Ober- und Untersummen, Riemann Integrale

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1 Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines krummlinig egrenzten Flähenstüks oder etw uh die Bestimmung jener Areit, die eine veränderlihe Krft längs eines estimmten Weges leistet. Intuitiv erfolgt die Inhltsmessung von (eenen) Flähenstüken ddurh, dss wir zählen, wieviele Mßeinheiten im Flähenstük Pltz hen. Für Rehteke und weitere elementre Figuren ist dies prolemlos, hingegen ist die Inhltsmessung von Flähen unter dem Grphen einer Funktion f(x) niht von vornherein klr. Die Inhltsmessung von (eenen) Flähen soll folgende sinnvolle Eigenshften esitzen : (Eindeutigkeit) Der Fläheninhlt F drf niht von der Art der Bestimmung (Zerlegung in Rehteke, Dreieke et.) hängen. (Monotonie) Ist ein Flähenstük F 1 in einem nderen Flähenstük F 2 enthlten, dnn gilt für die Inhlte F 1 F 2. (Additivität) Üerdeken sih F 1 und F 2 niht, dnn soll für die Vereinigung F = F 1 F 2 gelten, dss F = F 1 F 2. Um dem Flähenstük unter dem Grphen einer Funktion f(x), x [, ] einen Inhlt zuzuordnen, wählen wir folgende Vorgngsweise : (i) Zerlegung von [, ] in endlih viele Teilintervlle. (ii) Üer jedem Teilintervll wird ein Rehtek errihtet, welhes gerde noh gnz unter dem Grphen von f(x) liegt. (iii) Anlog werden Rehteke errihtet, die gerde noh gnz üer dem Grphen von f(x) liegen. 1

2 (iv) Für gewisse Vorussetzungen für f(x) wird nhgewiesen, dss die Differenz der Fläheninhlte ei den so definierten Treppenfunktionen elieig klein gemht werden knn, wenn ds Intervll in hinreihend kleine Teilintervlle zerlegt wird. Definition. Gegeen sei ds Intervll [, ]. 1) Eine Prtition (Zerlegung) von [, ] ist eine Menge P = {x 0, x 1,..., x n } von n + 1 Zhlen mit = x 0 < x 1 <... < x n =. 2) I k = [x k 1, x k ], 1 k n heißt k-tes Teilintervll, und x k = x k x k 1 die Länge von I k. n (Behte, dss x k = ) 3) Die Zhl P = mx 1 k n { x k} heißt Feinheitsmß von P. Definition. Sei f(x) eshränkt uf [, ], und P = {x 0, x 1,..., x n } eine Prtition von [, ]. 1) Wir setzen m k (f) = inf I k M(f) = sup f(x). [,] 2) S P (f) = P zgl. P. 3) S P (f) = P zgl. P. m k (f) x k = M k (f) x k = f(x), M k (f) = sup f(x), m(f) = inf f(x), I k [,] n n m k (f) x k M k (f) x k heißt Untersumme von f heißt Oersumme von f Eine Prtition P liefert somit zwei Treppenfunktionen mit Fläheninhlten S P (f) und S P (f). Klrerweise gilt S P (f) S P (f). Des weiteren gilt für jedes k = 1, 2,..., n offenr, dss m(f) m k (f) M k (f) M(f). Multipliktion jedes Terms mit x k und Summtion üer lle k liefert 2

3 die Aussge m(f)( ) S P (f) S P (f) M(f)( ). 2. Eigenshften von Oer- und Untersummen Sei P = {x 0, x 1,..., x n } eine Prtition von [, ] und ein weiterer Unterteilungspunkt gegeen, etw x k mit x k 1 x k x k. Ddurh erhlten wir eine zusätzlihe Prtition P = {x 0,.., x k 1, x k, x k,.., x n }. Wegen sup f(x) sup f(x), sup f(x) sup f(x) [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] [x k,x k] inf f(x) inf f(x), inf f(x) inf f(x) [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] [x k,x k] und gilt offenr, dss S P (f) S P (f) und S P (f) S P (f). D.h. die Oersumme wird kleiner, und die Untersumme wird größer. Definition. Eine Prtition P = {x 0, x 1,..., x m} heißt Verfeinerung von P = {x 0, x 1,..., x n }, wenn {x 0, x 1,..., x n } {x 0, x 1,..., x m}. (D.h. zu P kommen weitere Unterteilungspunkte hinzu.) Durh sukzessive Anwendung der vorhergehenden unmittelr Üerlegung folgt dnn Stz. Sei P eine Verfeinerung von P. Dnn gilt S P (f) S P (f) und S P (f) S P (f). Dies edeutet: Untersummen können ei Verfeinerung niht kleiner werden, Oersummen können ei Verfeinerung niht größer werden. Stz. Seien P 1 und P 2 zwei elieige Prtitionen von [, ]. Dnn gilt S P1 (f) S P2 (f). Beweis. 3

