/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

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1 /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene und inhomogene Gleichung eindeutige, - und - Lösungen lineres Gleichungssystem; homogenes und inhomogenes Gleichungssystem Mtri und Determinnte unterestimmtes Gleichungssystem; üerestimmtes Gleichungssystem Außerdem sollte mn kennen: die Art der Lösungen einer lineren Gleichung zw. eines lineren Gleichungssystem die Bedeutung einer lineren Gleichung im ê zw. ê die Bedeutung eines lineren Gleichungssystems im ê zw. ê die Deutung eines lineren Gleichungssystems ls Vektorgleichung die Berechnung von Determinnten die Anwendungsmöglichkeiten von Determinnten /LQHDUH*OHLFKXQJHQ 'HILQLWLRQ: Eine Gleichung der Form heißt OLQHDUH*OHLFKXQJ. n n Dei sind..., n die / VXQJVYDULDEOHQ. Die reellen Zhlen,..., n, heißen )RUPYDULDEOH. Ist 0, so heißt die Gleichung KRPRJHQH*OHLFKXQJ, ndernflls LQKRPRJHQ. Wir etrchten die Lösungsmengen in Ahängigkeit von n. Q Gleichung:. Beispiel: L { }, d. h. die Gleichung esitzt eine HLQGHXWLJH Linere Gleichungssysteme - Vers. v Seite / VXQJ; die Gleichung ist HLQGHXWLJO VEDU.. Beispiel: 0 L { }, d. h. die Gleichung esitzt NHLQH/ VXQJ; die Gleichung ist XQO VEDU.. Beispiel: 0 0 L ê, d. h. die Gleichung esitzt f YLHOH/ VXQJHQ; die Gleichung ist DOOJHPHLQJ OWLJO VEDU. Q Gleichung: + L esteht nun us Zhlenpren ( ; ). Beispiel: 7 + ( ; ) { + 7} L 7 Löst mn die Glg. nch einer Uneknnten uf, so ergit sich z. B. 7 L ;. Dmit ist {( )} Wie mn erkennt knn elieig us ê gewählt werden. Dnn hängt von. Es git f / VXQJHQ. Die Gleichung stellt eine *HUDGHLQGHU(EHQH dr. 7. Beispiel: elieig,. Beispiel: L { } 0 L {( 7 ; )} Grph?! 4. Beispiel: und können elieig us ê gewählt werden Es git f / VXQJHQ, d. h. der Grph stellt die komplette L ; Eene, lso den ê dr. Also {( )}

2 Q Gleichung: + + L esteht nun us -Tupeln ( ; ; ) Beispiel: ( ; ; 7) {, elieig} L + Es git f / VXQJHQ, d. h. die Gleichung stellt eine (EHQHLP5DXP dr. /LQHDUHV*OHLFKXQJVV\WHPPLW8QEHNDQQWHQ 'HILQLWLRQ: Ein OLQHDUHV*OHLFKXQJVV\WHPPLWP*OHLFKXQJHQXQG8QEHNDQQWHQ ist von der Form m Ist... m 0, so heißt ds Gleichungssystem KRPRJHQ, ndernflls LQKRPRJHQ. Wie etrchten zunächst den Fll für m! m m XU%HGHXWXQJGHV*OHLFKXQJVV\VWHPVE]ZGHVVHQ/ VXQJVPHQJH Grundsätzlich gilt: Bei einem Gleichungssystem sucht mn jene Zhlenpre ( ; ) für die eim Einsetzen in eide Gleichungen whre Aussgen entstehen. Die Lösungsmenge L ist dmit die Menge ller solcher Zhlenpre, lso L {( ; ) lle Pre erfüllen eide Gleichungen}.. Fll: Anschuliche Bedeutung: L {( ; ) }, d. h. es git eine HLQGHXWLJH/ VXQJ. Jede Gleichung stellt eine Gerde dr. Die *HUDGHQVFKQHLGHQVLFK. (; ) ist der Schnittpunkt der Gerden. A. links.. Fll:. Fll: Anschuliche Bedeutung: L { }, d. h. es git NHLQH/ VXQJ. Die *HUDGHQVLQGHFKWSDUDOOHO. A. Mitte L {( ; + )}, d. h. es git f / VXQJ Anschuliche Bedeutung: Die *HUDGHQIDOOHQ]XVDPPHQ. A. rechts. Bechte: Hier sind die *OHLFKXQJHQ9LHOIDFKHYRQHLQDQGHU; Glg II Glg I. 'HXWXQJHLQHV*OHLFKXQJVV\VWHPVDOV9HNWRUJOHLFKXQJ Grundsätzlich gilt: -HGHVOLQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPLVWJOHLFKEHGHXWHQGPLWHLQHU9HNWRUJOHLFKXQJ zum. Fll: ; Bedeutung: lässt sich us 4 und eindeutig liner kominieren. Linere Gleichungssysteme - Vers. v Seite

