Teil V: Formale Sprachen

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1 Formle Sprchen

2 Teil V: Formle Sprchen 1. Sprchen und Grmmtiken 2. Endliche Automten Frnz-Josef Rdermcher & Uwe Schöning, Fkultät für Ingeneurwissenschften und Informtik, Universität Ulm, 2008/09 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 2 (von 74)

3 1. Sprchen und Grmmtiken Formle Sprchen Formle Sprchen vs. gesprochene Sprchen Grmmtiken Die Sequenz Typen-Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky Chomsky-Hierrchie und Progrmmiersprchen Chomsky-Normlform (CNF) für Typ 2 Sprchen Reguläre Ausdrücke Alterntive Drstellung: BNF/EBNF Syntxdigrmme Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 3 (von 74)

4 Formle Sprchen Ziele: Formulierung von Algorithmen in eindeutiger und für Computer verständlicher Weise. Mittel: Formlismen, die gewisse Ähnlichkeiten mit gesprochenen Sprchen hen, sich er in Bezug uf Zweckmässigkeit und Eindeutigkeit von gesprochenen Sprchen grenzen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 4 (von 74)

5 Formle Sprchen (1) Gesprochene Sprche ht u.. Formlen Aufu Bedeutung uch ei formlen Sprchen (Grmmtik, d.h. Regeln) (Semntik) kleine grmmtisch korrekte Unterschiede können zu großen Bedeutungsunterschieden führen; uch jenseits von Gegenteiligkeit Bsp.: Der Weg ist ds Ziel. Weg ist ds Ziel. uch in formlen Sprchen möglich Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 5 (von 74)

6 Formle Sprchen (2) Dssele Wort, d. h. diesele Buchstenfolge knn in verschiedenen gesprochenen Sprchen vorkommen und dnn verschiedene Bedeutungen hen m i n d e r deutsch englisch weniger Aufpsser Auch in verschiedenen formlen Sprchen zulässig. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 6 (von 74)

7 Formle Sprchen vs. gesprochene Sprchen Zeichen us Alphet Wörter Ausdrücke, Anweisungen, Wörter, (Sätze) Buchsten us Alphet Wörter Sätze Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 7 (von 74)

8 Grmmtiken Um mit Sprchen, die im Allgemeinen unendliche Ojekte sind, lgorithmisch umgehen zu können, enötigen wir endliche Beschreiungsmöglichkeiten für Sprchen. Dzu dienen sowohl Grmmtiken ls uch Automten Grmmtik Syntx Synthetische Sicht Anlytische Sicht Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 8 (von 74)

9 Grmmtiken (1) NP = Nominlphrse VP = Verlphrse N = Nomen A = Artikel PP = Präpositionlphrse V = Ver P = Präposition Stz NP VP NP NP PP NP N NP A N VP V VP V NP VP VP PP PP P NP P P P N N N N mit in uf Hns Fru Ferngls Prk V V A A A A sieht geht der die ds einem Syntxum zu Hns sieht die Fru mit einem Ferngls 1) Stz 2) Stz Mehrdeutige Grmmtik VP VP NP PP NP VP PP NP NP NP NP NP N V A N P A N N V A N P A N (Hns) (sieht) (die Fru) (mit einem Ferngls) (Hns) (sieht die Fru) (mit einem Ferngls) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 9 (von 74)

10 Grmmtiken (2) Eine Grmmtik wird spezifiziert durch 4 Angen: G = (V, Σ, P, S) V = Σ = S V = P = endliche Menge der Vrilen endliche Menge der Terminlzeichen die Strtvrile endliche Menge der Regeln (oder Produktionen) uch ülich: (V, A, P, S), (N, T, P, S), (S N, S T, P, w S ) Es gilt: V Σ= Regeln Produktionsregeln hen die Form: linke Seite rechte Seite linke und rechte Seite können us Vrilen (= Nichtterminlzeichen) und Terminlzeichen zusmmengesetzt sein Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 10 (von 74)

11 Grmmtiken (3) Beispiel: V = { S } Σ = {, } lies: S erzeugt S oder us S folgt S Regeln 1) S S 2) S S S S = ²² S S S = ³³ d. h. Bei dieser Grmmtik sind leitr lle Wörter der Form n n, n 1 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 11 (von 74)

