14 E N D L I C H E AU T O M AT E N erstes beispiel: ein getränkeautomat

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2 14 E N D L I H E AU T O M AT E N 14.1 erstes beispiel: ein getränkeutomt Als erstes Beispiel betrchten wir den folgenden primitiven Getränkeutomten (siehe Abbildung 14.1). Mn knn nur 1-Euro-Stücke einwerfen und vier Tsten drücken: Es gibt zwei Auswhltsten für Minerlwsser rein und itronensprudel zitro, eine Abbruch-Tste und eine OK -Tste. Jede Flsche Sprudel kostet 1 Euro. Es knn ein Guthben von 1 Euro gespeichert werden. Wirft mn weitere Euro-Stücke ein, werden sie sofort wieder usgegeben. Wenn mn mehrfch Auswhltsten drückt, wird der letzte Wunsch gespeichert. Bei Drücken der Abbruch-Tste wird lles bereits eingeworfenen Geld wieder zurückgegeben und kein Getränkewunsch mehr gespeichert. Drücken der OK-Tste wird ignoriert, solnge noch kein Euro eingeworfen wurde oder keine Getränkesorte usgewählt wurde. Andernflls wird ds gewünschte Getränk usgeworfen. Geld- Einwurf Sprudel rein zitro OK Geld- ückgbe Wre Abbildung 14.1: Ein primitiver Getränkeutomt Dieser Getränkeutomt im umgngssprchlichen Sinne ist uch ein endlicher Automt wie sie in der Informtik n vielen Stellen eine olle spielen. 135

3 Offensichtlich muss der Automt zwischen den vielen Eingben, die sein Verhlten beeinflussen können (Geldeinwürfe und Getränkewhl), gewisse Nchrichten (im Sinne von Abschnitt 2.3) speichern. Und zwr zum einen, ob schon ein 1-Euro-Stück eingeworfen wurde, und zum nderen, ob schon ein Getränk usgewählt wurde und wenn j, welches. Mn knn ds zum Beispiel modellieren durch Pre (x, y), bei denen die Komponente x {0, 1} den schon eingeworfenen Geldbetrg ngibt und Komponente y {-,, } die Getränkewhl repräsentiert. Wir wollen = {0, 1} {-,, } die Menge der möglichen ustände des Automten nennen. Der erste wesentliche Aspekt jedes Automten ist, dss Einflüsse von ußen, die wir Eingben nennen, zu ustndsänderungen führen. Bei dem Getränkeutomten sind mögliche Eingben der Einwurf eines 1-Euro-Stückes und ds Drücken einer der Tsten (wir wollen dvon bsehen, dss jemnd vielleicht mehrere Tsten gleichzeitig drückt). Wir modellieren die möglichen Eingben durch Symbole 1,,, und O, die zusmmen ds sogennnte Eingbelphbet X bilden. Ein ktueller ustnd z und ein Eingbesymbol x X legen jedenflls bei dem Getränkeutomten eindeutig den neuen ustnd fest. Dieser Aspekt eines endlichen Automten knn lso durch eine endliche Funktion f : X formlisiert werden. In vielen Fällen ist es hilfreich, diese Funktion nicht durch eine Tbelle zu spezifizieren, sondern durch eine Drstellung ls Grph wie in Abbildung (0, -) (0, ) (0, ) (1, -) (1, ) (1, ) Abbildung 14.2: Grphische Drstellung der ustndsübergänge des Getränkeutomten für die drei Eingbesymbole 1, und. Die ustände sind die Knoten des Grphen, und es gibt gerichtete Knten, die mit Eingbesymbolen beschriftet sind. Für jedes z und jedes x X führt eine mit gbi:skript: c worsch

