Lösungen zum Ergänzungsblatt 4

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1 en zum Ergänzungsltt 4 Letzte Änderung: 23. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Vorereitungsufgen Vorereitungsufge 1 Sei M = ({p, q, r}, {, }, δ, p, {q, r}) ein DEA mit folgender Üerführungsfunktion δ: x δ(x, ) δ(x, ) p p q q p r r q r 1. Bestimmen Sie ˆδ(p, ) durch wiederholtes Anwenden der Definition von ˆδ (siehe Vorlesungsfolie 8.3). 2. Geen Sie M grfisch n. 3. Verwenden Sie die uf Vorlesungsfolien 8.6 und 8.7 eschrieene Methode, um eine reguläre Grmmtik G mit L(G) = T (M) zu konstruieren. 1. ˆδ(p, ) = ˆδ(q, ) = ˆδ(p, ε) = p. 2. p q r 3. G = ({p, q, r}, {, }, P, p) mit Produktionen p p q q p r r q r Vorereitungsufge 2 Sei G = ({S, T, U}, {, }, P, S) eine reguläre Grmmtik mit Produktionen S T T T U U S. Verwenden Sie die uf Vorlesungsfolien 11.5 und 11.6 eschrieene Methode, um einen NEA M mit T (M) = L(G) zu konstruieren. Geen Sie M sowohl ls Tupel ls uch grfisch n. 1

2 M = ({S, T, U, X}, {, }, δ, S, {X}) mit x δ(x, ) δ(x, ) S {T } {X} T {T, U} U {X} {S, X} X Grfisch: S T U X, Vorereitungsufge 3 Sei M = ({p, q}, {, }, δ, {p, q}, {q}) ein NEA mit folgender Üerführungsfunktion δ: x δ(x, ) δ(x, ) p {p, q} {p} q {p} 1. Bestimmen Sie ˆδ({p}, ) durch wiederholtes Anwenden der Definition von ˆδ (siehe Vorlesungsfolie 9.7). 2. Geen Sie M grfisch n. 3. Geen Sie folgende Potenzmengen explizit n: () P( ) () P({1}) (c) P({1, 2}) (d) P({1, 2, 3}) Erinnerung: Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge ller Teilmengen von A, d. h.: P(A) = {X X A}. Für eine endliche Menge A esitzt P(A) genu 2 A Elemente. 4. Verwenden Sie die Potenzmengenkonstruktion us Vorlesungsfolie 10.5, um einen DEA M mit T (M ) = T (M) zu konstruieren. Geen Sie M sowohl ls Tupel ls uch grfisch n. Bechten Sie, dss M genu 2 2 = 4 Zustände esitzen sollte. 2

3 1. ˆδ({p}, ) = ˆδ({p, q}, ) = ˆδ({p}, ε) ˆδ(, ε) = {p} = {p}. 2., p q 3. () P( ) = { } () P({1}) = {, {1}} (c) P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}} (d) P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 4. M = ({P({p, q}), {, }, δ, {p, q}, {{q}, {p, q}}) mit: δ (, ) = δ (, ) = δ ({p}, ) = {p, q} δ ({p}, ) = {p} δ ({q}, ) = {q} δ ({q}, ) = δ ({p, q}, ) = {p, q} {q} = {p, q} δ ({p, q}, ) = {p} = {p} Die Üerführungsfunktion δ ls Telle: Der DEA M grfisch: x δ (x, ) δ (x, ) {p} {p, q} {p} {q} {p} {p, q} {p, q} {p} {p, q} {p} {q} Bemerkung: Mn echte, dss die Zustände und {q} nicht vom Strtzustnd {p, q} erreichr sind. Somit könnten sie entfernt werden ohne die kzeptierte Sprche zu verändern. Dies ist ei der Potenzmengenkonstruktion öfters der Fll. Deshl steht ei vielen Aufgen der Hinweis, dss nicht erreichre Zustände weggelssen werden dürfen., 3

