Zusammenhänge zwischen Sprachen und Automaten:

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1 Kellerutomten Jörg Roth Kellerutomten Zusmmenhänge zwischen prchen und utomten: $ x 12 v 9 q r 1 x Wir hen isher einen utomtentyp kennen gelernt, den endlichen utomten. Endliche utomten erkennen genu die Typ-3-prchen. Wir möchten diesen Zusmmenhng uch für ndere prchtypen herstellen: Grmmtik Regelsprche utomt Typ 0: llgemein llgemein Kpitel 5 Typ 1: nichtverkürzend kontextsensitiv ( Kpitel 5) Typ 2: kontextfrei kontextfrei Kpitel 4 Typ 3: liner regulär endlicher utomt

2 Kellerutomten Jörg Roth 274 ls nächsten chritt führen wir einen neuen utomtentyp ein den Kellerutomten. Kellerutomten erweitern ds utomtenmodell um einen peicherereich (dem Keller), uf dem der utomt Zwischenergenisse hinterlegen knn. Durch die Möglichkeit der peicherung wird die Fähigkeit zum Erkennen von prchen signifiknt erweitert. Die Grenze der endlichen utomten (formlisiert durch ds Pumping- Lemm) wr j drin egründet, dss die Zwischenergenisse eim Erkennen nur in dem ktuellen Zustnd gehlten werden mussten. Z.B. Kellernd Zählen von Zeichen wr dmit nicht möglich. Wir zeigen, dss die prchen, die von Eingend Kellerutomten erknnt werden, gerde Lesekopf die Typ-2-prchen sind. Zustndsüergngskontrolle und Zustände chrei- Lesekopf

3 Kellerutomten Jörg Roth 275 chließlich efssen wir uns noch mit der yntxnlyse: Gegeen eine Grmmtik und ein Wort; welche leitung erzeugt ds Wort? Durch die yntxnlyse entscheiden wir, o ein Wort zur prchen gehört und welche truktur es ht. (wichtig z.b. für Compiler) C cc C D T B D T B B c c

4 Kellerutomten Jörg Roth 280 Illustrtion der Funktionsweise des Kellerutomten: Fll 1: δ(s, x, k)={(s, k )} mit k ε v w x y v w x y h i j k R T δ(, x, k)={(t, mno)} h i j m n o R T Bemerkung: δ(s, x, k) knn mehr ls ein Tupel (s i, k i ) enthlten. In diesem Fll verzweigt der utomt nichtdeterministisch und erzeugt Repliktionen (nlog zum nichtdeterministischen endlichen utomten).

5 Kellerutomten Jörg Roth 281 Fll 2: δ(s, x, k)={(s, k )} mit k =ε v w x y v w x y R T R T h i j k ε δ(, x, k)={(t, )} h i j

6 Kellerutomten Jörg Roth 282 Fll 3: δ(s, ε, k)={(s, k )} mit k ε v w x y v w x y h i j k R T δ(, ε, k)={(t, mno)} h i j m n o R T Bemerkung: nlog zu Fll 2 git es ntürlich uch den Fll δ(s, ε, k)={(s, k )} mit k =ε. In diesem Fll wird keine Einge gelesen er k vom Keller entfernt.

7 Kellerutomten Jörg Roth 284 r (, )/ ε s (, )/ (, )/ (, )/ ε Der Kellerutomt erkennt die Elemente von L = { n n n }. Bemerkungen: Diese prche konnte isher nicht erknnt werden Funktionsweise: erstes : wird durch uf Kellernd ersetzt weitere : ein uf Kellernd wird hinzugefügt s: konsumieren lle s uf dem Kellernd Der utomt kzeptiert nicht üer einen estimmten Endezustnd (F = ) sondern üer leerem Keller (siehe Definition 4.3, Punkt 2).