4 P = P 1 P 2 ist eine gemeinsme Verfeinerung von P 1 und P 2. Mit den vorhergehenden Aussgen folgt dnn, dss S P1 (f) S P (f) S P (f) S P2 (f). Folgerung. Werde eine Prtition P fest gewählt. Dnn gilt S P (f) S P (f) und S P (f) S P (f) für jede Prtition P. Dies edeutet er, dss sup S P (f) und inf S P (f) existieren!! P P 3. Die Riemnn-Droux Integrle Definition. 1) Ds untere Riemnn-Droux Integrl ist f(x)dx = sup S P (f). P 2) Ds oere Riemnn-Droux Integrl ist f(x)dx = inf P S P (f). Stz. Stets gilt f(x)dx Beweis. Für zwei elieige Prtitionen gilt S P1 (f) S P2 (f). Drus folgt, dss f(x)dx S P2 (f) und im nähsten Shritt dss f(x)dx Bemerkung. Aus der Definition der Riemnn-Droux Integrle ls Supremum von Untersummen zw. Infimum von Oersummen folgt ntürlih : 4

5 ε > 0 P mit S P (f) > f(x)dx ε und S P (f) < ε. Der folgende Stz (ohne Beweis) zeigt, dss es zu einem ε > 0 niht nur eine derrtige Prtition git, sondern lle hinreihend kleinen Prtitionen die entsprehenden Ungleihungen erfüllen. Stz. Zu jedem ε > 0 existiert ein δ ε > 0, sodss für lle Prtitionen P von [, ] mit P < δ ε gilt: (i) S P (f) > f(x)dx ε, (ii) S P (f) < ε. Nun zur Additivität zgl. des Integrtionsintervlls. Stz. Sei < <. Dnn gilt 1) f(x)dx = f(x)dx, 2) f(x)dx = Beweis. (für oere Riemnn-Droux Integrle) ) Sei P eine elieige Prtition von [, ] und P die durh Hinzunhme von erzeugte möglihe Verfeinerung von P. Dnn gilt S P (f) S P f(x)dx (f) = S P (f) + S P (f) f(x)dx, und dmit ) Sei ε > 0. Dnn P 1 von [, ] und P 2 von [, ] mit 5

6 S P1 (f) < ε 2 und S P2 (f) < ε 2. Für die Prtition P = P 1 P 2 S P (f) = S P1 f(x)dx (f) + S P2 (f) von [, ] gilt dnn ε. Weil ε > 0 elieig ist, muss drus folgen, dss ε, worus folgt f(x)dx ergit. f(x)dx, worus sih mit ) die Behuptung Folgerung. Ist P = {x 0, x 1,..., x n } eine Prtition von [, ], dnn gilt (i) f(x)dx = n x k x k 1 f(x)dx, (ii) f(x)dx = n x k x k 1 4. Ds Riemnn-Integrl und seine Eigenshften Definition. Sei die Funktion f eshränkt uf [, ]. Stimmen die eiden Droux-Integrle üerein, dnn heißt f Riemnnintegrierr uf [, ] (oder R-integierr). Der gemeinsme Wert heißt Riemnn-Integrl von f uf [, ] und wird mit Bemerkung. die Zhl f(x)dx ezeihnet. Ist f(x) 0 uf [, ] R-integrierr, dnn fssen wir f(x)dx ls Fläheninhlt unter der Kurve uf. 6

