Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt 5

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1 Prof. J. Esprz Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Vielen Dnk n Jn Wgener für die erweiterten Aufgenlösungen Einführung in die theoretische Informtik Sommersemester 2017 Üungsltt 5 Üungsltt Wir unterscheiden zwischen Üungs- und Agelättern. Auf diesem Üungsltt finden Sie eine Üersicht üer die Kernspekte, die Sie in Klenderwoche 22 in den Tutorien diskutieren, üen und vertiefen. Die Aufgen uf diesem Bltt dienen dem Üen und Verstehen des Vorlesungsstoffes, sowie dem eigenständigen Erreiten der Kernspekte. Außerdem sollen Ihnen diese Aufgen uch helfen, ein Gefühl dfür zu ekommen, ws Sie inhltlich in der Klusur erwrtet. Klusurufgen können jedoch deutlich von den hier gestellten Aufgen weichen. Aschreien und Auswendiglernen von Lösungen wird Ihnen dher keinen duerhften Erfolg in der Vorlesung ringen. Frgen zu den Üungslättern können Sie montgs is donnerstgs von 12 Uhr is 14 Uhr in der THEO-Sprechstunde in Rum stellen. Kernspekte K5.1 korrektes Wiedergeen der folgenden Definitionen Myhill-Nerode-Reltion Äquivlenzklsse inäquivlente Zustände in einem DFA K5.2 zu einem gegeenen DFA den minimlen DFA ngeen K5.3 zu einem gegeenen Automten den Quotientenutomten ngeen K5.4 für reguläre Sprchen Sprchgleichheit mithilfe von Minimierung prüfen K5.5 mithilfe der Myhill-Nerode-Reltion eweisen zw. widerlegen, dss eine gegeene Sprche regulär ist AUFGABE 5.1. Geen Sie jeweils eine formle Sprchen üer dem Alphet Σ = {, } mit folgenden Eigenschften n: Stufe B () endlich () unendlich und regulär (c) nicht regulär und kontextfrei Beschreien Sie in eigenen Worten, wie Sie ei der Konstruktion der Sprchen vorgegngen sind, um sicher zu stellen, dss die Sprche die gewünschte Eigenschft ht. Erweiterte Lösungsskizze Sei Σ = {, }. Gi jeweils eine formle Sprche A üer Σ mit gegeenen Eigenschften n. () Eine endliche Sprche A = = Es ist lediglich druf zu chten, dss die Sprche nur endlich viele Wörter enthält. "Keine Wörterïst wohl die einfchste Art, ds sicherzustellen. () Eine unendliche, reguläre Sprche A = Σ = Die Sprche soll unendlich und regulär sein, d.h. sie muss durch einen regulären Ausdruck drstellr sein. Für Σ ist ds offensichtlich der Fll: ( ) Außerdem enthält Σ uch unendlich viele Wörter, z.b. lle der Form n, n N 0. (c) Eine nicht reguläre, kontextfreie Sprche A = { n n n N 0} = Diese Sprche ist eknntlich nicht regulär (leicht mit Pumping-Lemm für reguläre Sprchen zu zeigen). Allerdings ist sie kontextfrei, d es möglich ist, eine kontextfreie (Typ-2) Grmmtik zu konstruieren, die genu A erzeugt: Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 1/15