12 Grmmtiken (4) Definition: Eine endliche, nicht-leere Menge von Terminlzeichen nennt mn uch Alphet. Die Elemente eines Alphets heißen Symole. Flls Σ ein Alphet ist, so ezeichnet Σ* die Menge ller Worte estehend us Buchsten Σ. leeres Wort z. B.: Σ * = { ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,... } Σ + = Σ * \ { ε } (Buchsten, Zeichen, Token) ( endliche Folgen) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 12 (von 74)

13 Grmmtiken (5) Beispiel: A = {,,, z }; B = { 0, 1 } C = { for, end, egin, if, then, else, } (endliche Folgen) Durch Hintereinnderschlten entstehen Wörter cd A*; B*; egin if end C*; Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 13 (von 74)

14 Grmmtiken (6) Die Länge eines Wortes ist die Anzhl seiner Buchsten. cd Σ*, mit cd = 6 ε = 0 Für w Σ* ezeichnet w die Länge von w. Es gilt: w1 w2 = w1 + w2 Sei w Σ* ein Wort, n N Dnn ist w n = ww w ein Wort der Länge w n = n w n-ml Sei Σ ein Alphet, dnn heißt L Σ* eine (formle) Sprche Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 14 (von 74)

15 Grmmtiken (7) Prolem: Sprchen enthlten i.. unendlich viele Wörter Ziel: Endlichen Formlismus ngeen, der in der Lge ist, unendlich viele Sprchen zu ezeichnen. Beispiel: Grmmtik us vorngegngenem Beispiel wr kontextfrei, d. h. uf der linken Seite der Regeln steht nur eine Vrile. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 15 (von 74)

16 Grmmtiken (8) kontextsensitive Beispiel für eine nicht-kontextfreie Grmmtik V = { S, B } Σ = {,, c } S: Strtvrile Regeln: 1) S SBc 2) S c 3) cb Bc 4) B Eine mögliche Aleitung eines Wortes Σ* S SBc cbc Bcc cc = ²²c² 1) 2) 3) 4) Bei dieser Grmmtik sind leitr: lle Wörter der Form n n c n, n 1 Σ* Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 16 (von 74)

17 Grmmtiken (9) Beispiel Für n = 3 S S B c S B c B c c B c B c B cc B c B c B cc B B ccc B ccc ccc Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 17 (von 74)

18 Grmmtiken (10) Definition: Die von einer Grmmtik G = (V, Σ, P, S) erzeugte (definierte) Sprche ist L(G) := { w Σ* S. w } w 1 w 2 edeutet eine Aleitung: vgl. Bsp. von oen: L(G) = { n n c n n 1 } Ds Wort w 1 enthält die linke Seite einer Grmmtik-Regel. Diese linke Seite wurde in w 2 durch die rechte Seite ersetzt. Eine Aleitung endet, wenn w nur noch Terminlsymole enthält. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 18 (von 74)

19 Die Sequenz S w edeutet, dss es eine Aleitung, d. h. eine endliche Folge von Regelnwendungen git, die von S uf w führt. Diese Folge ist nicht zwingend und es knn pssieren, dss estimmte ( schlechte) Folgen zu gr keiner Sequenz us Σ* führen. Beispiel: V = { S, B }, Σ = {,, c } S SBc S c cb Bc B S B d. i. keine Sequenz nur us Terminlsymolen S SBc BBc [stop] Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 19 (von 74)

20 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky Typ 0: keine Einschränkungen Typ 1: (oder kontextsensitiv) Für lle Regeln w 1 w 2 der Grmmtik muss gelten: w 1 w 2 Typ 2: (oder kontextfrei) für lle Regeln w 1 w 2 der Grmmtik gilt: w 1 V Typ 3: (oder regulär) wie Typ 2, zusätzlich muss w 2 eine der eiden Burten hen w 2 Σoder w 2 esteht us Terminl gefolgt von Vriler Menge ller Sprchen Typ 0 entscheidr Typ 1 Typ 2 Typ 3 Hinweis: Eine Sprche L Σ* ist Typ i { 0, 1, 2, 3 }, flls es Grmmtik G vom Typ i git mit L = L(G) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 20 (von 74)