4 x beschriftete Knte von z nch f (z, x). Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in Abbildung 14.2 zunächst einml nur die ustndsübergänge für die Eingbesymbole 1, und drgestellt. Hinzu kommen noch die us Abbildung 14.3 für die Eingben und O. Wenn bei einem ustnd für mehrere Eingbesymbole der Nchfolgezustnd der gleiche ist, dnn zeichnet mn oft nur einen Pfeil und beschriftet ihn mit llen Eingbesymbolen, durch Kommt getrennt. In Abbildung 14.3 betrifft ds den Übergng von ustnd (1, ) nch ustnd (0, -) für die Eingben O und (und nlog von den uständen (1, ) und (0, -)). (0, -) O, (0, ) O (0, ) O O, O, (1, -) O (1, ) (1, ) Abbildung 14.3: Grphische Drstellung der ustndsübergänge des Getränkeutomten für die Eingbesymbole und O. Stellt mn lle Übergänge in einem Digrmm dr, ergibt sich Abbildung Der zweite wichtige Aspekt jedes Automten ist, dss sich seine Arbeit, im vorliegenden Fll lso die ustndsübergänge, zumindest von eit zu eit in irgendeiner Weise uf seine Umwelt uswirken (wrum sollte mn ihn sonst rbeiten lssen). Beim Getränkeutomten zeigt sich ds in der Ausgbe von Geldstücken und Getränkeflschen. Dzu sehen wir eine Menge Y = {1,, } von Ausgbesymbolen vor, deren Bedeutung klr sein sollte. Beim Getränkeutomten ist es plusibel zu sgen, dss jedes Pr (z, x) von ktuellem ustnd z und ktueller Eingbe x eindeutig einen neuen ustnd festlegt, es ebenso eindeutig eine Ausgbe festlegt. Wir formlisieren ds ls eine Funktion g : X Y. Als Funktionswerte sind lso Wörter von Symbolen us Y erlubt, einschließlich des leeren Wortes, ds mn zur Modellierung von keine Ausgbe verwenden knn. Auch die Funktion g wird üblicherweise in den ustndsübergngsdigrmmen mit ngegeben, und zwr n der jeweiligen Knte neben dem Eingbesymgbi:skript: c worsch

5 O,,O (0, -) (0, ) (0, ) 1 1 1,O 1,O O, O, (1, -) (1, ) (1, ) 1, 1, Abbildung 14.4: Grphische Drstellung der ustndsübergänge des Getränkeutomten für lle Eingbesymbole. bol, von diesem durch einen senkrechten Strich getrennt (mnche nehmen uch ein Komm). Aus Abbildung 14.4 ergibt sich Abbildung mely-utomten Mely-Automt Ein (endlicher) Mely-Automt A = (, z 0, X, f, Y, g) ist festgelegt durch eine endliche ustndsmenge, einen Anfngszustnd z 0, ein Eingbelphbet X, eine ustndsüberführungsfunktion f : X, ein Ausgbelphbet Y, eine Ausgbefunktion g : X Y Für einen ustnd z und ein Eingbesymbol x X ist f (z, x) der ustnd nch Eingbe dieses einzelnen Symbols usgehend von ustnd z. Gleichzeitig mit jedem ustndsübergng wird eine Ausgbe produziert. Wir modellieren ds ls Wort g(z, x) Y. In grphischen Drstellungen von Automten wird der Anfngszustnd üblicherweise ddurch gekennzeichnet, dss mn einen kleinen Pfeil uf ihn zeigen lässt, der nicht bei einem nderen ustnd nfängt. Mnchml möchte mn uch über den nch Eingbe eines gnzen Wortes w X erreichten ustnd oder über lle dbei durchlufenen ustände (eingbi:skript: c worsch