2 G = ({S}, Σ, P, S) mit P : S S ε AUFGABE 5.2. In der Vorlesung hen Sie ein Verfhren zur Minimierung von DFAs gesehen. Wir erweitern diesen Algorithmus, dmit er zusätzlich ds unterscheidende Wort w für ein Pr inäquivlenter Zuständen erechnet. () Erweitern Sie den Minimierungslgorithmus so, dss er für jedes Pr von inäquivlenten Zuständen q, p Q eines DFAs D = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein kürzestes Wort w {q,p} mit δ(q, w {q,p} ) F δ(p, w {q,p} ) F erechnet. () Determinisieren und dnn minimieren Sie die folgenden NFAs. Verwenden Sie hierfür den erweiterten Minimierungslgorithmus us (). Bestimmen Sie hierei uch die Ahängigkeiten D[{p, q}] zwischen den Pren der Zustände gemäß dem Verfhren der Vorlesung. (i) NFA N 1 :,, Stufe C q 0 q 1 q 2 (ii) NFA N 2 : (iii) NFA N 3 : 1, 2, 4 3 Hinweise: Konstruieren Sie ei der Determinisierung nur die vom Strtzustnd erreichren Zustände. Wir verwenden ds Alphet Σ = {, }. Erweiterte Lösungsskizze () Erweitere den Minimierungslgorithmus us der Vorlesung, sodss er für ein Pr von nicht äquivlenten Zuständen p, q Q ein kürzestes Wort w erechnet, welches die eiden Zustände unterscheidet, d.h.: δ(p, w) F und δ(q, w) / F oder δ(p, w) / F und δ(q, w) F Idee: Trge eim Ausfüllen der Telle inäquivlenter Zustände sttt eines Kreuzes n der jeweiligen Stelle ein unterscheidendes Wort w ein. Flls einer der eiden Zustände ein Endzustnd ist und der ndere nicht, so ist ds kürzeste, die eiden unterscheidende Wort w = ε. Sonst können zwei Zustände p und q nur dnn unterschieden werden, wenn mn von ihnen us mit einem Zeichen Σ in ein ereits durch ein Wort v unterscheidres Zustndspr p und q gelngt. Dnn ist er w = v ein Wort, welches p und q unterscheidet. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 2/15

3 () Determinisiere den jeweils gegeenen NFA und minimiere ihn dnn mit dem erweiterten Minimierungsverfhren us Teilufge (). I NFA N 1:,, q 0 q 1 q 2 Determinisieren mittels Potenzmengenkonstruktion liefert D 1: {q 0} {q 0, q 1} {q 0, q 2} {q 0, q 1, q 2} = Q Ausfüllen der Minimierungstelle liefert folgende Ergenisse: {q 0} {q 0, q 1} {q 0, q 2} Q {q 0} = {q 0, q 1} = - - {q 0, q 2} ε ε = - Q ε ε = Beim ersten Durchluf der Telle sind Pre von End- und Nicht-End- Zuständen zu mrkieren. Diese unterscheiden sich stets durch ds Wort ε. {q 0} {q 0, q 1} {q 0, q 2} Q {q 0} = {q 0, q 1} = - - {q 0, q 2} ε ε = - Q ε ε = Beim zweiten Durchluf können q 0,q 2 und q 0,q 1,q 2 nicht unterschieden werden. q 0 und q 0,q 1 führen llerdings mit dem Zeichen in ds Zustndspr q 0 und q 0,q 2. Diese eiden können ereits durch ε unterschieden werden, d.h. q 0 und q 0,q 1 können durch ε= unterschieden werden. Beim nächsten Durchlufen der Telle können keine weiteren Felder usgefüllt werden, d.h. lle noch nicht ls unterschiedlich mrkierten Zustndspre können ls äquivlent gekennzeichnet werden. Dmit können die eiden Zustände {q 0, q 2} und {q 0, q 1, q 2} zu einem Zustnd zusmmengefsst werden. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 3/15

4 Ds ergit dnn den Minimierten DFA D m 1 :, {q 0} {q 0, q 1} {q 0, q 2}, Q II NFA N 2: Determinisieren mittels Potenzmengenkonstruktion liefert D 2: {0} {1, 2} {11, 22} {111, 222} Ausfüllen der Minimierungstelle liefert folgende Ergenisse: {0} {1, 2} {11, 22} {111, 222} {0} = {1, 2} ε = - - {11, 22} ε = - {111, 222} ε ε = Beim ersten Durchluf der Telle sind Pre von End- und Nicht-End- Zuständen zu mrkieren. Diese unterscheiden sich stets durch ds Wort ε. {0} {1, 2} {11, 22} {111, 222} {0} = {1, 2} ε = - - {11, 22} ε = - {111, 222} ε ε = Beim zweiten Durchluf können 0 und 111,222 nicht unterschieden werden. 1,2 und 11,22 führen llerdings mit dem Zeichen in ds Zustndspr 11,22 und 111,222. Diese eiden können ereits durch ε unterschieden werden, d.h. 1,2 und 11,22 können durch ε= unterschieden werden. Beim nächsten Durchlufen der Telle können keine weiteren Felder usgefüllt werden, d.h. lle noch nicht ls unterschiedlich mrkierten Zustndspre können ls äquivlent gekennzeichnet werden. Dmit können die eiden Zustände {0} und {111, 222} zu einem Zustnd zusmmengefsst werden. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 4/15