21 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (1) Eine Sprche L ist vom Typ 0, 1, 2, oder 3, wenn es eine Grmmtik G von entsprechendem Typ git, die die Sprche festlegt, lso L = L(G). Also: Sprchtypen sind gleich Grmmtiktypen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 21 (von 74)

22 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (2) Beispiel für reguläre Sprche (Typ 3) V = { S, A, B } Σ = {, } P = { 1. S S, 2. S A, 3. A S, 4. A B, 5. A, 6. B B, 7. B B, 8. B, 9. B } Diese Grmmtik ist vom Typ 3, denn 1. uf der linken Seite steht ei jeder Regel nur eine Vrile. 2. uf der rechten Seite steht nur ein einziges Terminlsymol (Regeln 5, 8, 9) oder ein Terminlsymol gefolgt von einer Vrilen (Regeln 1, 2, 3, 4, 6, 7). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 22 (von 74)

23 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (3) Welche Sprche wird von vorngegngener Grmmtik erzeugt? z. B.: S A B S S S A L = { x {, }* in x kommt vor }. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 23 (von 74)

24 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (4) Chomsky Hierrchie ist strikt Typ 1 L = { x n n c n, n 1 } Beispiel jeweils nicht in speziellerer Klsse Typ 2 L = { x n n, n 1 } Typ 3 L = { x x enthält } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 24 (von 74)

25 Sprch erkennung Es git effiziente Algorithmen, die ei einem vorgelegten Wort w und einer Typ 2 Grmmtik G feststellen, o dieses Wort us G leitr ist, d. h. zur Sprche L(G) gehört. Für Typ 1 Grmmtiken git es solche effiziente Algorithmen nicht! Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 25 (von 74)

26 Chomsky Hierrchie und Progrmmiersprchen Heutige Progrmmiersprchen liegen zwischen Typ 2 (kontextfrei) und Typ 1 (kontextsensitiv). D. h. die meisten Anweisungen sind formle Wörter einer kontextfreien Sprche, er einige Anweisungen sind formle Wörter einer drüer hinus gehenden Sprche. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 26 (von 74)

27 Chomsky Hierrchie und Progrmmiersprchen (1) Die Bedeutung von Typ 2 Grmmtiken (kontextfrei) motiviert die Anlyse ihrer Regeln: Während die linke Seite einfch ist (nur eine Vrile), drf die rechte Seite elieig kompliziert sein. Dies knn jedoch eingeschränkt werden. Die Chomsky-Normlform CNF erlut nur die folgenden Typen: w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 V w 1 x x Σ Jede Typ 2 Grmmtik knn (mittels Einführung neuer Vrilen) in CNF geschrieen werden. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 27 (von 74)

28 Chomsky Hierrchie und Progrmmiersprchen (2) Mittels CNF sind Typ 2 Grmmtiken nur wenig komplizierter ls Typ 3 Grmmtiken. Typ 2 Typ 3 w 1 w 2 w 3 w 1, w 2, w 3 V w 1 y w 3 w 1, w 3 V, y Σ w 1 x x Σ w 1 x x Σ Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 28 (von 74)

29 Chomsky-Normlform (CNF) (für Typ 2 Grmmtiken) Grmmtik Regeln dürfen nur diese zwei Formen hen: Vrile Vrile Vrile Vrile Terminlzeichen Beispiel: A B D c (nicht CNF) Jede Typ 2 Grmmtik lässt sich so äquivlent umformen, dss eine CNF entsteht 1. Schritt: A X B Y D Z X Y in CNF Z c 2. Schritt: A UV V DZ U XW W BY neue Vrilen X, Y, Z einführen neue Vrilen U, V, W einführen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 29 (von 74)

30 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 30 (von 74) Chomsky-Normlform (CNF) (für Typ 2 Grmmtiken) (1) Umformung in CNF ist nicht eindeutig! V U A V W X A Z D Y B X c D B A 1. Schritt: Anheen 2. Schritt: Bildung von Pren is nur zwei Vrilen ürig leien Z T R A S R A Z D Y B X c D B A RT A SZ T YD S XB R c Z Y X

31 Chomsky-Normlform (CNF) (für Typ 2 Grmmtiken) (2) Beispiel: L = { x {, }* x = n n, n 1 } von Typ 2 mit Umformung in CNF: S S V = { S } S Σ = {, } S AB V = { S, A, B, X } S AX Σ = {, } X SB A B Beispielsweise lässt sich 3 3 erzeugen durch: S AX ASB AAXB AASBB AAABBB. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 31 (von 74)