8 Kellerutomten Jörg Roth 285 Beispielluf des Kellerutomten ei Einge von : r s r s δ (r,, )={(r, )} δ(r,, )={(r, )} r s r s r s δ (r,, )={(s, ε )} δ (s,, )={(s, ε )} TOP

9 Kellerutomten Jörg Roth 290 Erläuterungen zum Kellerutomt für Plindrome: ei X ={, }, k 0 =#. Plindrom ht nur ein Zeichen Ein Zeichen der Wortmitte lesen (, #)/ε (, #)/ε (, )/ (, )/ (, )/ε (, )/ε Erstes Zeichen der zweiten Worthälfte vom Keller nehmen ( ε, #)/ε (, )/ (, )/ Plindrom ist leeres Wort T (, #)/ (, #)/ (, )/ (, )/ (, )/ (, )/ # vom Keller nehmen Zeichen der ersten Worthälfte uf den Keller pcken (, )/ε (, )/ε Zeichen der zweiten Worthälfte vom Keller nehmen

10 Kellerutomten Jörg Roth rithmetische usdrücke... werden üersprungen Nur ds Wichtigste in Kürze: Die prche der rithmetischen usdrücke (z.b.: (+)*(c-d)) knn durch Kellerutomten erknnt werden. Wir können eine lterntive usdrucksweise für rithmetische usdrücke ngeen, die so gennnte Umgekehrte Polnische Nottion (UPN). ohne Klmmern, tpel-orientiert nhe n der reitung von rithmetischen usdrücken uf relen Rechnern Beispiel: (+)*(c-d) +cd-* Wir führen Kellerutomten mit usge ein und können einen Kellerutomten ngeen, der zwischen den Nottionen konvertiert.

11 Kellerutomten Jörg Roth yntxnlyse Mit einer Grmmtik werden Elemente einer prche L erzeugt. ufge der yntxnlyse ist es, die truktur einer Zeichenkette x zu erkennen und zu entscheiden, o x L oder o x L. In der englischen Litertur wird dieser Prozess ls "prsing" ezeichnet. Dies ist i.. eine komplizierte ufge. Beispiel: eine HTML-eite <HTML> <TITLE>Beispieltitel</TITLE> <BODY> <P> Dies ist ein Beispiel </P> </BODY> </HTML>

12 Kellerutomten Jörg Roth 295 Erst einml müssen wir wissen, o dieser Text zur prche gehört In HTML-Browsern wird dieser Punkt (esichtigt) sehr lx gehndht. Für Progrmmiersprchen ein essenzieller Punkt. ls nächstes möchten wir uskunft üer die truktur des Textes erhlten <HTML> <TITLE>Beispieltitel</TITLE> <BODY> <P> Dies ist ein Beispiel </P> </BODY> </HTML> Ds Teilwort "Beispieltitel" ist eispielsweise der eitentitel dieses Wissen ist notwendig, dmit die eite richtig drgestellt wird. TITLE Beispieltitel PGE BODY PRGRPH Dies ist ein Beispiel

13 Kellerutomten Jörg Roth 296 Die yntxnlyse ist meistens ein zweistufiger Prozess: 1. Die lexiklische nlyse zerlegt den Text in Token, lso in Teilworte, die ls Einheit etrchtet werden können. o wird eispielsweise ds Wort <HTML> später wie ein einziges ymol ehndelt und die Zusmmensetzung "<", "H", "T", "M", "L", ">" interessiert nicht mehr. Ds Progrmm, ds den Eingetext in Token zerlegt wird lexiklischer cnner (uch Lexer) gennnt. Lexiklische cnner enötigen (nur) die Berechnungskrft endlicher utomten.

14 Kellerutomten Jörg Roth Die eigentliche yntxnlyse erzeugt für die Einge (estehend us Token) einen yntxum und prüft dzu, o die Einge üerhupt zur prche gehört. Für kontextfreie prchen ist hierfür die Berechnungskrft eines Kellerutomten notwendig. Es git zwei prinzipielle Vorgehensweisen für die yntxnlyse: Top-Down: Mn strtet mit dem trtsymol ls Wurzel und erzeugt den yntxum "nch unten" is hin zu den Terminlsymolen. Bottom-Up: Mn strtet mit dem nfng des Eingewortes und erzeugt den yntxum "nch oen".

