmmfunktion der Funktion z (z ). Die Funktion z ist eine Stmmfunktion der Funktion z z (z ). Somit gilt nun z + z z + z dz z dz + (z ) dz + (z ) dz [log z ] [log z ] [ z ] (log log ) (log 4 log ) ( 4 ) log 8 + Aufge 7. Integrtion. Bestimmen Sie die Stmmfunktionen von.) f(x) x + 8x + x 6 x 4 + x,.) g(x) x sin x cos 4 x Verwenden Sie für Teilufge.) die Sustitution t rctn x..) Die Stmmfunktionen von f estimmen wir mittels Prtilruchzerlegung. Der Nenner ist gleich x 4 + x x x(x )(x + x + ). D x + x + (x + ) + ist, ht dieser Term keine weiteren reellen Nullstellen. Für die Prtilruchzerlegung suchen wir Zhlen,, c, d R mit x +8x +x 6 x 4 +x x x + x + cx+d x +x+ (x )(x +x+)+x(x +x+)+(cx+d)x(x ) x 4 +x x. Durch Koeffizientenvergleich erhlten wir ds linere Gleichungssystem + + c + c + d 8 d ei dem (,, c, d) (,, 0, ) die eindeutige Lösung ist. 6, Die Stmmfunktionen von x x sind x log x + C, C R. Die Stmmfunktionen von x x sind x log x + C, C R. Die Stmmfunktionen von x x +x+ sind x rctn(x + ) + C, C R. Zusmmenfssend sind die gesuchten Stmmfunktionen von f..) Eine wichtige Voremerkung: Es gilt für lle x R x log x + log x + rctn(x + ) + C, C R, sin x tn x + tn x und cos x + tn x,

7 weil tn x sin x cos x und sin x + cos x. Mit Hilfe der Sustitutionsregel g(x)dx ϕ () ϕ () und der Whl ϕ(x) rctn x zw. ϕ (x) tn x erhlten wir sin x cos 4 x dx ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () Somit sind die Stmmfunktion von g die Funktionen g(ϕ(x))ϕ (x)dx sin (rctn x) cos 4 (rctn x) tn (rctn x) +tn (rctn x) ( ) x +x +x ( ϕ () ( ) ϕ () x + + x ] ϕ x [ () x + x + ϕ () [ tn x + tn x + tn x +tn (rctn x) + x dx G(x) tn x + tn x + tn x + C, C R. ] + x dx Aleiten von G(x) ergit G (x) g(x) uf dem gesmten Definitionsereich x R \ π Z. Aufge 74. Integrier mir die Kugel. ) + x dx O die Dltonrüder wirklich herusfinden werden, wie gross die Kugel ist, die jeder von ihnen m Fuss ht? D es im Gefängnis gnz sicher keine Formelsmmlung git, können sie nicht einfch schnell nchschuen, er vielleicht hen sie j schon einml etws von Integrlrechnung gehört?! Bestimmen Sie ds Volumen einer Kugel mir elieigem, er fest vorgegeenem Rdius r R, r > 0. Betrchten Sie dzu die Funktion f : D [ r, r] R mit f(x) r x. Dies ist eine Funktion in der Vrilen x. Der Definitionsereich der Funktion ist ds Intervll [ r, r] R, woei r R mit r > 0 elieig, er fest vorgegeen ist. Zeichnen Sie diese Funktion in ein Koordintensystem. Lssen Sie nun diese Funktion in Gednken um die x-achse rotieren. Sehen Sie, wie dei die Kugel mit Rdius r und Mittelpunkt im Ursprung entsteht? Betrchten Sie nun den Ausdruck π (f(x)). Ws erechnet dieser Ausdruck für jedes x D? Berechnen Sie nun ds Integrl r r π (f(x)) dx mit oiger Funktion f. Wrum hndelt es ei dem Ergenis um ds gesuchte Kugelvolumen?

8 Es soll ds Volumen einer Kugel mir elieigem, er fest vorgegeenem Rdius r R, r > 0 erechnet werden. Dzu etrchten wir zunächst einen Kreis. Die Menge ller Punkte uf einem Kreis mit Rdius r und dem Ursprung ls Mittelpunkt wird durch die Menge K {(x, y) R x + y r } eschrieen. Lösen wir die Gleichung x + y r nch y uf, so erhlten wir y r x. Für x [ r, r] liefert uns somit die Funktion f : D [ r, r] R mit f(x) r x gerde den oeren Kreisogen. Lssen wir nun diese Funktion in Gednken um die x-achse rotieren, erhlten wir die Kugel. Ds Volumen der Kugel esteht nun us den Volumin ller vertiklen Kreisschreien. Der Funktionswert f(x) liefert uns gerde für jedes x [ r, r] den Rdius der zugehörigen Scheie. Somit erechnet die Funktion h : [ r, r] R mit h(x) : π (f(x)) für jedes x [ r, r] ds Volumen der zugehörigen Scheie. Somit erechnet ds Volumen der Kugel. r r π (f(x)) dx r r r r π ( r x ) dx π (r x )dx [πr x πx ] r r (πr πr ) ( πr + πr ) 4 πr

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