32 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprchen (Typ 3) lssen sich durch reguläre Ausdrücke eschreien. Der reguläre Ausdruck (0 1)*00(0 1)* erzeugt z. B. die Wörter 00, 100, : oder * : keine oder eine oder elieig viele Wiederholungen Hilfszeichen zusätzlich zu ( und ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 32 (von 74)

33 Reguläre Ausdrücke (1) * (***)* eschreit Wörter mit durch 3 teilrer Anzhl von s, z. B.,,, ( )* eschreit die ntürlichen Zhlen einschließlich 0, 00, 000, 0 1 (0 1)* (+ ) 0 1 (0 1)* eschreit Addition oder Sustrktion oder Multipliktion von Binärzhlen. 0 1 (0 1)* / 1 (0 1)* eschreit Division von Binärzhlen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 33 (von 74)

34 Reguläre Ausdrücke (2) (A T C G) (A T C G) (A T C G) eschreit die 4 3 = 64 möglichen Triplets üer dem Alphet { A, T, C, G }: Wörter des genetischen Codes. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 34 (von 74)

35 Reguläre Ausdrücke (3) weitere Beispiele: Σ = { 0, 1 } (1) (0 1)* eschreit { 0, 1 }* (2) (0 1)* 0 (0 1)* (3) 1* 0 (0 1)* (4) (0 1)* 0 1* Menge ller Wörter die mindestens eine 0 enthlten (5) 0* 1 0* 1 (0 1)* Menge ller Wörter die mindestens zwei 1 en enthlten (6) (0* 1 0* 1 0*)* Menge ller Wörter, so dss # der 1 en gerde ist Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 35 (von 74)

36 Reguläre Ausdrücke (4) Verschiedene reguläre Ausdrücke können diesele Typ 3 Sprche eschreien: (0 1)* (0 1)* äquivlent zu (0 1)* äquivlent zu (0* 1*)* Sprche = { ε, 0, 1, 00, 01, } (elieig viele 0, 1 in elieiger Reihenfolge) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 36 (von 74)

37 Reguläre Ausdrücke (5) Einige Umformungsregeln: α (β γ) = (α β α γ) (α*)* = α* (α β)* = (α* β*)* Es git keine Normlform (Minimlform) für reguläre Ausdrücke. Stz: Die Menge der Sprchen, die mittels regulärer Ausdrücke eschrieen werden können, sind genu die Typ3-Sprchen. Bemerkung: Ds Äquivlenzprolem für reguläre Ausdrücke ist (zwr) entscheidr, er nur mittels ineffizienter (= exponentieller) Algorithmen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 37 (von 74)

38 Reguläre Ausdrücke (6) Die von regulären Ausdrücken erzeugten Sprchen sind Typ 3 Sprchen Zur Vernschulichung dieses Zusmmenhngs wird die Sprche des regulären Ausdrucks (0 1)* üer eine reguläre Grmmtik erzeugt: S ε V = { S } S 0 Σ = { 0, 1 } S 1 S 0S S 1S Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 38 (von 74)

39 Verkürzte Schreiweise (1) Die Nottion regulärer Ausdrücke knn uf die Produktionsregeln üertrgen werden: S ε S 0 S 1 S 0S S 1S wird äquivlent geschrieen ls S ε 0 1 0S 1S (Typ 3) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 39 (von 74)

40 Verkürzte Schreiweise (2) Diese Nottion wird uf die Regeln einer Typ 2 Sprche üertrgen z.b. S A S A S A wird äquivlent geschrieen ls S A A A Die Regeln ruchen nicht in CNF vorliegen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 40 (von 74)

41 Alterntive Drstellungen für kontextfreie Grmmtiken BNF (Bckus-Nur-Form) verkürzte Drstellung für kontextfreie Grmmtiken (Typ 2). Für mehrere Regeln, die lle diesele linke Seite hen A β 1 A β 2 A β n knn verkürzend eine einzige Metregel ngegeen werden (unter Verwendung des Metsymols ): A β 1 β 2 β n (Alterntive) (Bckus und Nur verwendeten sttt llerdings ::= ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 41 (von 74)

