bei Problemen die Theorie und die Beispiele am Anfang jeder Lerneinheit durcharbeiten

Transkript

1 Ds knnst du schon º Terme umformen º Gleichungen ufstellen und lösen º Funktionsgrphen zeichnen º Whrscheinlichkeiten erechnen Erfolge mithilfe des Aschlusstests üerprüfen ei Prolemen die Theorie und die eispiele m Anfng jeder Lerneinheit durchreiten die Themen, ei denen Schwierigkeiten uftreten, zuerst intensiv üen vorhndenes Wissen mithilfe der folgenden vier Seiten testen Üen, er wie? us jedem Kpitel einige Aufgen ereiten und Lösungen vergleichen lleine ohne Test direkt mit den Aufgen eginnen Arithmetik / Alger Funktionen Geometrie Stochstik Argumentieren / Kommunizieren Prolemlösen Modellieren Werkzeuge 172 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

2 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen Üung mcht den Meister ei Prolemen gegenseitig helfen und die Theorie und die eispiele m Anfng jeder Lerneinheit durchreiten Aufgen gegenseitig vorstellen pro Gruppenmitglied und pro Kpitel mind. zwei Aufgen ereiten einige Aufgen der Klsse vorstellen und große Proleme mit der gnzen Klsse esprechen in einer Gruppe 3-6 Personen in der Klsse in Kleingruppen zu jedem Them ein Refert hlten die vom Lehrer usgewählten Aufgen ereiten jedes Them zwei is drei Stunden gemeinsm üen Ds knnst du ld º sicherer mit Aufgen umgehen º schneller Lösungsideen finden º ei kniffligen Aufgen usduernder sein º dich esser uf Tests vorereiten VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 173

3 Teste dich selst Auf den Seiten 251 ff. findest du Lösungen zu den Aufgen. Mithilfe der folgenden Aufgen knnst du dich selst testen und nschließend einschätzen, in welchen ereichen du ereits sicher ist und wo du noch Üungsedrf hst. Die Aufgen sind nch inhltlichen Geieten geordnet, wie zum eispiel dem Rechnen mit Zhlen und Vrilen oder der Geometrie. In vielen Aufgen werden neen den inhltlichen Themenereichen uch deine Fähigkeiten im Argumentieren, Prolemlösen oder uch Modellieren getestet. Du musst ei jeder Aussge entscheiden, o sie whr oder flsch ist, und deine Entscheidung egründen. Terme Gleichungen c d Whr oder flsch? egründe. Rechnen mit Zhlen und Vrilen 1 ) 5x 2 = 3 x ) Die lue Fläche in lässt sich erechnen mit dem Term ( ) (c + d). c) Die lue Fläche in lässt sich erechnen mit dem Term (d + c) d c. d) (3 x) 2 = 9 x 2 e) 2 = f) x 4 x + 5 x = x 9 x = 9 x 2 g) = + h) = i) _ = ) 0,5 + (2 x) = 1 (1 + x) esitzt die Lösung x = 2. ) Die Lösung y der Gleichung 4 (y + 5) = 9 y + 5 ist ein Teiler von 15. c) Die Lösung x von x (x 7) (x + 7) = 50 x 2 ist eine einstellige Qudrtzhl. d) Die Gleichung (8 z) (2 + z) = (7 z) (z + 1) esitzt keine Lösung. e) Die Aussge An unserer Schule git es 15-ml so viele Schüler wie Lehrer knn durch die Gleichung 15 S = L usgedrückt werden (S = Anzhl der Schüler, L = Anzhl der Lehrer). f) Wird eine Gleichung, die genu eine Lösung esitzt, uf eiden Seiten mit 4 multipliziert, vervierfcht sich eenflls die Lösung der Gleichung. Linere Gleichungssysteme (LGS) 1 O Fig. 2 Zhlenereiche 3 ) Ds LGS mit 2 x 3 y = 23 und 2 x = y + 13 ht die Lösung x = 2 und y = 9. ) Wenn zwei Gerden eine unterschiedliche Steigung hen, dnn esitzt ds LGS us ihren eiden Gleichungen genu eine Lösung. c) Die Summe der Lösungen x und y des LGS mit 2 y = 6 5 x und 2 x = 9 3 y ist 3. d) Die Gerden in Fig. 2 vernschulichen ds LGS mit 7 x + 10 y = 3 und 2 x + 5 y = 3. e) Ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Uneknnten ht entweder genu eine oder unendlich viele Lösungen. f) Mn sieht, ohne zu rechnen, dss ds LGS mit y = 3 x 5 und y = 2 x 5 ls einzige Lösung x = 0 und y = 5 esitzt. g) Ein LGS mit drei Gleichungen und zwei Uneknnten knn uch genu zwei Lösungen esitzen, d drei Gerden sich j uch genu zweiml schneiden können. 4 ) Eine Dezimlzhl, die unendlich viele Nchkommstellen ht, ist immer irrtionl. ) Ein ruch, ei dem der Nenner ein Teiler des Zählers ist, ist immer eine gnze Zhl. c) Ds Produkt von 789 negtiven Zhlen ist immer negtiv. d) Ds Produkt von zwei echten rüchen ist immer ein echter ruch. e) Ds Produkt von drei irrtionlen Zhlen ist immer irrtionl. 174 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

