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1 Proeklusur zum ersten Teil der Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 2015/ Novemer 2015 Dr. Frnzisk Jhnke, Dr. Dniel Plcín Bereitungszeit: 80 Minuten Nme... Mtrikel-Nr.... Studiengng So oder so ähnlich wird die Klusur ussehen. 2. Ihre Lösungen werden nicht ewertet, diese Klusur ist nur zum Üen d! 3. Die Lösungen werden Ihnen m in der Vorlesung vorgestellt. 4. Die `echte' Klusur m Semesterende wird eine Bereitungszeit von 120 Minuten hen. Dei werden 70 Punkte in 8 Aufgen gesmmelt werden können. Diese Proeklusur entspricht im Umfng den ersten 2/3 der Klusur. Nicht vergessen, uf llen Blättern die Mtrikelnummer einzutrgen, uf diesem Deckltt uch den Nmen sowie Ihren Studiengng! Aufge Σ mximle Punktzhl erreichte Punktzhl Bechten Sie die Hinweise uf der Rückseite! 1

2 Je nch Aufgenstellung müssen Sie Ihre Üerlegungen mehr oder weniger detilliert drlegen. Die folgende Üersicht eschreit, welcher Grd n Detilgenuigkeit von Ihnen erwrtet wird. Skizzieren der Vorgehensweise: Hier steht ds Ergenis der Aufge im Vordergrund. Bei einem richtigen Ergenis knn mn die volle Punktzhl erreichen. Wir empfehlen jedoch, Anmerkungen zum Lösungsweg zu mchen, so dss ei Rechenund Folgefehlern trotzdem noch Punkte erzielt werden können. Ausführen eines Algorithmus: Führen Sie den Algorithmus us. Ds heiÿt, sie protokollieren die Dtenstrukturen, welche während der Ausführung des Algorithmus ngelegt zw. verändert werden. Gegeenenflls erläutern Sie, wie Verzweigungen/Schleifen ei der Areitung durchlufen werden. Dokumentieren Sie ds Ergenis des Algorithmus. Kurz egründen: Führen Sie in 25 Sätzen us, wrum ein Schverhlt gilt, zw. elegen Sie durch ein Gegeneispiel, wrum dies nicht so ist. Ülicherweise müssen hier 23 eknnte Fkten zu einer neuen Aussge kominiert werden. Beweisen: Vollständiger Beweis gefordert. Alle TM-Progrmme können in Modulschreiweise ngegeen werden. Ws drf ich vorussetzen? Alle Aussgen, die in der Vorlesung zw. ls Üungsufge ewiesen wurden, dürfen ohne Beweis enutzt werden. Wenn in der Vorlesung gezeigt wurde, dss eine Sprche in einer (oder nicht in einer) estimmten Klsse liegt, dürfen Sie ds uch verwenden. Bei Anwendung eines Stzes muss mn zeigen, dss dessen Vorussetzungen erfüllt sind. Einzige Ausnhme von dieser Regel ilden Klusurufgen, die ereits ls Üungsufgen gestellt wurden. In diesem Fll müssen Sie die Aufge noch einml lösen. 2

3 Mtrikel-Nr.:... Aufge 1: Bezeichne A den folgenden DEA üer dem Alphet {, }: q 3 q 6 q 7 q 1 q 4 q 5 q 2 () Bestimmen Sie die äquivlenten Zustände mit Hilfe des Tle-Filling-Algorithmus. () Minimieren Sie A. Skizzieren Sie jeweils ihre Vorgehensweise. (8) Aufge 2: Betrchten Sie die folgende Grmmtik G (mit Strt-Symol S): S T R T LM L LL l m M m R RR r m Bestimmen Sie mit Hilfe des CYK-Algorithmus, welche der folgenden Wörter in der durch G gegeenen Sprche liegen: () llmr () lmlrm (8) 3

4 Aufge 3: () Betrchten Sie folgende Sprche üer dem Alphet Σ = {0, 1}: L :={w Σ w enthält gerde Anzhl von 1en} {w Σ w enthält ds Teilwort 010} Geen Sie einen DEA n, der die Sprche L erkennt. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. () Bezeichne A den folgenden NEA üer dem Alphet {, }: S Bestimmen Sie die Sprche, die von A erknnt wird. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. (10) Aufge 4: Betrchten Sie die folgende Sprche: L := { l m c n 0 < l < m < n} () Zeigen Sie mithilfe des kontextfreien Pumpinglemms, dss L nicht kontextfrei ist. () Welche der folgenden Wörter liegen in den gleichen Äquivlenzklssen der Myhill- Nerode Reltion zu L? Gruppieren Sie die Wörter entsprechend (ohne Begründung). 9 2 c 3 3 c c 4 6 c c 125 (10) 4

5 Mtrikel-Nr.:... Aufge 5: Seien L 1, L 2 zwei Sprchen üer dem Alphet Σ. Üerprüfen Sie die folgenden Aussgen uf ihre Richtigkeit. Begründen Sie kurz Ihre Antwort. () Sind L 1 und L 2 regulär, dnn ist uch regulär. L = {w Σ w Σ \ L 1 oder w L 1 L 2 } () Wenn L 1 = 2 n für eine ntürliche Zhl n gilt, dnn ist L 1 kontextfrei. (c) Sei L 1 eine Sprche, deren Myhill Nerode-Reltion unendlich viele Klssen ht. Dnn ist L 1 kontextfrei. (d) Wenn L 1 L 2 kontextfrei ist, dnn sind uch L 1 und L 2 kontextfrei. (10) 5

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