42 Alterntive Drstellungen für kontextfreie Grmmtiken (1) EBNF (erweiterte Bckus-Nur-Form) Weitere Akürzungen werden eingeführt: A αγ A αβγ wird zu A α[β]γ Bedeutung: Der Ausdruck β knn muss er nicht zwischen α und γ eingefügt werden. (einml oder keinml) A αγ A αbγ B β B βb wird zu A α{β}γ Bedeutung: Der Ausdruck β knn zwischen α und γ elieig oft (uch null-ml) wiederholt werden. (keinml, einml oder n-ml) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 42 (von 74)

43 Beispiel: G = (V, Σ, P, S) G = ( { S, A }, { 0, 1 }, { S 0A11, A ε, A 0A, A 1A }, S ) Aus den Produktionen: S 0A11, A ε, A 0A, A 1A wird in EBNF: S 0A11, A { 0 1 } EBNF genuso mächtig, er kürzer Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 43 (von 74)

44 Beispiel: Syntx für gnze Dezimlzhlen Herkömmliche Nottion: GnzeZhl Zhl GnzeZhl Vorzeichen Zhl Ziffer Zhl Ziffer Zhl Vorzeichen + Vorzeichen Ziffer 0 Ziffer 1 Ziffer 2 Ziffer 3 Ziffer 4 Ziffer 5 Ziffer 6 Ziffer 7 Ziffer 8 Ziffer 9 Zhl BNF: GnzeZhl Zhl Vorzeichen EBNF: Ziffer GnzeZhl Ziffer Bechte: + 0 Zhl Ziffer 1 Vorzeichen Ziffer Zhl Zhl [ + ] Ziffer { Ziffer } In diesem Beispiel sind Nichtterminlsymole mittels < > geklmmert drgestellt, Terminlsymole nicht geklmmert. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 44 (von 74)

45 Syntxäume (Aleitungsäume) G = (V, Σ, P, S) G = ( { S }, { (, ) }, { S (), S (S), S SS }, S ) Frge : Gehört ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) zur Sprche? Mehrere Aleitungen für ds sele Wort, die sich nur in der Reihenfolge der Anwendungen der Produktionen unterscheiden, lssen sich in einem Syntxum drstellen. (Es knn uch mehrere Syntxäume für eine Aleitung geen) S S S ( S ) ( S ) ( ) S S ( ) ( ) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 45 (von 74)

46 Syntxdigrmme Grphische Drstellung für kontextfreie Grmmtiken (Typ 2) Grundusteine der Digrmme: nichtterminle Symole (Vrilen) A ( Pltzhlter für ein weiteres Digrmm) A Terminlsymole ( Symole der formlen Sprche) Konktentionen (Wortkonstruktionen) ( Üergng von einem Knoten ( ) zum Folgenden) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 46 (von 74)

47 Syntxdigrmme (1) Regeln im Umgng mit Syntxdigrmmen: Jedes Digrmm esitzt einen Nmen, genu einen eingehenden Pfeil und genu einen usgehenden Pfeil. Jeder Knoten ht genu einen eingehenden Pfeil und genu einen usgehenden Pfeil. Jedes Rechteck (Vrile, Nichtterminlsymol) verweist uf ein weiteres Syntxdigrmm, welches n der Rechteck-Stelle hinein kopiert zu denken ist. Um ein syntktisch korrektes Wort zu erhlten, durchläuft mn ds Syntxdigrmm eim Eingngspfeil eginnend uf einem der möglichen Wege is zum Ausgngspfeil. Dei notiert mn der Reihe nch die Terminlsymole (in den Ovlen), n denen mn vorei kommt. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 47 (von 74)

48 Syntxdigrmme (2) Beispiel: Grmmtik von Folie 43 S A 0 A A in S hineinkopiert: S A Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 48 (von 74)

49 Syntxdigrmme (3) Beispiel: Ausgeglichene Klmmern von Folie 45 Rekursion: Syntxdigrmm knn in sich selst eingesetzt/kopiert werden. S ( ( S ) S ) S Ws wird hier kopiert/eingesetzt? Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 49 (von 74)