4 Funktionen 5 ) 5 _ 8 = 62,5 % ) 7 % von Menschen sind 889 Menschen. c) Eine um 30 % reduzierte Hose, die jetzt 49 kostet, ht zuvor 69 gekostet. d) Wenn ein MP3-Plyer inklusive 19 % Mehrwertsteuer 84,49 kostet, dnn kostet er ohne Mehrwertsteuer 68,44. e) Legt mn 4500 für vier Monte zu einem Zinsstz von 3 % n, so erhält mn nch den vier Monten 4635 usgezhlt. f) Mx ehuptet: Wenn die nk A 2 % und die nk 4 % Zinsen pro Jhr zhlt, ekommt mn nch zehn Jhren für x Euro ei der nk doppelt so viele Zinsen usgezhlt wie ei der nk A. 6 ) Wenn drei Liter Milch 1,77 kosten, dnn kosten fünf Liter Milch 2,95. ) Wenn fünf Musiker zum Spielen eines Stückes zwölf Minuten ruchen, dnn ruchen 15 Musiker zum Spielen dieses Stückes nur vier Minuten. c) Wenn ein Heuvorrt für zwölf Pferde sechs Tge reicht, dnn reicht er für cht Pferde zehn Tge. d) Die Zuordnung Dicke eines uches Preis eines uches ist proportionl. e) Jede Gerde ist der Grph einer proportionlen Zuordnung. f) Die Gleichung y = _ x 3 gehört zu einer ntiproportionlen Zuordnung, deren Grph in drgestellt ist. 7 ) Der Punkt (4 3) liegt uf der Gerden mit der Gleichung y = 3 x 5. ) Die Gerde in Fig. 2 esitzt die Gleichung y = 0,6 x + 1. c) Die Gerde durch die Punkte S (3 1) und T (2 5) esitzt die Gleichung y = 6 x d) Die Gerde mit der Gleichung x = 3 verläuft prllel zur y-achse. e) Die Gerde mit y = 3 x + 5 verläuft steiler ls die Gerde mit y = 2 x + 7. f) Jede linere Funktion schneidet genu einml die x-achse und einml die y-achse. g) Die Gerden g und h mit g: y = 4 x 6 und h: y = 4 x 5 schneiden sich in S (4 1). Prozent- und Zinsrechnung Zuordnungen y O 1 2 Gerden y O 1 2 x x Fig. 2 Geometrie 8 ) eträgt einer von zwei Neenwinkeln ei zwei sich schneidenden Gerden 90, so schneiden sich die eiden Gerden im rechten Winkel. ) Kennt mn in einem Prllelogrmm zwei Winkel, so lssen sich die nderen eiden erechnen. c) Es git ein Viereck mit drei rechten Winkeln, welches kein Rechteck ist. d) Wenn ein Winkel vierml so groß ist wie sein Neenwinkel, dnn eträgt der Neenwinkel 36. Winkeleziehungen 9 ) Kennt mn zwei Innenwinkel eines Dreiecks, lässt sich der dritte erechnen. ) Kennt mn die drei Winkel eines Dreiecks, lässt es sich eindeutig konstruieren. c) Ein Dreieck mit = 3 cm, = 5 cm und c = 35 lässt sich eindeutig konstruieren. d) Ein Dreieck mit = 5 cm, = 7 cm und c = 13 cm lässt sich eindeutig konstruieren. e) Es git keine gleichseitigen rechtwinkligen Dreiecke. f) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten liegt immer innerhl des Dreiecks. g) Ist die längste Seite eines Dreiecks Durchmesser seines Umkreises, so enötigt mn einen n diese Seite ngrenzenden Innenwinkel, um die nderen erechnen zu können. Dreiecke c A c Fig. 3 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 175