5 Ds ergit dnn den Minimierten DFA D m 2 : {0}, {111, 222} {1, 2} {11, 22} III NFA N 3:, 2 1, 4 3 Determinisieren mittels Potenzmengenkonstruktion liefert D 3: {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {2, 3} {1, 2, 3} {1} {1, 3, 4} {2} {3, 4} Ausfüllen der Minimierungstelle liefert folgende Ergenisse: {1} {2, 3} {2} {2, 3, 4} {1, 2, 3} {3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 3, 4} {1} = {2, 3} ε = {2} ε = {2, 3, 4} ε = {1, 2, 3} ε ε ε = {3, 4} ε ε = - - {1, 2, 3, 4} ε ε ε ε = - {1, 3, 4} ε ε ε ε = Beim ersten Durchlufen der Telle werden wie geht Pre von einem End- und einem Nicht- Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 5/15

6 End-Zustnd ls inäquivlent mrkiert. Ds jeweilige unterscheidende Wort ist ε. Beim zweiten Durchlufen der Telle erhält mn {1} {2, 3} {2} {2, 3, 4} {1, 2, 3} {3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 3, 4} {1} = {2, 3} ε = {2} ε = {2, 3, 4} ε = {1, 2, 3} ε ε ε = {3, 4} ε ε = - - {1, 2, 3, 4} ε ε ε ε = - {1, 3, 4} ε ε ε ε = {2} und {2, 3} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2, 3}, {1, 2, 3} kommt. Dieses ist ereits durch ε unterscheidr. Dher sind {2} und {2, 3} durch ε = unterscheidr. {2} und {2, 3, 4} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2, 3}, {1, 2, 3, 4} kommt. Dieses ist ereits durch ε unterscheidr. Dher sind {2} und {2, 3, 4} durch ε = unterscheidr. {1} und {1, 2, 3} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2}, {1, 2, 3} kommt. Dieses ist ereits durch ε unterscheidr. Dher sind {1} und {1, 2, 3} durch ε = unterscheidr. {2} und {3, 4} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2, 3}, {1, 3, 4} kommt. Dieses ist ereits durch ε unterscheidr. Dher sind {2} und {3, 4} durch ε = unterscheidr. {1} und {1, 2, 3, 4} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2}, {1, 2, 3, 4} kommt. Dieses ist ereits durch ε unterscheidr. Dher sind {1} und {1, 2, 3, 4} durch ε = unterscheidr. {1} und {1, 3, 4} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2}, {1, 2, 3, 4} kommt. Dieses ist ereits durch ε unterscheidr. Dher sind {1} und {1, 3, 4} durch ε = unterscheidr. Der dritte Durchluf der Telle ergit dnn {1} {2, 3} {2} {2, 3, 4} {1, 2, 3} {3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 3, 4} {1} = {2, 3} ε = {2} ε = {2, 3, 4} ε = {1, 2, 3} ε ε ε = {3, 4} ε ε = - - {1, 2, 3, 4} ε ε ε ε = - {1, 3, 4} ε ε ε ε = {2, 3} und {3, 4} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2}, {2, 3, 4} kommt. Dieses ist ereits durch unterscheidr. Dher sind {2, 3} und {3, 4} durch unterscheidr. {3, 4} und {2, 3, 4} sind unterscheidr, d mn von dort us mit einem in ds Zustndspr {2}, {2, 3, 4} kommt. Dieses ist ereits durch unterscheidr. Dher sind {3, 4} und {2, 3, 4} durch unterscheidr. Beim nächsten Durchlufen der Telle können keine weiteren Felder usgefüllt werden, d.h. lle noch nicht ls unterschiedlich mrkierten Zustndspre können ls äquivlent gekennzeichnet werden. Dmit können die eiden Zustände {2, 3} und {2, 3, 4} sowie die drei Zustände {1, 2, 3}, {1, 3, 4} und {1, 2, 3, 4} jeweils zu einem Zustnd zusmmengefsst werden. Ds ergit dnn den Minimierten DFA D m 3 : Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 6/15