50 Allgemeiner Zusmmenhng: EBNF Syntxdigrmm 1. Alterntive 2. Verkettung A B. A A B. A B B 3. Wiederholungen kein- oder einml α kein-, ein- oder n-mlα A A [ α]. { α}. A A α α Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 50 (von 74)

51 Umsetzung: Produktionen Syntxdigrmm Beispiel: Ausgeglichene Klmmern 1. Produktionen und EBNF P 2. Digrmme { S (), S ( S S SS} P : S ([ S] ) SS = ), S ( ( S ) ) S S S S ( S ) S Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 51 (von 74)

52 2. Endliche Automten Endliche Automten Konstruktionen mit endlichen Automten Ageschlossenheit Minimlutomt Äquivlenzprolem für Endliche Automten Leerheitsprolem und Wortprolem Kellerutomten Turingmschine Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 52 (von 74)

53 Endliche Automten Bestndteile: Zustände: Z Eine ndere Methode, um Typ 3 Sprchen zu definieren Zustndsüergänge: Beispiel: Strt S A B Strtzustnd Endzustnd (gerichtete Knten, eschriftet mit Σ, Σ Alphet) Die vom Automten M kzeptierte Sprche T(M) ist die Menge ller Wörter w Σ*, die vom Strtzustnd zu einem Endzustnd führen T(M) T(M) T(M) T(M) T(M) usw. {, -5, -2, 1, 4, 7, } Es gilt: T(M) = { w {, }* ((# s in w) (# s in w)) 1(mod 3) } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 53 (von 74)

54 Endliche Automten (1) M 1 : Strt S A B Endzustände dürfen zwischendurch verlssen werden! Endzustnd = Strtzustnd erlut! T(M) = { w # s in w # s in w = 1 mod 3 } (eim Teilen durch 3 entsteht eín Rest von 1), 2, 1, 4, 7, 11, M 2 : Strt 3 1 S 2 A B 4 (geht in eiden Endlichen Automten) (geht nur im unteren Endl. Autom.) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 54 (von 74)

55 Endliche Automten (2) Vom Automten zur Typ 3-Grmmtik: M 1 : S A B A B S B S A kompktere Schreiweise für: S A S B S Beispiel einer Aleitung: S A B Für jeden Automten M git es eine Typ 3-Grmmtik mit L(G) = T(M) Es git uch die Umkehrung: Zu jeder Typ 3-Grmmtik G git es einen Automten M mit T(M) = L(G) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 55 (von 74)

56 Endliche Automten (3) Bemerkung: Ein endlicher Automt muss folgende Bedingungen erfüllen: Jeder Zustnd esitzt genu viele hinusgehende Knten, die mit eschriftet sind. c Σ = {,, c } Unzulässig: sog. nichtdeterministischer Automt Vervollständigung Unvollständiger Automt: (Knten fehlen), c c, c,, c c Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 56 (von 74)

57 Konstruktionen mit endlichen Automten Komplement Gegeen sei ein vollständiger Automt M mit L = T(M) Beispiel: T(M) = { w {, }* # der s in w ist durch 3 teilr } Gesucht ist ein M, so dss T(M ) = L := Σ*\L M : Mn vertuscht Endzustände mit Nicht-Endzuständen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 57 (von 74)

58 Konstruktionen mit endlichen Automten (1) Die Typ 3-Sprchen sind unter Komplementildung geschlossen. Flls L vom Typ 3, lso L = T(M) für einen Automten M, so ist uch L vom Typ 3, weil für M gilt L = T(M ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 58 (von 74)

59 Konstruktionen mit endlichen Automten (2) Knn mn 2 Automten M 1, M 2 so vereinigen zu einem Automten M, so dß dieser den Aluf von M 1, M 2 simultn nchvollziehen knn? J Kreuzproduktutomt M 1 : Σ = {, } A C T(M 1 ) = { w {, }* # der s in w ist durch 3 teilr } B M 2 : Σ = {, } 1 2 T(M 2 ) = { w {, }* w endet mit } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 59 (von 74)