4 Vorereitungsufge 4 Geen Sie für jede der folgenden Sprchen L grfisch einen möglichst einfchen NEA n, der die jeweilige Sprche kzeptiert. 1. L = {w {, } ist ein Infix von w} 2. L = {w {, } ist ein Suffix von w} 3. L = {w {, } ds drittletzte Zeichen in w ist ein } 1. Ein einfcher NEA für L:,, Der minimle DEA für L zum Vergleich:, 2. Ein einfcher NEA für L:, Der minimle DEA für L zum Vergleich: 3. Ein einfcher NEA für L:,,, 4

5 Zum Vergleich: Nch Vorlesungsfolie 11.3 git es keinen DEA für L mit weniger ls cht Zuständen. Präsenzufgen Präsenzufge 1 Geen Sie grfisch einen DEA M n, der die folgende Sprche kzeptiert: L = {w {, } w ist gerde und ist kein Suffix von w}. Hinweis: Betrchten Sie die DEAs M 1 : ε M 2 :, 1 1, mit T (M 1 ) = {w {, } ist Suffix von w} und T (M 2 ) = {w {, } w ist gerde}. Der folgende DEA M simuliert M 1 und M 2 synchron prllel und kzeptiert genu die Wörter, die von M 2, er nicht von M 1 kzeptiert werden: M: (ε, 1) (, 1) (, 1) (ε, 1) (, 1) (, 1) Bemerkung: Owohl die Methode der prllelen Simultion sehr nützlich ist, ht sie (wie die Potenzmengenkonstruktion) den Nchteil, dss sie nicht immer einen DEA mit minimler Anzhl n Zuständen liefert. In diesem Beispiel sind M 1 und M 2 miniml, er M nicht. Ein minimler DEA für L ist der folgende: 5

6 , Präsenzufge 2 Seien Σ ein Alphet, L eine Sprche üer Σ und L = Σ \ L ihr Komplement. Zeigen Sie: 1. Wenn L regulär ist, dnn ist uch L regulär. 2. Wenn L regulär ist, dnn ist uch L = {w L w ist gerde} regulär. 1. Sei L regulär. Dnn git es einen DEA M = (Q, Σ, δ, s, F ) mit T (M) = L. Wir zeigen die Regulrität von L, indem wir die Existenz eines DEA M mit T (M ) = L zeigen. Sei M = (Q, Σ, δ, s, Q \ F ). Dnn ist M ein DEA mit w T (M ) ˆδ(s, w) Q \ F für lle w Σ. ˆδ(s, w) / F w / T (M) w L 2. Sei L regulär. Dnn git es einen DEA M = (Q, Σ, δ, s, F ) mit T (M) = L. Wir zeigen die Regulrität von L, indem wir einen DEA M mit T (M ) = L ngeen. Hierfür verwenden wir die Konstruktion us Präsenzufge 1, um M synchron prllel zu einem DEA, der lle Wörter üer Σ mit gerder Länge kzeptiert, zu simulieren. Sei M = (Q { 1, 1}, Σ, δ, (s, 1), F {1}) ein DEA mit Wir zeigen T (M ) = L in zwei Schritten. Schritt 1 δ ((p, q), ) = (δ(p, ), q). Für die erweiterte Üerführungsfunktion ˆδ zeigen wir zuerst ˆδ ((p, q), w) = (ˆδ(p, w), q ( 1) w ) für lle w Σ, p Q und q { 1, 1}. Den Beweis führen wir, nlog zur Vorlesungsfolie 8.4, induktiv üer die Länge von w. Wir zeigen lso die äquivlente Aussge n N, w Σ n, p Q, q { 1, 1}: ˆδ ((p, q), w) = (ˆδ(p, w), q ( 1) w ). 6 ( )

