5 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren

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1 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren 5.1 Linere Ahängigeit/Unhängigeit von Vetoren Eine esondere Rolle in der nlytischen Geometrie spielt die Lineromintion des Nullvetors. So esitzt die Vetorgleichung (Lineromintion) n n stets die trivilen Lösungen n. Es stellt sich er die Frge o es neen dieser trivilen Lösung nicht doch noch eine nichttrivile Lösung git. Beispiele: 1. Üerprüfen Sie uf welche Art sich der Nullvetor ls Lineromintion der Vetoren c 1 1 drstellen lässt c Der Nullvetor lässt sich somit eindeutig nur uf trivile Art ls Lineromintion der Vetoren und c drstellen. 2. Üerprüfen Sie uf welche Art sich der Nullvetor ls Lineromintion der Vetoren c drstellen lässt c W. Str; Berufliche Oerschule Freising 1

2 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren Für die Lineromintion des Nullvetors gilt: 2 c mit IR Es git lso unendlich viele Möglicheiten den Nullvetor ls Lineromintion der Vetoren und c drzustellen. Für erhält mn wieder die trivile Art den Nullvetor ls Lineromintion der Vetoren und c drzustellen. Für 1 erhält mn eine nichttrivile Art den Nullvetor ls Lineromintion der Vetoren und c drzustellen. 2 c Mit Hilfe der letzten Gleichung lässt sich z. Bsp. der Vetor c ls Lineromintion der Vetoren und drstellen: c 2 Der Vetor c hängt somit von den Vetoren und. Mn nennt die Vetoren und c liner hängig. Im ersten Beispiel dgegen lässt sich einer der Vetoren und c ls Lineromintion der eiden nderen drstellen. Die drei Vetoren und c heißen deshl liner unhängig. Definition: Ht die Vetorgleichung n n i) nur die trivile Lösung n so heißen die Vetoren 1; 2;...; n liner unhängig. ii) eine Lösung ei der mindestens eine der Zhlen 1; 2;...; n verschieden von Null ist so heißen die Vetoren 1; 2;...; n liner hängig. W. Str; Berufliche Oerschule Freising 2

3 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren Aufgen 1.) Untersuche Sie die folgenden Vetoren uf linere Ahängigeit/Unhängigeit. ) ) c) d) c e) c f) g) h) c 1 ) 2 c i) c 1 l) 1 c m) 1 c d 2 n) 2 1 Die linere Ahängigeit von Vetoren und diese Untersuchung mittels des Additionsverfhrens hängt uch eng mit der Determinnte einer Mtrix zusmmen! D mn die Determinnte einer Mtrix nur dnn ilden nn wenn diese qudrtisch ist mcht dieses Verfhren uch nur dnn Sinn wenn mn im zweidimensionlen zwei Vetoren im dreidimensionlen drei Vetoren uf linere Ahängigeit untersucht. Sind im zweidimensionlen die Vetoren und gegeen dnn gilt: Det und sind liner hängig Det und sind liner unhängig Sind im dreidimensionlen die Vetoren und c gegeen dnn gilt: Det c und c sind liner hängig Det c und c sind liner unhängig Üerprüfen Sie oige Aussgen n je einem liner hängigen zw. unhängigen Beispiel. Somit werden nun folgende Aufgen dnn doch etws leichter. Verwenden Sie ei Aufge 2) trotzdem eide Lösungswege! W. Str; Berufliche Oerschule Freising

4 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren 2.) Für welche t IR sind die Vetoren liner hängig? ) 4 2 t 12 c ) t t c ) Bestimmen Sie t IR so dss die Vetoren liner unhängig sind. ) c 2 t ) 1 t 1t 1t 1t c 2 1 t 5.2 Geometrische Deutung der lineren Ahängigeit Von zwei Vetoren Betrchtet mn zwei liner hängige Vetoren und dnn git es eine Drstellung der Form 1 2 die nicht eide Null sind. Löst mn diese Gleichung nch uf so erhält mn: 2 Der Vetor ist lso ein Vielfches des Vetors. Anschulich edeutet dies ds die eiden zugehörigen Verschieungspfeile zueinnder prllel sind. Definiton: Sind zwei (oder mehrere) Vetoren zueinnder prllel dnn ezeichnet mn sie uch ls olliner. 1 ollinere Vetoren nicht ollinere Vetoren W. Str; Berufliche Oerschule Freising 4

5 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren Von drei Vetoren Betrchtet mn drei liner hängige Vetoren und c dnn git es eine Drstellung der Form 1 2 c die nicht lle Null sind. Gilt z.b. 1 so nn mn die Gleichung nch uflösen: 2 c 1 1 Der Vetor lässt sich lso ls Lineromintion der Vetoren und c drstellen. Anschulich edeutet dies ds der Vetor in der von und c ufgespnnten Eene liegt. Definition: Liegen zwei (oder mehrere) Vetoren in einer Eene dnn ezeichnet mn sie uch ls omplnr. Eene Eene omplnre Vetoren c nicht omplnre Vetoren c Aufgen 4.) Gegeen ist ein Prllelogrmm ABCD. M ist der Digonlenschnittpunt E der Mittelpunt von AB und F teilt die Strece BC im Verhältnis 2 :1. Lesen Sie us der Zeichnung welche der Vetoren liner hängig sind und geen Sie eine nichttrivile Drstellung des Nullvetors n. ) AE CD ) AC BD c) ME FC d) AC EF e) AB BC CD 5.) Gegeen ist ein Spt. Lesen Sie us der Zeichnung welche der Vetoren liner unhängig sind. ) AC HF ) BH BD c) AB AD AE d) AC EF HG e) AG DH EG W. Str; Berufliche Oerschule Freising c 5

6 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren f) AF BE DE g) CF FD AB 6.) Bestimmen Sie den Prmeter IR ohne große Rechnung so dss die Vetoren liner hängig sind. ) ) c) d) e) f) Lineromintionen us liner unhängigen Vetoren Sind zwei liner unhängige Vetoren und gegeen so stellt sich vielleicht uch einml die Frge o z.b. uch die Lineromintionen und dieser Vetoren liner unhängig sind. Dzu mcht mn den Anstz: Multipliziert mn us und sortiert nch den liner unhängigen Vetoren und so erhält mn: D er und liner unhängig sind folgt: Löst mn diese Gleichungssystem so folgt: und Ds edeutet er dss dnn uch die Lineromintionen und liner unhängig sind. Aufgen 7.) Es seien und liner unhängige Vetoren des Vetoren uf linere Unhängigeit. ) und ) und 2 5 c) und d) n und 2 mit n IN 8.) Es seien und c liner unhängige Vetoren des Vetoren uf linere Unhängigeit. IR. Untersuchen Sie folgende IR. Untersuchen Sie folgende W. Str; Berufliche Oerschule Freising 6

7 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren ) und ) und c) und c d) 2 und 2 c e) c und 7c 9.) Es seien und c liner unhängige Vetoren des folgenden Vetoren liner unhängig sind. ) c und c ) 2 c und 2c c) und c d) c c und c e) 2 c 5 7c und IR. Untersuchen Sie o die W. Str; Berufliche Oerschule Freising 7