5 Vierecke D c d d A Flächeninhlte Körper c Fig ) Ein Viereck mit = 3 cm, = 5 cm, c = 65 und d = 100 lässt sich eindeutig konstruieren. ) Ein gleichschenkliges Trpez mit prllel zu c und = 6 cm, c = 3,5 cm und mit der zu gehörigen Höhe h = 2 cm lässt sich eindeutig konstruieren. c) Jedes Rechteck ist ein Trpez. d) Jedes Prllelogrmm ist eine Rute. e) Jedes chsensymmetrische Viereck ist ein gleichschenkliges Trpez. 11 ) Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen = 3 cm, = 5 cm und c = 6 cm esitzt einen Flächeninhlt von 15 cm 2. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge 5 cm esitzt einen größeren Flächeninhlt ls ein Trpez mit den prllelen Seiten = 7 cm, c = 3 cm und der Höhe h = 5 cm. c) Ein Prllelogrmm mit den Seiten = 2 cm und = 5 cm, ds kein Rechteck ist, esitzt den Flächeninhlt 10 cm 2. d) Stimmen in zwei Vierecken lle vier Seiten üerein, so sind ihre Flächeninhlte gleich. e) Ein Kreis mit dem Rdius r = 3 cm esitzt einen Flächeninhlt von etw 28,3 cm 2. f) Verdoppelt sich der Rdius eines Kreises, verdoppelt sich uch sein Flächeninhlt. 12 ) Ein Prism mit Grundfläche 12 cm 2 und Höhe 3 cm esitzt ein Volumen von 36 m 3. ) Die Schokoldenverpckung in Fig. 2 ist ein Prism. c) Ein Zylinder mit dem Rdius r = 5 cm und der Höhe h = 2 cm esitzt ein Volumen von etw 137,1 cm 3. d) Verdoppelt mn die Seitenlängen eines Würfels, verchtfcht sich sein Volumen. e) Wenn mn eine 1-Liter-Milchverpckung würfelförmig mchen will, dnn müsste jede Seite 10 cm lng sein. f) Ein Körper mit vier Flächen knn kein Prism sein. Dten und Zufll Whrscheinlichkeiten Sttistik Fig ) Die Whrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerde Zhl zu würfeln, ist 0,5. ) Die Whrscheinlichkeit, mit einem Quder (Fig. 3) eine gerde Zhl zu würfeln, ist 0,5. c) Die Whrscheinlichkeit, in zwei Münzwürfen zweiml Zhl zu werfen, ist genuso groß wie die Whrscheinlichkeit, in zwei Münzwürfeln einml Zhl und einml Wppen zu werfen. d) Ds Gegenereignis zu eine Zhl kleiner ls drei würfeln ist ds Ereignis eine Zhl größer ls drei würfeln. e) Whrscheinlichkeiten und reltive Häufigkeiten sind ds Gleiche, eide werden in Prozent ngegeen. f) Die Whrscheinlichkeit für dreiml hintereinnder eine 5 würfeln ist genuso groß wie die Whrscheinlichkeit für in drei Würfen die Summe 15 würfeln. 14 ) Der Medin der Dtenreihe 2, 8, 5, 3, 2, 6, 7, 4, 5 ist 4. ) Ds rithmetische Mittel der Dtenreihe 2, 8, 5, 3, 2, 6, 7, 4, 5 ist _ c) Wird von 200 Würfen 34-ml die 6 gewürfelt, eträgt ihre reltive Häufigkeit 34 %. d) Ht eine Dtenreihe nur gleiche Werte, so ist ihr Mittelwert gleich diesem Wert. e) Zu den Whlergenissen einer undestgswhl lässt sich weder der Medin noch ds rithmetische Mittel estimmen. f) Ist ds rithmetische Mittel einer Dtenreihe us fünf Dten 3, so muss die Summe ller Dten 15 sein. 176 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