7 Induktionsnfng Für n = 0 gilt w = ε und für lle p Q und lle q { 1, 1}. Induktionsschritt ˆδ ((p, q), ε) = (p, q) = (ˆδ(p, ε), q ( 1) 0 ) Sei n N elieig. Angenommen, die Gleichung ( ) gilt für dieses n (IV). Seien nun w Σ n+1, p Q und q { 1, 1} elieig. Dnn ht w die Form w = u für ein u Σ n und ein Σ und es folgt: ˆδ ((p, q), w) = ˆδ ((p, q), u) = ˆδ ((δ(p, ), q), u) IV = (ˆδ (δ(p, ), u), q ( 1) u ) = (ˆδ(p, u), q ( 1) u +1 ) = (ˆδ(p, w), q ( 1) w ). Schritt 2 Wir zeigen nun die Mengengleichung T (M ) = L. Anlog zu Teilufge 1 gilt w T (M ) ˆδ ((s, 1), w) F {1} ˆδ(s, w) F 1 ( 1) w {1} w T (M) ( 1) w = 1 w L w ist gerde für lle w Σ. Präsenzufge 3 Sei M = (Q, Σ, δ, S, F ) der folgende NEA mit Zustndsmenge Q = {0, 1, 2, 3, 4}, Alphet Σ = {, }, Strtzustndsmenge S = {0, 3} und Endzustndsmenge F = {4}:, Geen Sie eine möglichst einfche Drstellung von T (M) n. 2. Verwenden Sie die Potenzmengenkonstruktion, um einen DEA M mit T (M ) = T (M) zu konstruieren. Geen Sie M grfisch n. Nicht erreichre Zustände müssen nicht gezeichnet werden. 7

8 1. T (M) = {} {w w Σ } 2. Wir wiederholen die Konstruktion us Vorereitungsufge 3 mit dem Unterschied, dss wir mit dem Strtknoten S P(Q) eginnen und solnge erreichre Zustände in den DEA hinzufügen, is jeder Zustnd genu eine usgehende -Knte und genu eine usgehende -Knte ht. 1. Schritt Beginne die Zeichnung mit dem Strtzustnd S = {0, 3}. 2. Schritt {0, 3} Berechne δ ({0, 3}, ) = {1} {4} = {1, 4} und δ ({0, 3}, ) = = und erweitere die Zeichnung um die neuen Zustände {1, 4} und und die zwei vom Zustnd {0, 3} usgehenden Knten. {0, 3} {1, 4} 3. Schritt Berechne δ ({1, 4}, ) = = und δ ({1, 4}, ) = {2} = {2} und erweitere die Zeichnung um den neuen Zustnd {2} und die zwei vom Zustnd {1, 4} usgehenden Knten. {0, 3} {1, 4} {2} 4. Schritt Berechne δ (, ) = und δ (, ) = und erweitere die Zeichnung um die zwei vom Zustnd usgehenden Knten. 8

9 {0, 3} {1, 4} {2}, 5. Schritt Berechne δ ({2}, ) = {2} und δ ({2}, ) = {2, 3} und erweitere die Zeichnung um den neuen Zustnd {2, 3} und die zwei vom Zustnd {2} usgehenden Knten. {0, 3} {1, 4} {2} {2, 3}, 6. Schritt Berechne δ ({2, 3}, ) = {2} {4} = {2, 4} und δ ({2, 3}, ) = {2, 3} = {2, 3} und erweitere die Zeichnung um den neuen Zustnd {2, 4} und die zwei vom Zustnd {2, 3} usgehenden Knten. {0, 3} {1, 4} {2} {2, 3} {2, 4}, 7. Schritt Berechne δ ({2, 4}, ) = {2} = {2} und δ ({2, 4}, ) = {2, 3} = {2, 3} und erweitere die Zeichnung um die zwei vom Zustnd {2, 4} usgehenden Knten. 9