7 {2, 3}, {2, 3, 4} {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} {1} {3, 4} {2} AUFGABE 5.3. Sei L = L( c ) üer dem Alphet Σ = {,, c}. () Entscheiden Sie, welche der folgenden Äquivlenzen whr sind und egründen Sie Ihre Antwort: Stufe C ε? L? L c c? L c () Sei v = c. Geen Sie ein Wort u v n, so dss u L v. (c) Geen Sie die Mengen [] L, [c] L und [c] L n. (d) Geen Sie nun L, so dss c L, c L und L. Weiterhin soll ε, L gelten. Erweiterte Lösungsskizze Seien Σ = {,, c} und L = L( c ) Die Frge, o u? L v ist: Gilt für lle Wörter w Σ : uw L vw L? Anlog dzu ist Frge, o u? L v: Git es ein Wort w Σ, sodss zwr uw L er vw / L zw. sodss uw / L er vw L? Die Äquivlenzklsse eines Wortes v ist dnn: [v] L = {u Σ u L v} () Sind die folgenden Äquivlenzen korrekt? Wrum (nicht)? [v] L ist die Menge ller Wörter, die äquivlent zu v sind: Erste Frge: Welche Wörter w dürfen n v drngehängt werden, sodss vw noch in der Sprche L liegt? [v] L ist nicht die Menge dieser Wörter w, sondern die Menge der Wörter u n die noch genu die gleichen Wörter w ngehängt werden dürfen, nicht mehr und nicht weniger. ε? L Whr, d sowohl nch einem ε ls uch nch einem noch genu Wörter der Form c folgen dürfen. D.h. forml usgedrückt: ( w Σ. εw L w L w L( c ) = L ) Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 7/15

8 ? L c Flsch! Gegeneispiel ist w =. Es gilt zwr w = L, er cw = c / L. c? L c Flsch! Gegeneispiel ist w = ε. Es gilt zwr cw = c L, er cw = c / L. () v = c Gi ein Wort u n, sodss u v, er u L v. Welche Worte w drf mn noch n v nhängen, sodss uw L? = Keine! In v steht ereits ein vor einem, ws für kein Wort in L erlut ist: c Für welche Worte u gilt ds noch, dss mn nicht mehr in der Sprche liegen knn, egl welches Suffix w mn noch n u nhängt? = Alle, die ein, c oder c enthlten. Diese Zeichenkomintionen dürfen in keinem Wort in L uftuchen, d.h. wenn ein Wort u ereits mindestens eine der drei enthält, knn mn uch durch nhängen eines elieigen Suffixes nicht mehr in der Sprche lnden. Beispiel für ein solches Wort wäre u = c. (c) Gi lle Elemente der gegeenen Äquivlenzklssen n (z.b. ls regulären Ausdruck). [] L Welche Wörter w Σ dürfen n drngehängt werden, sodss w noch in L liegt? = s dürfen keine mehr ngehängt werden, d j ereits ein vorkm, d.h. nur noch Wörter der Form c dürfen ngehängt werden. L( c ) ist er nicht die gesuchte Menge. Die gesuchte Menge ist die Menge ller Wörter, n die uch noch genu Wörter us L( c ) ngehängt werden dürfen: = Wenn isher in einem Wort nur s vorkmen, so drf mn zwr Wörter der Form c nhängen, er uch eispielsweise ds Wort c. D.h. Wörter der Form sind nicht in der gesuchten Menge. Km in einem Wort hingegen schon ein c vor, so drf eispielsweise c nicht mehr ngehängt werden. Wir suchen lso gerde nch Wörtern, in denen elieig viele s und dnn mindestens ein vorkommt, er kein c: Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 8/15

9 [] L = L( ) [c] L Welche Wörter w Σ dürfen n c drngehängt werden, sodss c w noch in L liegt? = s und s dürfen keine mehr ngehängt werden, d j ereits ein c vorkm, d.h. nur noch Wörter der Form c dürfen ngehängt werden. L(c ) ist er nicht die gesuchte Menge. Die gesuchte Menge ist die Menge ller Wörter, n die uch noch genu Wörter us L(c ) ngehängt werden dürfen: = Wenn isher in einem Wort nur s und dnn s vorkmen, dnn dürfen zwr uch noch elieig viele c s ngehängt werden, er een noch mehr; z.b. nämlich uch c. D.h. Wörter der Form sind nicht äquivlent zu c. Wir suchen lso gerde nch den Wörtern, die (nch elieig vielen s und dnn s) mindestens ein c enthlten: [c] L = L( cc ) [c] L Welche Wörter w Σ dürfen n c drngehängt werden, sodss c w noch in L liegt? = Keine! Egl, ws mn n c noch nhängt, ds resultierende Wort wird immer die Zeichenkette c enthlten. Ds ist für Wörter in L nicht erlut. ist er nicht die gesuchte Menge. Die gesuchte Menge ist die Menge ller Wörter, n die uch nichts mehr ngehängt werden knn, um zu erreichen, dss ds resultierende Wort noch in der Sprche L liegt. = Ein Wort liegt genu dnn nicht in L, wenn es mindestens eine der drei Zeichenketten, c oder c enthält. Gdw. ein Wort u eine dieser drei ereits enthält, knn uch ein elieiger ngehängter Suffix w nicht mehr erreichen, dss ds resultierende Wort uw noch in L liegt. Schließlich enthält logischerweise uw die entsprechende Zeichenkette uch. Wir suchen lso gerde nch Wörtern, die eine der drei Zeichenketten, c oder c enthlten: ) [c] L = L (Σ ( c c) Σ = L In diesem Fll! Dss [w] L = L für w / Σ gilt ei Weitem nicht immer! Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 9/15