6 15 Lies us dem oxplot, o die folgenden Aussgen whr oder flsch sind. ) Ds lngsmste Mädchen ist lngsmer ls jeder Junge. ) 50 % der Jungen lufen zwischen 8,6 und 9,5 Sekunden. c) ei den Mädchen lufen vermutlich mehr ls 50 % zwischen 8,6 und 9,5 Sekunden. d) Die este Zeit us dem Jhrgng ist ein Mädchen gelufen. e) Der lngsmste Junge lief üer 10 Sekunden. f) Die esten 25 % der Jungen liefen schneller ls 8,6 Sekunden. Digrmme Zeit in s 10,5 10,0 9,5 9,0 8,5 8,0 w m Geschlecht oxplot zu den Sprintergenissen üer 50 m. Auswertung und Selsteinschätzung Vergleiche deine Ergenisse mit den Lösungen und egründungen uf den Seiten 251 und folgende. Jetzt weißt du, wie viele Frgen du richtig entwortet und egründet hst, und knnst einschätzen, wie sicher du in den verschiedenen Geieten der Mthemtik ist. Notiere in deinem Heft die folgenden Aussgen und eurteile deine Fähigkeiten zu den gennnten Inhlten mithilfe der Noten von 1 is 6. Eine 1 heißt, dss du den ufgeführten Inhlt sehr gut eherrschst, und eine 6, dss du ihn gr nicht eherrschst. 1. Ich knn Terme mit Vrilen ufstellen und sicher umformen. 2. Ich knn Flächen verschiedenen Termen zuordnen. 3. Ich knn Wurzelterme sicher vereinfchen. 4. Ich eherrsche die Prozent- und Zinsrechnung sicher. 5. Ich knn proportionle und ntiproportionle Zuordnungen in Form einer Wertetelle, eines Grphen oder einer Gleichung drstellen. 6. Ich knn Aufgen mit dem Dreistz sicher lösen. 7. Ich knn Funktionsgleichungen ufstellen und zugehörige Grphen zeichnen. 8. Ich knn Gleichungen und linere Gleichungssysteme sicher lösen. 9. Ich knn fehlende Winkel in geometrischen Figuren sicher estimmen. 10. Ich knn Plnskizzen nfertigen und Dreiecke und Vierecke exkt konstruieren. 11. Ich kenne lle wichtigen Eigenschften von Dreiecken und esonderen Vierecken. 12. Ich knn Flächen und Volumin erechnen. 13. Ich knn Whrscheinlichkeiten und reltive Häufigkeiten sicher erechnen. 14. Ich kenne den Unterschied zwischen Medin und Mittelwert und knn eides estimmen. 15. Ich knn Kreisdigrmme, Säulendigrmme und oxplots zeichnen und interpretieren. Jetzt knnst du mit dem Üen eginnen. Auf den Seiten 172 und 173 findest du Vorschläge, wie du dei vorgehen knnst. egleite deine Üungsphsen m esten mit einem Lernprotokoll. Die folgende Telle ietet dir eine Hilfestellung, wie du ohne viel Aufwnd ein solches Lernprotokoll führen knnst, welches deinen Lernprozess egleitet und unterstützt. Mein Lernprotokoll Them Aufge lleine ereitet (j/n) richtig/ flsch Ws fnd ich n der Aufge schwierig? Muss ich derrtige Aufgen noch mehr üen? Rechnen mit Zhlen und Vrilen Funktionen Geometrie Stochstik Du knnst dir ntürlich noch eigene Aussgen zur Selsteinschätzung üerlegen. Diese Aussgen sollen nur eine Anregung sein. Üen er wie? Hole dir Hilfen und Anregungen uf den Seiten 172 und 173. VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 177