60 Konstruktionen mit endlichen Automten (3) # Zustände von M = (# Zustände von M 1 ) (# Zustände von M 2 ) M: A1 B1 C1 A2 B2 C2 Für T(M 1 ) T(M 2 ) = { w # der s ist durch 3 teilr und w endet mit } wähle ls Endzustndsmenge E = {A2} llgemein: E = { XM X E 1 und M E 2 } Für T(M 1 ) T(M 2 ) = { w # der s ist durch 3 teilr oder w endet mit } wähle ls Endzustndsmenge E = { A1, A2, B2, C2 } Methode: Flls und X M Y N in M 1 in M 2 in M: XM YM llgemein: E = { XM X E 1 oder M E 2 } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 60 (von 74)

61 Ageschlossenheit Die Typ 3-Sprchen sind uch unter Vereinigung und Schnitt geschlossen Typ 3 Typ 2 Typ 1 Typ 0 Beispiel: L 1 = { n n c m m, n 1 } Typ 2 L 2 = { n m c m m, n 1 } Typ 2 L 1 L 2 = { n n c n n 1 } Typ 1, nicht Typ 2 Komplement j nein j nein Vereinigung j j j j Schnitt j nein j j wurde 1985 ewiesen L 1 L 2 = L 1 L 2 ( L 1 L 2 = L 1 L 2 L 1 L 2 = L 1 L 2 (de Morgn)) Flls Aschluss vorliegt unter Komplement und Schnitt / Vereinigung, dnn uch Aschluss unter Vereinigung / Schnitt Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 61 (von 74)

62 Minimlutomt Gegeen sei ein Automt M (evtl. mit unnötig vielen Zuständen) Gesucht: Anzhl M 0 mit minimler Anzhl Zuständen, so dss gilt T(M 0 ) = T(M) A B C 1 Beispiel: D E F Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 62 (von 74)

63 Minimlutomt (1) 1. Hypothese: Es geht mit 2 Zuständen (1 Endzustnd, 1 Nicht-Endzustnd) 2. Hypothese: 3 Zustände A,D,E 1 A,D,E 1 kein Konflikt Minimlutomt Es gilt: T(M 0 ) = { w { 0,1 }* w endet mit 0 oder mit 01 } Konflikt 0 0 B,C,F B,C 1 0 F 1 0 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 63 (von 74)

64 Minimlutomt (2) Bemerkung: Zu jeder Typ 3-Sprche L ist der zugehörige Minimlutomt M 0 mit L = T(M 0 ) eindeutig (is uf Bezeichnung der Zustände). Effizienter Äquivlenztest für Typ 3-Sprchen (Automten): Gegeen M 1, M 2, stelle fest, o T(M 1 ) = T(M 2 ). 1. Konstruiere zu M 1 den Minimlutomt. M Konstruiere zu M 2 den Minimlutomt. M Vergleiche M 01 und M 02 untereinnder. Flls M 01 identisch mit M 02, so T(M 1 ) = T(M 2 ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 64 (von 74)

65 Äquivlenzprolem für Endliche Automten Ds Äquivlenzprolem für endliche Automten ist (effizient) entscheidr. Methode: Gegeen sind die Automten M 1, M 2 : Konstruiere Minimlutomt zu M 1 M 1, und zu M 2 M 2 Es gilt T(M 1 ) = T(M 2 ) genu dnn, wenn M 1 ist isomorph zu M 2. d. h. M 1 und M 2 sind is uf die Benennung der Zustände identisch. Bemerkung: A Typ 2 (kontextfrei) ist ds Äquivlenzprolem unlösr (d. h. es git keinen immer stoppenden Algorithmus) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 65 (von 74)

66 Leerheitsprolem und Wortprolem Äquivlenzprolem Typ 3 E Typ 2 U Typ 1 U Typ 0 U E = entscheidr U = unentscheidr Leerheitsprolem E E U U Wortprolem E E E U Äquivlenzprolem gegeen: M 1, M 2, stelle fest, o T(M 1 ) = T(M 2 ) zw. G 1, G 2, stelle fest, o L(G 1 ) = L(G 2 ) Leerheitsprolem gegeen: G, stelle fest, o L(G) = Ø zw. M,stelle fest, o T(M) = Ø Wortprolem gegeen: G und x, stelle fest, o x L(G) zw. M und x, stelle fest, o x T(M) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 66 (von 74)

67 Kellerutomten Typ2 wird durch Kellerutomten eschrieen Skizze: lso: L ist vom Typ2 L = T(M) für einen Kellerutomten M A 1 A 2 A 3 A n endlicher Automt B 1 B 2 B 3 Kellerspeicher Stck, LIFO (Lst in, first out) push, pop-opertion Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 67 (von 74)