6 ε O ε, ε 1 1,O ε ε ε ε,o ε ε (0, -) (0, ) (0, ) ε ε 1 ε 1 ε 1 ε 1 O, 1 O, 1 ε (1, -) ε (1, ) (1, ) 1 1, ε ε ε ε,o ε 1 1, ε Abbildung 14.5: Grphische Drstellung der ustndsübergänge und Ausgben des Getränkeutomten für lle Eingbesymbole. schließlich des Anfngszustnds) reden. Und mnchml will mn uch bei den Ausgben über llgemeinere Aspekte sprechen. Um ds bequem hinzuschreiben zu können, definieren wir Abbildungen f und f und nlog g und g. Dbei soll der erste Stern ndeuten, dss zweites Argument nicht ein einzelnes Eingbesymbol sondern ein gnzes Wort von Eingbesymbolen ist; und der zweite Stern soll gegebenenflls ndeuten, dss wir uns nicht für einen einzelnen Funktionswert (von f bzw. g) interessieren, sondern wiederum für ein gnzes Wort von ihnen. Als erstes legen wir f : X fest: f f (z, ε) = z w X : x X : f (z, wx) = f ( f (z, w), x) Alterntiv hätte mn uch definieren können: f (z, ε) = z w X : x X : f (z, xw) = f ( f (z, x), w) Mchen Sie sich bitte klr, dss beide Definitionen die gleiche Funktion liefern (lso f = f ): Für Argumente z und w X ist f (z, w) der ustnd, in dem der Automt sich m Ende befindet, wenn er in z strtet und der eihe nch die Eingbesymbole von w eingegeben werden. Je nchdem, ws für einen gbi:skript: c worsch

7 f Beweis bequem ist, können Sie die eine oder die ndere Definitionsvrinte zu Grunde legen. Ds gleiche gilt für die folgenden Funktionen. (Sie dürfen sich ber ntürlich nicht irgendeine Definition ussuchen, sondern nur eine, die zur explizit ngegebenen äquivlent ist.) D wir vielleicht uch einml nicht nur über den m Ende erreichten ustnd, sondern bequem über lle der eihe nch durchlufenen (einschließlich des ustnds, in dem mn nfängt) reden wollen, legen wir nun f : X für lle z wie folgt fest: f (z, ε) = z w X : x X : f (z, wx) = f (z, w) f ( f (z, w), x) g Auch hier gibt es wieder eine lterntive Definitionsmöglichkeit, indem mn nicht ds letzte, sondern ds erste Symbol des Eingbewortes seprt betrchtet. Nun zu den verllgemeinerten Ausgbefunktionen. uerst definieren wir die Funktion g : X Y, deren Funktionswert die zum letzten Eingbesymbol gehörende Ausgbe sein soll. Ds geht für lle z so: g (z, ε) = ε w X : x X : g (z, wx) = g( f (z, w), x) g Um uch über die Konktention der zu llen Eingbesymbolen gehörenden Ausgben reden zu können, definieren wir die Funktion g : X Y für lle z wie folgt: w X : x X : g (z, ε) = ε g (z, wx) = g (z, w) g (z, wx) 14.3 moore-utomten Moore-Automt Mnchml ist es näherliegend, sich vorzustellen, dss ein Automt in jedem ustnd eine Ausgbe produziert, und nicht bei jedem ustndsübergng. Dementsprechend ist ein Moore-Automt A = (, z 0, X, f, Y, h) festgelegt durch eine endliche ustndsmenge, einen Anfngszustnd z 0, ein Eingbelphbet X, eine ustndsüberführungsfunktion f : X, ein Ausgbelphbet Y, eine Ausgbefunktion h : Y gbi:skript: c worsch

8 q ε 0 b q 0 q b 0 b q f 1, b q r 0, b b Abbildung 14.6: Ein einfcher Moore-Automt (us der Dokumenttion des L A TEX- Pkets tikz; modifiziert) Als einfches Beispiel betrchten wir den Automten in Abbildung 14.6 mit 5 uständen, Eingbelphbet X = {, b} und Ausgbelphbet Y = {0, 1}. In jedem Knoten des Grphen sind jeweils ein ustnd z und, wieder durch einen senkrechten Strich getrennt, die zugehörige Ausgbe h(z) notiert. Die Definitionen für f und f knn mn ohne Änderung von Mely- zu Moore-Automten übernehmen. um Beispiel ist im obigen Beispiel f (q ε, b) = q r, denn bei Eingbe b durchläuft der Automt usgehend von q ε ncheinnder die ustände q ε q q q b q f q r Und folglich ist uch f (q ε, b) = q ε qqqq f q r. Bei Mely-Automten htten wir zu g die Verllgemeinerungen g und g definiert, die ls Argumente einen Strtzustnd z und ein Eingbewort w X erhielten und deren Funktionswerte die letzte Ausgbe bzw. die Konktention ller Ausgben wren. Entsprechendes knn mn ntürlich uch bei Moore-Automten festlegen. Die Definitionen fllen etws einfcher us ls bei Mely-Automten. um Beispiel ist g : X Y einfch hinzuschreiben ls g (z, w) = h( f (z, w)) (für lle (z, w) X ). Also kurz: g = h f. Im obigen Beispielutomten ist etw f f g g (q ε, b) = h( f (q ε, b)) = h(q r ) = 0 gbi:skript: c worsch