10 (d) Gi eine Sprche L n, für die folgende Bedigungen gilt: c L c L L ε L L Idee: Wie in der VL gesehen, korrespondieren die Äquivlenzklssen einer Sprche mit den Zuständen des minimlen DFAs für diese Sprche. Also könnte mn versuchen, einen DFA für L zu konstruieren und dei äquivlente Wörter in denselen Zustnd zu führen. Dnch knn mn die Sprche direkt vom DFA lesen. Erst einml sollen ε und in L liegen. Mn rucht lso Läufe für diese Wörter: Dnn soll noch L führen: sein, d.h. die eiden Wörter und können in denselen Zustnd Außerdem muss noch c L Wort : sein, d.h. ds Wort c sollte in den gleichen Zustnd führen, wie ds c Als letztes muss noch c L sein. Ds ist er in der Sprche des isherigen DFA ereits der Fll, d ds Wort c kzeptiert wird, während ds Wort nicht kzeptiert wird. Also c L und / L. Folglich knn L einfch vom Automten gelesen werden. D dieser nicht viele Wörter kzeptiert, können sie uch einfch ufgelistet werden: L = {ε, c,, } AUFGABE 5.4. Entscheiden Sie, o folgende Sprchen üer dem Alphet Σ = {,, c} regulär sind. Bestimmen Sie hierzu die Äquivlenzklssen der dzugehörigen Myhill-Nerode-Reltion. Flls die Sprche regulär ist, zählen Sie lle Äquivlenzklssen uf und zeichnen Sie den knonischen Minimlutomt M L = (Σ / L, Σ, δ L, [ε] L, F L ). Flls Stufe D Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 10/15

11 die Sprche nicht regulär ist, reicht es eine unendliche Menge von Äquivlenzklssen zu estimmen. () L 1 = { 2i i N 0 } () L 2 = { i i c i i N 0 } (c) L 3 = {w Σ w = 2 w } (d) L 4 = L(( ( c)) ) (e) L 5 = {wcw w {, } } Erweiterte Lösungsskizze Sei Σ = {,, c}. Prüfe mithilfe der Äquivlenzklssen der gegeenen Sprchen, o diese regulär sind. Wenn es nur endlich viele Äquivlenzklssen git, so ist die Sprche regulär. Wenn mn llerdings unendlich viele inäquivlente Wörter finden knn, so ist die Sprche nicht regulär (, d dnn der minimle Automt unendlich viele Zustände hen müsste). () L 1 = { 2i i N 0} Sprche ller Wörter gerder Länge, die nur us s estehen. Die Äquivlenzklssen zu estimmen geht hier wohl m einfchsten direkt üer den minimlen DFA, der die Sprche L 1 kzeptiert. Dieser ist so zu konstruieren: [ε] L1 [] L1,c,c [] L1,,c Jeder Zustnd steht für eine Äquivlenzklsse. Eine Äquivlenzklsse wird mit einem Wort ezeichnet, dss in der Klsse liegt (egl welches), d.h. mit einem Wort, ds in den entsprechenden Zustnd führt. Die Menge ller Wörter, die in der Äquivlenzklsse eines Zustndes liegen, sind dnn lle Wörter, die in den jeweiligen Zustnd führen: ) [ε] L1 = L (() Alle Wörter, die in den linken oeren Zustnd führen, sind Wörter gerder Länge, die nur us s estehen. ) [] L1 = L (() ) [] L1 = L (Σ ( c) Σ Alle Wörter, die in den rechten oeren Zustnd führen, sind Wörter ungerder Länge, die nur us s estehen. Alle Wörter, die in den unteren Zustnd führen, sind Wörter, die mindestens ein oder c enthlten. () L 2 = { i i c i i N 0} Diese Sprche ist eknntlich nicht regulär. Um ds zu zeigen, reicht es, eine unendliche Fmilie von Wörtern u (0), u (1), u (2)... nzugeen, die prweise nicht äquivlent sind, d.h. für lle i, j mit i j gilt: u (i) L2 u (j) Beispiel für eine derrtige Fmilie von Wörtern ist ε,,,,..., lso u (i) = i. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 11/15