7 Beispiele. 1) Sei f(x) = h x [, ] (konstnte Funktion). Für jede Prtition P von [, ] gilt dnn S P (f) = h( ) und S P (f) = h( ). Klrerweise ist dmit f R-integrierr und es gilt f(x)dx = h( ). Dies entspriht genu der Definition des Fläheninhlts eines Rehteks mit Länge ( ) und Breite h. 2) f(x) = { 1 flls x Q 0 flls x / Q, 0 x 1 Für jede Prtition P von [, ] gilt dnn offenr S P (f) = 0 und S P (f) = 1. Dmit ist f niht R-integrierr. Stz. (Riemnnshes Integrilitätskriterium) Folgende Aussgen sind äquivlent: 1) f ist R-integrierr uf [, ], 2) ε > 0 P von [, ] mit S P (f) S P (f) < ε. Mit Hilfe dieses Kriteriums knn nun sogr die Frge der R-Integrierrkeit für gnze Funktionenklssen entshieden werden. Stz. (ohne Beweis) (i) Jede uf [, ] monotone Funktion ist dort R-integrierr. (ii) Jede uf [, ] stetige Funktion ist dort R-integrierr. Bislng etrhteten wir f(x)dx, woei <. Nun definieren wir zusätzlih ds Integrl üer ein entrtetes Intervll und üer ein entgegengesetzt orientiertes Integrl. 7

8 Definition. Sei [, ] gegeen mit. (i) Ist = und f() definiert, dnn setzen wir (ii) Ist f R-integrierr uf [, ], dnn setzen wir. f(x)dx = 0. f(x)dx = f(x)dx Im folgenden werden (ohne Beweis) einige elementre Eigenshften des Riemnn-Integrls ngeführt, welhe reltiv einfh us den Eigenshften der Riemnn-Droux Integrle und us Betrhtungen der Oer- zw. Untersummen hergeleitet werden können. Stz. Seien f, g R-integrierr uf [, ] und λ, µ R. (i) (Linerität des R-Integrls) λf + µg ist R-integrierr uf [, ] und es gilt λ µ g(x)dx. (λf + µg)(x)dx = (ii) (Monotonie des R-Integrls) Ist g(x) f(x) uf [, ], dnn gilt g(x)dx (Folglih ist f(x)dx 0 flls f(x) 0 uf [, ]) Für gewisse Üerlegungen ist es vorteilhft, dss nihtnegtive Integrnden vorliegen. Dies erreihen wir durh die Betrhtung des positiven zw. negtiven Anteils einer Funktion. Definition. Sei f(x) uf [, ] definiert. Dnn ist { f(x) wenn f(x) 0 (i) f + (x) = der positive Anteil von f, 0 wenn f(x) < 0 8

9 { 0 wenn f(x) 0 (i) f (x) = f(x) wenn f(x) < 0 der negtive Anteil von f. Offenr gilt f(x) = f + (x) f (x) und f(x) = f + (x) + f (x). Stz. Seien f, g R-integrierr uf [, ]. Dnn gilt (i) f +, f sind R-integrierr uf [, ], (ii) f ist R-integrierr uf [, ] und (iii) f g ist R-integrierr uf [, ]. f(x)dx f(x) dx, Bezüglih mögliher Unterteilungen des Integrtionsintervlls gelten folgende Aussgen. 1) Ist f R-integrierr uf [, ], dnn uh uf jedem Teilintervll [, d] [, ]. Sei f eshränkt uf [, ] und R-integrierr uf jedem Intervll [, d] (, ). Dnn ist f R-integrierr uf [, ]. 2) Sei P = {x 0, x 1,..., x n } eine Prtition von [, ]. (i) Ist f R-integrierr uf [, ], dnn uh uf jedem Teilintervll [x k 1, x k ] und f(x)dx = n x k x k 1 f(x)dx, (ii) Ist f R-integrierr uf jedem Teilintervll [x k 1, x k ], dnn uh uf [, ] und n x k x k 1 f(x)dx = 3) Ist f R-integrierr uf [, ] und [ n, n ] [, ] für jedes n N 9

10 mit n, n, dnn gilt n f(x)dx = lim n n Im esonderen hen dmit die Werte von f() und f() keinen Einfluß uf die R-Integrierrkeit und den Wert des Integrls. Des weiteren knn f(x) n endlih vielen Stellen geändert werden, ohne dss sih n der R-Integrierrkeit und m Wert des Integrl etws ändert. 10