10 {0, 3} {1, 4} {2} {2, 3} {2, 4}, Dies ist genu der DEA, der durch die Potenzmengenkonstruktion us M entsteht, wenn mn die nicht erreichren Zuständen weglässt. Präsenzufge 4 Betrchten Sie folgendes Krtenspiel: Zuerst notieren Sie uf ein Bltt Ppier eine Folge von Anweisungen. Dnn legt Ihr Gegner drei Spielkrten neeneinnder uf den Tisch, jeweils uf- oder zugedeckt, und führt ncheinnder die Anweisungen us. Mögliche Anweisungen sind: : Ihr Gegner dreht lle drei Krten um. : Ihr Gegner dreht zwei enchrte Krten seiner Whl um. r: Ihr Gegner dreht die Krten n den Rändern um. Sie gewinnen ds Spiel, sold lle drei Krten ufgedeckt sind. In diesem Fll ignoriert der Gegner lle weiteren Anweisungen. Git es eine Folge von Anweisungen, mit der mn ds Spiel mit Sicherheit gewinnt? Üerprüfen Sie Ihre Vermutung mithilfe der Automtentheorie. Ds Spiel knn durch den folgenden NEA M modelliert werden: 10

11 ,, r r r r r Jede 0 stellt dei eine verschlossene Krte dr und jede 1 eine offene. Wir vermuten, dss mn für mit der Folge rr mit Sicherheit gewinnt und üerprüfen dies durch folgende Rechnung: ˆδ({000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}, rr) = ˆδ({001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}, rr) = ˆδ({000, 001, 011, 100, 110, 111}, r) = ˆδ({001, 011, 100, 110, 111}, r) = ˆδ({000, 010, 101, 111}, r) = ˆδ({010, 101, 111}, r) = ˆδ({000, 111}, ) = ˆδ({111}, ε) = {111}. Präsenzufge 5 Seien Σ = {, } ein Alphet und M = (Q, Σ, δ, s, F ) der folgende DEA:,, Git es ein Wort w Σ, ds die jeweilige Aussge () erfüllt zw. () nicht erfüllt? 11

12 1. p Q: q Q: ˆδ(q, w) = p 2. q Q: p Q: ˆδ(q, w) = p 3. p Q: q Q: ˆδ(q, w) = p 4. q Q: p Q: ˆδ(q, w) = p 1. () J, z. B.: ε,, und. () J, z. B.:,, und. 2. () J, lle. () Nein. 3. () J, z. B.:,, und. () J, z. B.: ε,, und. 4. () Nein. () J, lle. Zustzufgen Zustzufge 1 Seien N eine ntürliche Zhl mit 2, Σ = {0,..., 1} ein Alphet und z : Σ N eine Funktion mit: n 1 z ( n ) = i i für lle n N und lle 0,..., n 1 Σ. Bestimmen Sie: i=0 1. z 2 (1101) 3. z 2 (11011) 5. z 3 (1021) 7. z 4 (1203) 9. z 8 (357) 2. z 2 (01010) 4. z 3 (0120) 6. z 4 (123) 8. z 5 (2401) 10. z 10 (00925) Bemerkungen: Mn nennt w Σ eine Drstellung der Zhl z (w) zur Bsis. Bechten Sie für den Fll n = 0, dss die leere Konktention von Wörtern ls ε und die leere Summe ls 0 definiert sind. Somit folgt us oiger Definition z (ε) = 0. 12

13 Zustzufge 2 Geen Sie zu jeder der folgenden Sprchen grfisch einen DEA mit möglichst wenigen Zuständen n, der die jeweilige Sprche kzeptiert. 1. L = { n m n m mod 5} 2. L = {w {,, c} c ist ein Fktor von w, er nicht} Hinweise: Ds sind genu die Sprchen us den Bonusufgen 6 und 8 uf Üungsltt 3. Die Begriffe Fktor und Infix sind synonym. Bis uf die Benennung der Zustände sind die en eindeutig. 1. L = { n m n m mod 5}:,, c 2. L = {w {,, c} c ist ein Fktor von w, er nicht}: 13

14 , c c c c c, c,, c 14