3 7 5 zum. Fll: Bedeutung: lässt sich us 8 und 6 nicht liner kominieren zum. Fll: Bedeutung: lässt sich us 4 und 6 uf viele Arten liner kominieren. 0 )ROJHUXQJ: Homogenes Gleichungssystem eindeutig lösr Entsprechenden Vektoren liner unhängig Beweis: Die eindeutige Lösung eines homogenen Gleichungsstems ist die trivile Lösung (0 ; 0)! /LQHDUHV*OHLFKXQJVV\WHPPLW8QEHNDQQWHQ 'HILQLWLRQ: Ein OLQHDUHV*OHLFKXQJVV\WHPPLWP*OHLFKXQJHQXQG8QEHNDQQWHQ ist von der Form m Ist... m 0, so heißt ds Gleichungssystem KRPRJHQ, ndernflls LQKRPRJHQ. Wir etrchten zunächst m. m m m XU%HGHXWXQJGHV*OHLFKXQJVV\VWHPVE]ZGHVVHQ/ VXQJVPHQJH Die Lösungsmenge L ist die Menge ller Zhlentripel ( ; ; ), die lle Gleichungen erfüllen, lso L {( ; ; ) lle Tripel erfüllen die Gleichungen}. Jede einzelne Gleichung des Gleichungssystems stellt eine (EHQHLP5DXP dr. Dies folgt nlog zu... Mögliche Fälle sind u..: - eindeutige Lösung, z. B. L {(;, )} Eenen im Rum schneiden sich in genu einem Punkt - keine Lösung, lso L { } Eenen im Rum sind prllel - sonstige Fälle sind z. B.: Eenen sind prllel, eine. Eene schneidet eide; Eenen schneiden sich in einer Gerden usw. 'HXWXQJGHV*OHLFKXQJVV\VWHPVDOV9HNWRUJOHLFKXQJ In Anlogie zu.. lässt sich uch dieses Gleichungssystem ls Vektorgleichung deuten. Es gelten die entsprechenden Üerlegungen zur Frge der Linerkomintionen. Eenso gilt die )ROJHUXQJ: Homogenes Gleichungssystem eindeutig lösr Entsprechenden Vektoren liner unhängig Beweis: Die eindeutige Lösung eines homogenen Gleichungsstems ist die trivile Lösung (0; 0; 0)! 'HWHUPLQDQWHQ Löst mn ds Gleichungssytem + + in llgemeiner Form, so erhält mn - wie mn durch Nchrechnen erkennen knn - die eiden Lösungen für und : Mn erkennt: und Linere Gleichungssysteme - Vers. v Seite Die Lösungen eistieren und sind eindeutig, wenn der Term - 0 ist. In diesem Term kommen genu die Koeffizienten der linken Seite des Gleichungssystems vor.

4 Mn definiert dher: 'HILQLWLRQ: Der Ausdruck A heißt 0DWUL[, genuer [0DWUL[. Die 'HWHUPLQDQWH'HWA der Mtri A ist von der From: 'HWA Zur SUDNWLVFKHQ%HUHFKQXQJGHU'HWHUPLQDQWH verwendet mn die Merkhilfe: Bemerkung: Mit Hilfe von Determinnten lssen sich Gleichungssysteme lösen. Vergleiche hierzu die &UDPHUVFKH5HJHO in der Formelsmmlung, Seite 7, B und 8, C. Drus folgt: Ein Gleichungssystem ist genu dnn eindeutig lösr, wenn 'HWA 0. (*) $QZHQGXQJGHU'HWHUPLQDQWHQEHLGHU8QWHUVXFKXQJGHUOLQHDUHQ$EKlQJLJNHLWYRQ9HNWRUHQ Aus dem Zusmmenhng zwischen homogenen Gleichungssystemen und der lineren Unhängigkeit von Vektoren im ê (vgl...) und dem Stz (*) folgt: Vektoren im ê sind genu dnn liner unhängig, wenn 'HWA 0. Beispiele: 4.) Gegeen:, und sind liner hängig, d - ist. 4 Betrchtet mn die zugehörige Determinnte, so ist diese 0, denn: ( ) ( 4) ) Gegeen:, und sind liner unhängig, d kein Vielfches von ist. 4 Betrchtet mn die zugehörige Determinnte, so ist diese 0, denn: ( ) ( ) Es gilt lso:, liner unhängig 0 Entsprechend definiert mn die [0DWUL[ und die zugehörige Determinnte für ein Gleichungssystem mit Gleichungen und Uneknnten: Gleichungssystem Mtri Determinnte A Det A Det A erechnet mn prktischerweise mit der 5HJHOYRQ6DUUXV: Linere Gleichungssysteme - Vers. v Seite 4

5 4 Beispiel: $QZHQGXQJHQYRQ'HWHUPLQDQWHQ.) Eindeutige Lösrkeit von Gleichungssystemen Det A 0 Gleichungssystem ( zw. ) eindeutig lösr.) Linere Ahängigkeit von Vektoren Det A 0 Vektoren im ê zw. Vektoren im ê liner unhängig Beispiele: zu.) Det A 0 (s.o.) Gleichungssystem eindeutig lösr (Lösung?) zu.) 4, 0, 4 liner unhängig, d Det A 0 (s.o.) 8QWHUEHVWLPPWH*OHLFKXQJVV\VWHPH Ht ein Gleichungssystem weniger Gleichungen ls Lösungsvrile (Uneknnte), so ist ds *OHLFKXQJVV\VWHP XQWHUEHVWLPPW. Lösung: Mn füllt ds Gleichungssystem durch eine entsprechende Anzhl von Gleichungen der Form zw uf. Beispiel: wird ufgefüllt zu: Dmit ist Det A 0. Ds Gleichungssystem knn keine eindeutige Lösung hen. 7 L {( ; + )}, d. h. es git - Lösung. 5 5 hehuehvwlppwh*ohlfkxqjvv\vwhph Ht ein Gleichungssystem mehr Gleichungen ls Lösungsvrile (Uneknnte), so ist ds *OHLFKXQJVV\VWHP EHUEHVWLPPW. Beispiel: I + 5 II + Lösungsstrtegie: III + Löse zunächst ds Gleichungssystem mit den Gleichungen I und II. Prüfe dnn, o uch III erfüllt ist. Linere Gleichungssysteme - Vers. v Seite 5