Einführung in die Geometrie der Kegelschnitte (Nichtlineare analytische Geometrie der Ebene) 7D, Realgymnasium, 2008/09 Teil 1: Die Ellipse

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1 Einführung in die Geometrie der Kegelschnitte (Nichtlinere nltische Geometrie der Eene) 7D, Relgmnsium, 008/09 Teil : Die Ellise I) Die Ellise ls Kegelschnitt - die DANDELINschen Kugeln In neenstehender Aildung wird eine Drehegelfläche von einer Eene ε geschnitten. Dei ist ε gegenüer jeder Normleene zur Kegelchse schwächer geneigt ls der Kegel selst. Ddurch schneidet ε uch nur den unteren Teil des gesmten Doelegels. Die dei entstehende Schnitturve heißt Ellise und stellt einen von insgesmt neun möglichen Ten von Kegelschnittslinien (oder urz: Kegelschnitten) dr. Doch sei eruhigt! Wir werden uns im Unterricht uf drei zw. vier der neun Ten eschränen, d die verleienden fünf Fälle lediglich Sonderformen der drei zw. vier eigentlich interessnten Fälle drstellen. Doch dzu n säterer Stelle Genueres! Wie us der Aildung ersichtlich, lssen sich der Kegelfläche genu zwei Kugeln S und S (S für Shäre!) erührend einschreien, welche nicht nur die Kegelfläche längs der Kreise K und K, sondern uch ε erühren, und zwr in F und F. (S und S sind nch dem elgischen Mthemtier ierre DANDELIN ennnt, der 8 uf die Idee m, vermöge dieser Kugeln die nun folgende lnimetrische Eigenschft der Ellise us der Geometrie des Kegels und der Kugel zuleiten.) Betrchtet mn jetzt einen elieigen unt der Schnitturve ergo: der Ellise und verindet ihn mit der Kegelsitze O, so schneidet diese Kegelerzeugende K zw. K in Q zw. Q. Jetzt sind sowohl F und Q ls uch F und Q Tngenten n die Kugel (Wrum? Begründe!), worus folgt, dss sowohl F = Q ls uch F = Q gilt. D Q + Q er für jeden Ellisenunt den gleichen Wert nnimmt Welchen?, ist somit uch für jeden Ellisenunt die Summe F + F onstnt, ws uns zur folgenden grundlegenden Definition führt. DEFINITION. Unter einer Ellise ell versteht mn die Menge ller unte X der Eene, für welche die Summe der Astände zu zwei festen unten F und F (Brennunte oder Foci sing. zu letzteren: Focus!) onstnt ist, d.h. smolisch: ell = { X XF + XF = const. }. Der Einfchheit der Rechnung wegen wählen wir für die Brennunte F und F smmetrisch zum Ursrung liegende unte F (u v) und F ( u v) und schreien die onstnte Summe ls n, ws vorussetzt, dss > F F gilt, ws sich zu ² > u²+v² umformen läßt. Jetzt steht uns einiges n Umformungsreit ins Hus:

2 Um in einem unt R einer Ellise mit den Foci und Q die Tngente zu onstruieren, etrchten wir die folgende elementrgeometrische rolemstellung us der ersten Klsse AHS: Für welchen unt R uf einer Gerde l ist ei zwei vorgegeenen unten und Q die Astndssumme R + RQ miniml? Die Lösung ist denr einfch und sollst du hier deshl in Eigenregie durchführen! Als Hinweis soll genügen, dss durch Siegelung von Q n l ein unt Q entsteht (Konstruiere Q, deshl ist üer der Aildung schließlich uch ltz freigelssen worden!), für den R Q = RQ gilt, worus sich der gesuchte unt R ls Schnitt von l mit der Gerde durch. ergit. D somit für lle nderen unte X uf l Ergänze selst! die Astndssumme X + XQ.. ls = R + RQ ist, liegen ll diese unte X somit.. des von der Ellise ell (die durch R verläuft und Ergänze selst! die Brennunte und Q e- sitzt) umschlossenen Bereichs. Aus dieser Eigenschft folgt nun er, dss l die. n die Ellise im unt R ist. So weit, so gut! D Q durch Siegelung von Q n l entstnden ist, schließen die Brennstrecen R und QR mit der Tngente l. ein. Es ergit sich drus utomtisch, dss diese Eigenschft uch Ergänze selst! für die Normle n uf l durch R gilt, worus folgt, dss n die. der Brennstrhlen R und QR ist. Jetzt ist er jeder Richtungs- Ergänze selst! vetor r von n utomtisch ein. von l, womit wir nun wissen, wie wir zum Aufstellen einer Tngentengleichung vorzugehen hen. Jetzt steht uns (wieder einml!) einiges n Umformungsreit ins Hus:

3 Bltt 3 zum Heimstudium: Nichtlinere nltische Geometrie der Eene, Teil (7D, Relgmnsium, M3, WS 008/09) Zwei weitere Möglicheiten zur Herleitung der Berühr(ungs)edingung für die Ellise [+=] und die Gerde [=+d] ) Suche im Internet unter "Berühredingung" nch einer weiteren Herleitung der Berührungsedingung für die Ellise und die Gerde. ) Welche Nchteile ht die "onventionelle Form" (eine ndere wirst du wohl im www nicht finden; oder doch?!) der Herleitung gegenüer "unserer" Herleitung in der SÜ? ) Solltest du welche finden: Erläutere Vorteile der onventionellen Herleitung! ) Dritte Vrinte (die du wohl um im www finden wirst; oder doch?!): T + T = stellst du einen Koeffizientenver gleich (wie ei der Lösung der Aufgen und in der SÜ!) mit t : = + d her, indem du umformst t : ( d ) + d = (Ds hättest du n und für sich selst schffen müssen!) und schließlich vergleichst: Ausgehend von t : Koeffizientenvergleich: T = T = T = T.. = T =.. T = Addieren ergit dnn.. zw. zw. d = +, w. z. z. w.

4 Bltt 4 zum Heimstudium: Nichtlinere nltische Geometrie der Eene, Teil (7D, Relgmnsium, M3, WS 008/09) Eine weitere Möglicheit zur Herleitung der Orthogonlitätsedingung für die Ellise [+=] und die Gerde [=+d] T T = T T T T... zw. n : = zw. n : =.... zw. n : = e T e T stellst du einen Koeffizientenvergleich (wie ei der Lösung der Aufgen 4 und 5 in der SÜ!) mit t : = + d her, indem du umformst. t : + =. und schließlich vergleichst: Ausgehend von n : zw. Koeffizientenvergleich:... = T = T = = T = T =... Addieren ergit dnn. zw.. zw. e 4 = d + d, w. z. z. w.

5 Bltt 5 zum Heimstudium: Nichtlinere nltische Geometrie der Eene, Teil [7D(Rg), M3, WS 008/09] Tngenten n eine Ellise durch einen unt ußerhl des von der Ellise umschlossenen Bereichs (Teil I) In der Aildung siehst du eine Ellise ell sowie einen ußerhl des von ell umschlossenen Bereichs liegenden unt, durch den insgesmt neun Gerden gelegt wurden. dvon hen mit ell unte gemeinsm,.. dvon genu.. Letztere sind demnch. n ell, woei.. die Ellise in und die Ellise in. erührt. Sind ell.: + = sowie ( ) nun vorgegeen, so üerlegen wir jetzt schrittweise, wie wir uns eine Gleichung der Gerde durch T und T verschffen önnen: Gehen wir von T ( ) us, dnn gilt t : + = (*). Ausgehend von T ( ) erhlten wir t : + = (**). Mit den Ansätzen t : = + d und t : = + d gelten dnn wegen t t die "Gleichungen" d = (wenn mn nstelle von und d jeweils und d zw. und d schreit!). Koeffizientenvergleich von (*) mit t : + = d liefert = zw. wegen d d der "Gleichungen" =, ws zu = führt. Ferner erhlten wir = zw. wegen der "Gleichungen" d =, ws zu = führt. Anlog ergit sich für zw. die Drstellung = zw. =.

6 Bltt 6 zum Heimstudium: Nichtlinere nltische Geometrie der Eene, Teil [7D(Rg), M3, WS 008/09] Tngenten n eine Ellise durch einen unt ußerhl des von der Ellise umschlossenen Bereichs (Teil II) Zwecs Aufstellen einer Gleichung von erechnen wir zunächst den Vetor T T, woei wir hier durch Multilition mit den eiden uftuchenden Nennern gleich einen ollineren Richtungsvetor von ufstellen, nundenn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + T T D somit ein Normlvetor von ist, ergit sich dmit vi : + = c [woei ( ) c = = + = ] sofort! T Ergo: Koordinten von T einsetzen!! Herusheen und.. vereinfchen!!!! eine Gleichung von, die mn demnch einfch durch Einsetzen von in die Sltform erhält! Diese dem unt zugeordnete Gerde eommt nun eine eigene Bezeichnung: Definition. Die zum unt ( ) zugehörige Gerde mit der Gleichung : + = heißt olre des untes ezüglich der Ellise ell [ell.: + = ]. Umgeehrt ist der ol von ezüglich ell. Aus unseren soeen ngestellten Üerlegungen ergit sich folgender Stz. Für einen ußerhl des von einer Ellise ell umschlossenen Bereichs liegenden unt trägt seine olre ezüglich ell gerde die Berührungsunte jener Tngenten, die mn von us n ell legen nn. Aschließende Bemerungen: () Liegt innerhl des von ell umschlossenen Geiets, so ist eine ssnte von ell (ws mn sich intuitiv uch erwrtet, d mn durch einen unt "innerhl einer Ellise" ell eine Tngenten n ell legen nn, d j jede Gerde durch ell in zwei unten schneidet!). () Liegt uf der Ellise, dnn. J, ws gilt denn dnn? Üerlege selst, notiere deine Üerlegung in eigenen Worten und sei uch druf vorereitet, in der nächsten Mthemtistunde druf ngesrochen zu werden!