9 g ds zuletzt usgegebene Bit, wenn mn vom Strtzustnd usgehend b eingibt. Auch g : X Y für die Konktention ller Ausgben ist leicht hinzu- schreiben, wenn mn sich des Begriffes des Homomorphismus erinnert, den wir in Unterbschnitt kennengelernt hben. Die Ausgbebbildung h : Y induziert einen Homomorphismus h : Y (indem mn einfch h uf jeden ustnd einzeln nwendet). Dmit ist für lle (z, w) X einfch g (z, w) = h ( f (z, w)), lso g = h f. In unserem Beispiel ist g (q ε, b) = h ( f (q ε, b)) = h (q ε qqqq f q r ) = h(q ε )h(q)h(q)h(q)h(q f )h(q r ) = endliche kzeptoren kzeptierender ustnd blehnender ustnd endlicher Akzeptor Ein besonders wichtiger Sonderfll endlicher Moore-Automten sind sogennnte endliche Akzeptoren. Unser Beispiel im vorngegngenen Abschnitt wr bereits einer. Die Ausgbe ist bei einem Akzeptor immer nur ein Bit, ds mn interpretiert ls die Mitteilung, dss die Eingbe gut oder schlecht wr, oder mit nderen Worten syntktisch korrekt oder syntktisch flsch (für eine gerde interessierende Syntx). Forml ist bei einem endlichen Akzeptor lso Y = {0, 1} und z : h(z) Y. Mn mcht es sich dnn üblicherweise noch etws einfcher, und schreibt sttt der Funktion h einfch die Teilmenge der sogennnten kzeptierenden ustände uf. Dmit ist F = {z h(z) = 1} gemeint. ustände, die nicht kzeptierend sind, heißen uch blehnend. Ein endlicher Akzeptor A = (, z 0, X, f, F) ist lso festgelegt durch eine endliche ustndsmenge, einen Anfngszustnd z 0, ein Eingbelphbet X, eine ustndsüberführungsfunktion f : X, eine Menge F kzeptierender ustände In grphischen Drstellungen werden die kzeptierenden ustände üblicherweise durch doppelte Kringel sttt einfcher gekennzeichnet. Abbildung 14.7 zeigt den gleichen Automten wie Abbildung 14.6, nur in der eben beschriebenen Form drgestellt. Es ist F = {q f }, weil q f der einzige ustnd mit Ausgbe 1 ist. gbi:skript: c worsch

10 q b q ε q f, b q r, b b q b b Abbildung 14.7: Ein einfcher Akzeptor (us der Dokumenttion des L A TEX-Pkets tikz; modifiziert) Beispiele formler Sprchen, die von endlichen Akzeptoren kzeptiert werden können Mn sgt, ein Wort w X werde kzeptiert, flls f (z 0, w) F ist, d. h. wenn mn usgehend vom Anfngszustnd bei Eingbe von w in einem kzeptierenden ustnd endet. Wird ein Wort nicht kzeptiert, dnn sgt mn, dss es bgelehnt wird. Ds schon mehrfch betrchtete Wort b wird lso bgelehnt, weil f (z 0, b) = q r / F ist. Aber z. B. ds Wort b wird kzeptiert. Ds gilt uch für lle nderen Wörter, die mit einer Folge von mindestens einem beginnen, uf ds genu ein b folgt, lso lle Wörter der Form k b für ein k N +. Und es werden uch lle Wörter kzeptiert, die von der Form b k sind (k N + ). Die von einem Akzeptor A kzeptierte formle Sprche L(A) ist die Menge ller von ihm kzeptierten Wörter: kzeptiertes Wort bgelehntes Wort kzeptierte formle Sprche In unserem Beispiel ist lso L(A) = {w X f (z 0, w) F} L(A) = {} + {b} {b} + {}, denn ußer den oben gennnten Wörtern werden keine nderen kzeptiert. Ds knn mn sich klr mchen, in dem mn überlegt, dss Wörter ohne ein b oder ohne ein bgelehnt werden dss Wörter, die sowohl mindestens zwei ls uch mindestens zwei b enthlten, bgelehnt werden, und gbi:skript: c worsch