15 Kellerutomten Jörg Roth 298 Prinzipielle Vorgehensweise eim Top-Down-Prsing: Wir erzeugen eine leitungsfolge x. Wir strten mit und verwndeln es durch Ersetzung von nichtterminlen ymolen nch und nch in ds gesuchte Wort x. ymole, die noch nicht in Teile des Wortes x verwndelt werden konnten, werden uf dem Keller eines Kellerutomten gelegt. Ds Eingend des Kellerutomten enthält ds Wort x und wird nch und nch gereitet. Immer wenn durch die nwendung einer Produktion terminle ymole erzeugt werden die zur Einge pssen, wird die Einge weitergeschltet. * ymole, die noch in Bestndteile von x verwndelt werden müssen d x schon produzierter Teil von x c c d

16 Kellerutomten Jörg Roth 299 Vorgehen im Detil: Wir fngen mit n und legen es uf den Keller. Wir etrchten ds oerste ymol des Kellers. Ist es ein Terminlsymol und psst es zur Einge, wird es vom Keller entfernt und die Einge weitergeschltet. Wir wählen eine geeignete Produktion, deren linke eite dem oersten ymol des Kellers entspricht und der deren rechte eite zu dem noch nicht gereiteten Rest von x psst. Wir ersetzen ds gewählte nichtterminle ymol uf dem Keller durch die rechte eite der Produktion. Ds wird solnge wiederholt, is die Einge gereitet wurde. Ist der Keller leer, so wurde ds Wort kzeptiert.

17 Kellerutomten Jörg Roth 300 Beispiel. ei L ={ n (cc) m d n, m 0 } Die Grmmtik G =({, }, {,, c, d},, {, d cc}) erzeugt L. Die yntxnlyse für ccd c c d c c d c c d

18 Kellerutomten Jörg Roth 301 c c d cc c c d -- c c c

19 Kellerutomten Jörg Roth 302 c c d c c d d c c c c d

20 Kellerutomten Jörg Roth 303 Beispiel. ei L ={ n n n } Die Grmmtik G =({}, {, },, {, }) erzeugt L. Die yntxnlyse für

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22 Kellerutomten Jörg Roth 305 Proleme: Es git Grmmtiken, ei denen dieses Vorgehen zu einer Endlosschleife führt (mit der Produktion ) Ds Wählen einer geeigneten Produktion ist u.u. schwierig, wenn mehrere Produktionen in Frge kommen. Ds führt zu nichtdeterministischen Kellerutomten. Es git er Grmmtiken, ei denen es eine effiziente Implementierung für die uswhl git. Die uswhl einer geeignete Produktion knn ddurch gesteuert werden, dss mn eine estimmte nzhl von Zeichen der Einge im Vorgriff etrchtet (symol look hed). Beispiele: Einge c, zu ersetzendes ymol, wähle d ds vorne ist. Dies ist (möglicherweise) eine geeignete Whl. Einge c, zu ersetzendes ymol, wähle cc d ds c vorne ist. Diese Produktion führt nicht zu Ziel.

23 Kellerutomten Jörg Roth 306 Prinzipielle Vorgehensweise eim Bottom-Up-Prsing: Wir erzeugen eine leitungsfolge x in umgekehrter Reihenfolge. Wir strten mit dem m meisten links stehenden ymol von x und legen es uf den Keller (reiten dei die Einge ). Entsprechen die oersten ymole uf dem Keller einer rechten Produktionsseite, so ersetzen wir diese uf dem Keller durch die linke eite der Produktion (uch hier müssen wir u.u. nichtdeterministisch wählen). Git es noch keine pssende rechte eite einer Produktion, so reiten wir ein weiteres ymol der Einge und legen es uf den Keller. Ds wird solnge wiederholt is die Einge gereitet ist. Bei Erfolg liegt nur ds trtsymol uf dem Keller. *