12 Beweis: Seien i, j N 0 und i j: = i i c i L 2 er j i c i / L 2 = i L2 j, unhängig dvon, ws i und j sind. Ds heißt er wiederum, dss [ i ] L2 [ j ] L2. Also ht die Sprche L 2 unendlich viele Äquivlenzklssen und ist dmit nicht regulär. (c) L 3 = {w Σ w = 2 w } Sprche ller Wörter, die doppelt so viele s wie s enthlten. Diese Sprche ist eenflls nicht regulär. Um ds zu zeigen, reicht es, eine unendliche Fmilie von Wörtern u (0), u (1), u (2)... nzugeen, die prweise nicht äquivlenz sind, d.h. für lle i, j mit i j gilt: u (i) L2 u (j) Beispiel für eine derrtige Fmilie von Wörtern ist ε,,,,..., lso u (i) = i. Beweis: Seien i, j N 0 und i j: = i 2i L 3 er j 2i / L 3 = i L3 j, unhängig dvon, ws i und j sind. Ds heißt er wiederum, dss [ i ] L3 [ j ] L3. Also ht die Sprche L 3 unendlich viele Äquivlenzklssen und ist dmit nicht regulär. (d) L 4 = L( ( ( c) ) ) Sprche ller Wörter, die uf oder c enden. Betrchtet mn diese Sprche, so git es eigentlich nur zwei Fälle, die zu unterscheiden sind: Ds isherige Wort endet uf zw. ds isherige Wort endet uf oder c (oder ist ds leere Wort). Wenn ein Wort v uf oder uf c endet, dnn liegt es in der Sprche. D.h. mn knn ε ls Suffix nhängen und ds entstndene Wort vε liegt immer noch in der Sprche. Außerdem knn mn, d es j in L 4 nur um ds letzte Zeichen geht, jedes elieige Wort w L 4 n v drnhängen und vw wird in L 4 liegen. Wenn ein Wort v er uf endet, so knn mn uch ein elieiges Wort w L 4 und vw wird in L 4 liegen. Nur mit w = ε geht ds jetzt nicht mehr. n v drnhängen Drus folgt, dss es exkt zwei Äquivlenzklssen git: [ε] L4 = L 4 Alle Wörter in L 4 sind in einer Äquivlenzklsse, d mn n diese noch genu ε oder ein uf oder c endendes Wort hängen drf. [] L4 = L 4{} + = Σ \ L 4 Alle Wörter ußerhl L 4 sind in einer Äquivlenzklsse, d mn n diese noch genu ein uf oder c endendes Wort hängen drf. Der knonische Minimlutomt ht dnn entsprechend einen Zustnd für jede Äquivlenzklsse:,c [ε] L1 [] L1,c Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 12/15

13 (e) L 5 = {wcw w {, } } Diese Sprche ist nicht regulär. Um ds zu zeigen, reicht es, eine unendliche Fmilie von Wörtern u (0), u (1), u (2)... nzugeen, die prweise nicht äquivlenz sind, d.h. für lle i, j mit i j gilt: u (i) L5 u (j) Beispiel für eine derrtige Fmilie von Wörtern ist wieder ε,,,,..., lso u (i) = i. Beweis: Seien i, j N 0 und i j: = i c i L 5 er j c i / L 5 = i L5 j, unhängig dvon, ws i und j sind. Ds heißt er wiederum, dss [ i ] L5 [ j ] L5. Also ht die Sprche L 5 unendlich viele Äquivlenzklssen und ist dmit nicht regulär. Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 13/15