11 dss Wörter bgelehnt werden, die z. B. nur genu ein enthlten, ber sowohl dvor ls uch dhinter mindestens ein b, bzw. umgekehrt. Eine im Alltg öfters vorkommende Aufgbe besteht drin, us einer Textdtei diejenigen eilen zu extrhieren und z. B. uszugeben, in denen ein gewisses Wort vorkommt (und lle nderen eilen zu ignorieren). Jede eile der Textdtei ist eine eichenkette w, die druf hin untersucht werden muss, ob ein gewisses Textmuster m drin vorkommt. So etws knn ein endlicher Akzeptor durchführen. Als Beispiel betrchten wir ds Textmuster m = bbb über dem Eingbelphbet X = {, b}. iel ist es, einen endlichen Akzeptor A zu konstruieren, der genu diejenigen Wörter kzeptiert, in denen irgendwo m ls Teilwort vorkommt. Die erknnte Sprche soll lso L(A) = {w 1 bbbw 2 w 1, w 2 {, b} } sein. Mn knn diese Aufgbe ntürlich gnz unterschiedlich ngehen. Eine Möglichkeit, besteht drin, erst einml einen Teil des Akzeptors hinzumlen, der offensichtlich oder jedenflls (hoffentlich) plusibel ist. b b b z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5, b Abbildung 14.8: Teil eines Akzeptors für Wörter der Form w 1 bbbw 2 Dmit sind wir ber noch nicht fertig. Denn erstens werden noch nicht lle gewünschten Wörter kzeptiert (z. B. bbbb), und zweitens verlngt unsere Definition endlicher Akzeptoren, dss für lle Pre (z, x) der nächste ustnd f (z, x) festgelegt wird. um Beispiel die genuere Betrchtung des Wortes bbbb gibt weitere Hinweise. Nch Eingbe von bb ist der Automt in z 4. Wenn nun wieder ein kommt, dnn drf mn nicht nch ustnd z 5 gehen, ber mn ht zuletzt wieder b gesehen. Ds lässt es sinnvoll erscheinen, A wieder nch z 3 übergehen zu lssen. Durch weitere Überlegungen knn mn schließlich zu dem Automten us Abbildung 14.9 Wir unterlssen es hier, im Detil zu beweisen, dss der Akzeptor us Abbildung 14.9 ttsächlich die gewünschte Sprche erkennt. Mn mche sich ber klr, dss für 0 i 4 die folgende Aussge richtig ist: A ist genu dnn in ustnd z i, wenn ds längste Suffix der bisher gelesenen Eingbe, ds Präfix von bbb ist, gerde Länge i ht. Für z 5 ist die Aussge etws nders; überlegen Sie sich eine pssende Formulierung! gbi:skript: c worsch