24 Kellerutomten Jörg Roth 307 Beispiel. ei G =({, }, {, },, {, }) leitung von : -- --

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28 Kellerutomten Jörg Roth Kellerutomten und kontextfreie prchen In diesem Kpitel wollen wir zeigen, dss die Klsse der durch Kellerutomten definierten prchen gleich der Klsse der kontextfreien prchen ist. Wir zeigen dies in zwei chritten Wir ordnen einer kontextfreien Grmmtik einen Kellerutomten zu. Wir ordnen einem Kellerutomten eine kontextfreie Grmmtik zu. Die zugehörigen prchen verändern sich dei nicht. Ideen: Grmmtik Kellerutomt: Der utomt reitet wie ein Top-Down- Prser Kellerutomten Grmmtik: wir definieren neue nichtterminle ymole us Kellersymol Zustnd Zustnd

29 Kellerutomten Jörg Roth 313 Illustrtion des einer Grmmtik zugeordneten Kellerutomten ( ε, x)/u n...u 1 lle Produktionen x u 1...u n k (t, t)/ε lle t T

30 Kellerutomten Jörg Roth 316 Konfigurtionsfolge (z, ccd, ) (z, ccd, ) (z, ccd, ) (z, ccd, ) (z, ccd, ) (z, ccd, ) (z, ccd, ) (z, ccd, cc) (z, cd, c) (z, d, ) (z, d, d) (z, ε, ε) leitung cc ccd Produktion cc d

31 Kellerutomten Jörg Roth 319 Konfigurtionsfolge (z,, ) (z,, ) (z,, ) (z,, ) (z,, ) (z,, ) (z, ε, ε) leitung Produktion

32 Kellerutomten Jörg Roth 323 Motivtion für die geschlossenheit zgl. Vereinigung, Komplexprodukt und Kleene-Opertor: Wenn wir kontextfreie Grmmtiken, G 1, G 2 und G hen, können wir leicht kontextfreie Grmmtiken G v, G k und G * erzeugen, indem wir die Produktionen von G 1, G 2 zw. G nehmen und folgende Produktionen hinzunehmen: für G v : v 1 2 ( v sei ds trtsymol von G v, 1 von G 1 und 2 von G 2 ) für G k : 1 2 ( k sei ds trtsymol von G k ) für G * : 0 0 ε ( * sei ds trtsymol von G *, 0 von G)

33 Kellerutomten Jörg Roth 324 ndere Möglichkeit: wenn wir Kellerutomten 1, 2 und hen, können wir leicht Kellerutomten v, k und * erzeugen: v 1 ( ε, k 0 )/k ε (, k 0 )/k 0 k 1 ( ε, k 0 )/k 1 k ( ε, k 1 )/k * ( ε, k 0 )/ε ε (, k 0 )/k 0 k 0... ε (, k 0 )/k 0

34 Kellerutomten Jörg Roth 329 lterntiver Beweis zu Corollr 4.14 ei L ={ i j c k i, j, k, i j oder i k} L ist die Vereinigung kontextfreier prchen (Kellerutomten dzu können leicht konstruiert werden) L ={ i j c k i<j} { i j c k i>j} { i j c k i<k} { i j c k i>k} und ist deshl kontextfrei. nnhme: L ist deterministisch kontextfrei. Dnn müsste uch L deterministisch kontextfrei sein (tz 4.13). Dnn müsste er L L(**c*) kontextfrei sein, d L(**c*) regulär (tz 4.11). L L(**c*) ist er { n n c n n } und nicht kontextfrei (Corollr 3.18). Dmit Widerspruch zur nnhme.

35 Grmmtik Regelsprche utomt Kellerutomten Jörg Roth 330 Bisherige Erkenntnisse üer Regelsprchen, utomten und geschlossenheit: geschlossenheit Typ 0: llgemein llgemein?? Typ 1: nichtverkürzend kontextsensitiv?? Typ 2: kontextfrei kontextfrei nichtdeterministischer Kellerutomt deterministisch kontextfrei deterministischer Kellerutomt Typ 3: liner regulär endlicher utomt