14 Definition (Monoid) Ein Monoid M,, 1 esteht us einer (Träger-)Menge M, einer ssozitiven Aildung : M M M und einem zgl. neutrlen Element 1 M (d.h. m M. m 1 = m = 1 m). Ist kommuttiv, dnn wird M,, 1 ls kommuttives Monoid ezeichnet. Gilt m M. m m = m, so wird M,, 1 ls idempotentes Monoid ezeichnet. Definition (Kleene Alger) Eine Kleene Alger K, +,,, 0, 1 esteht us einer Trägermenge K, den inären Opertionen +: K K K (Addition), : K K K (Multipliktion), der unären Opertion : K K (Stern) und zwei Konstnten 0, 1 K. Mittels der Addition definiert mn die inäre Reltion uf K durch Def + = Wie ülich schreit mn kurz für. Um Klmmern zu spren, gilt Stern vor Punkt vor Strich. Eine Kleene Alger erfüllt folgende Eigenschften für lle,, c, x K: Ax1: K, +, 0 ist ein kommuttives und idempotentes Monoid. Ax2: K,, 1 ist ein Monoid. Ax3: ( + c) = + c und ( + )c = c + c. Ax4: 0 = 0 = 0. Ax5: 1 + und 1 +. Ax6: + x x x und + x x x. AUFGABE 5.5. In dieser Aufge strhieren wir von der konkreten Interprettion von regulären Ausdrücken ls Konstruktionseschreiungen regulärer Sprchen. Ziel ist es den Zusmmenhng mit Pfdprolemen im Bereich der Informtik und dem Lösen linerer Gleichungssysteme zu verdeutlichen. () Sei Σ ein Alphet. Beweisen Sie, dss 2 Σ,,,,, {ε} eine Kleene Alger ist für LL := L L := {ww w L, w L } und L := k N 0 L k Stufe E () Die Addition und ds Minimum uf R seien uf [, ] = R {± } wie folgt erweitert: Weiterhin gelte: + = + = + = min(, ) = min(, ) = min(, ) = := { flls [, 0) 0 flls [0, ] Beweisen Sie, dss R {± }, min, +,,, 0 eine Kleene Alger ist. (c) Zeigen Sie, dss in jeder Kleene Alger K, +,,, 0, 1 für elieige,, c, d, e, f K gilt: (i) ist eine prtielle Ordnung uf K, die monoton zgl. Addition, Multipliktion und Stern ist, d.h.: (c c c c + c + c ) (ii) ist die zgl. kleinste Lösung der lineren Ungleichung + X X in K (X Vrile), genuer: + ( ) x K : + x x x Entsprechend ist die kleinste Lösung in K von + X X. Mn knn zeigen, dss jedes linere Ungleichungssystem 1,1X 1 + 1,2X ,nX n + 1 X 1. n,1x 1 + n,2x n,nx n + n X n mit i,j, i K und X 1,..., X n Vrilen stets eine eindeutige -kleinste Lösung in K ht, d.h. dss es konkrete Elemente x 1,..., x n K git, so dss für X 1 = x 1,..., X n = x n lle oigen Ungleichungen erfüllt sind, und für Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 14/15

15 jede weitere Lösung X 1 = y 1,..., X n = y n K stets x i y i gilt. Insesondere gilt x 1 = 1,1( 1,2x ,nx n + 1) Somit knn ds Guß-Verfhren zur Bestimmung von x 1,..., x n verwendet werden. (d) Bestimmen Sie die kleinste Lösung x 1, x 2, x 3, x 4 für folgendes System: X + Y + ez X cx + dy + fz Y 1 Z (e) Bestimmen Sie den regulären Ausdruck für den Zustnd X. Durch welche Werte muss mn,, c, d, e, f konkret ersetzen, dmit sich die in (d) erechneten Terme in 2 Σ,,,,, {ε} zu dem gewünschten Ausdruck uswertet? X d c d Y Z (f) Bestimmen Sie die Länge eines kürzesten Pfdes von jedem Knoten zum Knoten Z in folgendem gewichteten Grphen. Durch welche Werte muss mn,, c, d, e, f konkret ersetzen, dmit sich die in (d) erechneten Terme in R {± }, min, +,, 0 zu den gesuchten Pfdlängen uswerten? X Y Z Bei Frgen oder Prolemen schreien Sie eine Mil n theo-ueungsleitung@in.tum.de! 15/15