12 b b b b z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 b, b Abbildung 14.9: Der vollständige Akzeptor für lle Wörter der Form w 1 bbbw Eine formle Sprche, die von keinem endlichen Akzeptoren kzeptiert werden knn Wir hben gesehen, dss es formle Sprchen gibt, die mn mit endlichen Akzeptoren erkennen knn. Es gibt ber uch formle Sprchen, die mn mit endlichen Akzeptoren nicht erkennen knn. Ein klssisches Beispiel ist die Sprche L = { k b k k N 0 }. Bevor wir diese Behuptung beweisen, sollten Sie sich (flls noch nötig) klr mchen, dss mn ntürlich ein (Jv-)Progrmm schreiben knn, dss von einer beliebigen eichenkette überprüft, ob sie die eben ngegebene Form ht. Mn knn lso mit llgemeinen Algorithmen echt mehr Probleme lösen ls mit endlichen Automten Lemm. Es gibt keinen endlichen Akzeptor A mit L(A) = { k b k k N 0 }. Können Sie sich klr mchen, ws diese Sprche zu schwer mcht für endliche Akzeptoren? Informell gesprochen muss mn zählen und sich genu merken, wieviele m Anfng eines Wortes vorkommen, dmit ihre hl mit der der b m Ende vergleichen knn Beweis. Mchen wir diese Idee präzise. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen n: Es gibt einen endlichen Akzeptor A, der genu L = { k b k k N 0 } erkennt. Diese Annhme müssen wir zu einem Widerspruch führen. A ht eine gewisse Anzhl ustände, sgen wir = m. Betrchten wir ein spezielles Eingbewort, nämlich w = m b m. 1. Offensichtlich ist w L. Wenn lso L(A) = L ist, dnn muss A bei Eingbe von w in einen kzeptierenden ustnd z f gelngen: f (z 0, w) = z f F. gbi:skript: c worsch

13 2. Betrchten wir die ustände, die A bei Eingbe der ersten Hälfte des Wortes durchläuft: f (z 0, ε) = z 0, f (z 0, ), f (z 0, ),..., f (z 0, m ). Nennen wir diese ustände llgemein z i, d. h. für 0 i m ist z i = f (z 0, i ). Mit nderen Worten: f (z 0, m ) = z 0 z 1 z m. Offensichtlich gilt dnn: f (z m, b m ) = z f. Andererseits besteht die Liste z 0 z 1 z m us m + 1 Werten. Aber A ht nur m verschiedene ustände. Also kommt mindestens ein ustnd doppelt vor. D. h. der Automt befindet sich in einer Schleife. Sei etw z i = z j für gewisse i < j. Genuer sei z i ds erste Auftreten irgendeines mehrfch uftretenden ustndes und z j ds zweite Auftreten des gleichen ustndes. Dnn gibt es eine Schleife der Länge l = j i > 0. Und ist der Automt erst einml in der Schleife, dnn bleibt er ntürlich drin, solnge er weitere ls Eingbe erhält. Also ist uch z m l = z m. 3. Nun entfernen wir einige der in der Eingbe, so dss die Schleife einml weniger durchlufen wird, d. h. wir betrchten die Eingbe w = m l b m. Wie verhält sich der Akzeptor bei dieser Eingbe? Nchdem er ds Präfix m l gelesen ht, ist er in ustnd z m l. Dieser ist ber gleich dem ustnd z m, d. h. A ist in dem ustnd in dem er uch nch der Eingbe m ist. Und wir wissen: f (z m, b m ) = z f F. Also ist f (z 0, m l b m ) = f ( f (z 0, m l ), b m ) = f (z m l, b m ) = f (z m, b m ) = z f, d. h. A kzeptiert die Eingbe w = m l b m. Aber ds Wort w gehört nicht zu L, d es verschieden viele und b enthält! Also ist L(A) = L. Widerspruch! Also wr die Annhme flsch und es gibt gr keinen endlichen Akzeptor, der L erkennt usblick Nichtdeterminismus Wir hben nur endliche Automten betrchtet, bei denen f : X eine Funktion, lso linkstotl und rechtseindeutig, ist. Auch Verllgemeinerungen, bei denen f eine beliebige eltion sein drf, sind ls sogennnte nichtdeterministische endliche Automten usgiebig untersucht und spielen n vielen Stellen in der Informtik eine olle (zum Beispiel bei ompilerbu-werkzeugen). Deterministischen Automten, lso die, die wir in dieser Einheit betrchtet hben, werden Sie in Vorlesungen über Betriebssysteme und Kommuniktion wiederbegegnen, z. B. im usmmenhng mit der Beschreibung von sogennnten Protokollen. gbi:skript: c worsch