68 Turing-Mschine Typ0 wird durch die Turing-Mschine eschrieen (Aln Turing, ) Skizze: Areitsnd n endlicher Automt Mögliche Aktionen: - Lesen des ktuellen Zeichens - Üerschreien des Zeichens mit einem nderen Zeichen - Kopfewegung nch links und rechts - Üergng in einen neuen Zustnd Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 68 (von 74)

69 Berechenrkeit L ist vom Typ0 L = T(M) für eine Turingmschine M T(M) = { 1,, n M, ei Einge 1,, n stoppt nch endlich vielen Schritten im Endzustnd } (Die Automten heißen uch LBAs) Typ1 wird eschrieen durch liner eschränkte Turingmschinen. d. h. M drf die Felder links und rechts der Einge nicht esuchten / verändern. Die Eingefelder dürfen elieig verändert werden. Turing wollte mit seiner Mschine ds Konzept der Berechenrkeit forml eschreien. Church`sche These : Jede Art von Berechung / Algorithmus / Progrmm knn uch mit Hilfe einer Turingmschine formuliert werden. Also edeutet f ist erechenr (mittels elieiger Art von Berechnungsformlismus) dssele wie f ist mittels Turingmschine erechenr Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 69 (von 74)

70 Entscheidrkeit / Semi-Entscheidrkeit Definition: Eine Sprche L Σ* heißt entscheidr (oder uch rekursiv), flls es einen Algorithmus (z.b. Turingmschine) git mit: 1) x L Algorithmus ei Einge x, stoppt in endliche vielen Schritten und git 1 us. 2) x L Algorithmus ei Einge x, stoppt in endliche vielen Schritten und git 0 us. L heißt semi-entscheidr, flls nur (1) gilt: Im Fll von x L knn M evtl. so viele Schritte mchen. ndere Bezeichnung: rekursiv ufzählr Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 70 (von 74)

71 Semi-Entscheidrkeit Beispiel: L 1 = { 1 2 n {0, 1,,9}* 1 2 n ist Anfngsschnitt der Dezimlentwicklung von π } 31 L 1, 3141 L 1 56 L 1, 315 L 1, L 1 ist entscheidr: Strte Approximtionsverfhren für π, is genügend korrekte Ziffern feststehen, vergleiche diese mit 1 2 n L 2 = { 1 2 n 1 2 n kommt irgendwo in der Dezimlentwicklung von π vor } 141 L 2, 4159 L L 2 L 2 ist semi-entscheidr: Approximtionsverfhren liefert immer mehr exkte Ziffern von π, vergleiche diese mit 1 n. Flls 2 n vorkommt: stopp und gi 1 us. Möglicherweise ist L 2 nicht entscheidr. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 71 (von 74)

72 Hlteprolem Es gilt: L ist Typ0 L ist semi-entscheidr * Typ 0 entscheidr Typ 1 * Typ 2 * Typ 3 * * * es git entsprechende Beispielsprchen Hlteprolem (Selstnwendrkeitsprolem): Bemerkung: Progrmme (Turingmschinen) sind Wörter üer einem Alphet Σ Die Einge 1 n ist eenflls Wort üer Alphet. H = { x Σ* x ist Text eines Progrmms welches gestrtet mit x ls Einge nch endlich vielen Schritten stoppt } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 72 (von 74)

73 Hlteprolem (1) Stz H ist nicht entscheidr Beweis: (indirekt) Angenommen, H wäre entscheidr, d.h. es git Algorithmus, der H entscheidet x 1, flls x H 0, flls x H Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 73 (von 74)

74 Hlteprolem (2) Konstruiere weiteres Progrmm: x 1 0 unendliche Schleife stoppt Dieses Progrmm sei z є A* Entweder: z stoppt, gestrtet mit z ls Einge fiktives Progrmm für H git 0 us, ei Einge z z H z, gestrtet mit z, ls Einge, stoppt nicht. oder: z, gestrtet mit z ls Einge, stoppt nicht z ei Einge z, gerät in Schleife fiktives Progrmm für H git ei Einge z, 1 us z H z, ei Einge z, stoppt. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 74 (von 74)