7 1 Arithmetik und Alger In der Arithmetik und Alger geht es um ds Rechnen mit Zhlen und Vrilen. Auch ds Aufstellen, Umformen und Lösen von Gleichungen sowie lineren Gleichungssystemen ist ein wichtiger estndteil der Alger. Zhlenereiche Wurzeln Rechengesetze Vorfhrtsregeln Ntürliche Zhlen (N): 1, 2, 3, 4, 5, Gnze Zhlen (Z): 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; Rtionle Zhlen (Q): Alle Zhlen, die sich ls ruch drstellen lssen. (Jede endliche und jede periodische Dezimlzhl lässt sich eenflls ls ruch drstellen.) Irrtionle Zhlen: Zhlen wie 2 = 1, , die sich nicht ls ruch schreien lssen. Mn knn diese Zhlen nur näherungsweise und nicht exkt ls Dezimlzhlen ngeen, denn die zugehörigen Dezimlzhlen hen unendlich viele Nchkommstellen und sind nicht periodisch. Reelle Zhlen (R): Alle rtionlen und irrtionlen Zhlen. Die Schreiweise 2 ; 3,5 ; 4 usw. meint jeweils diejenige positive Zhl, deren Qudrt 2; 3,5; 4 usw. ergit. Zu 2 sgt mn Qudrtwurzel us 2 oder einfch Wurzel us 2. Viele Wurzeln sind irrtionle Zhlen und lssen sich dher ls Dezimlzhl nicht exkt ngeen. eispiele 9 = 3; 0,25 = 0,5; 16 _ 49 = _ 4 7 ; 23 2 = 23; 9 x 2 = x (für x > 0); 5 = 2, Kommuttivgesetze (Vertuschungsgesetze): Für zwei Zhlen und gilt: + = + und = Assozitivgesetze (Verindungsgesetze): Für drei Zhlen, und c gilt: ( + ) + c = + ( + c) und ( ) c = ( c) Distriutivgesetze (Verteilungsgesetze): Für vier Zhlen,, c und d gilt: ( + c) = + c und ( c) = c zw. ( + ) (c + d) = (c + d) + (c + d) = c + d + c + d In Termen müssen Klmmern zuerst erechnet werden, und zwr die innere vor der äußeren. Außerdem gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung. eispiele ) x 2 9 x 2 + (2x) 2 3 ) (2 + 3) (4 7) 8 2 = x 2 9 x x 2 3 = = x 2 5 x 2 3 = 5 x 3 = 2 21 inomische Formeln Es gelten drei inomische Formeln: 1. ( + ) 2 = ( ) 2 = ( + ) ( ) = 2 2 eispiele ) (x + 3 ) 2 = x x + 9 c) ( 4 ) 2 = ) (s + 2 t) (s 2 t) = s 2 4 t 2 d) x x y + 25 y 2 = (x + 5 y) 2 Rechnen mit Wurzeln Für, º 0 gilt: ) = ) : = : c) 2 = 2 = eispiele ) 2 8 = 16 = 4 ) 27 : 3 = 27 : 3 = 9 = 3 c) 200 = = VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

8 Zur erechnung der Lösung einer Gleichung mit einer Vrilen muss die Gleichung mittels der für Terme und Gleichungen geltenden Regeln nch dieser Vrilen ufgelöst werden, sodss sie nch der Umformung lleine uf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. eispiel 8 x 2 (x 1) = x Zur Proe x = 2 in die Ausgngsgleichung 8 x 2 x + 2 = x einsetzen: (2 1) = x + 2 = x 3 x = x + 2 = = 14 3 x = 6 : 3 14 = 14 ist eine whre Aussge, lso ist x = 2 x = 2 die Lösung der Gleichung. Zum Lösen von lineren Gleichungssystemen mit zwei Vrilen git es drei Verfhren: ds Gleichsetzungsverfhren, ds Einsetzungsverfhren und ds Additionsverfhren. eispiele Gleichsetzungsverfhren Einsetzungsverfhren Additionsverfhren I: y = 5 x + 2 und I: y = 3 x + 1 und I: 4 x + 2 y = 8 und II: y = x 6 II: 3 x 2 y = 25 II: 6 x 2 y = 2 I und II gleichsetzen: I in II einsetzen: I und II ddieren: 5 x + 2 = x 6 x 3 x 2 ( 3 x + 1) = x = 10 : 10 4 x + 2 = x + 6 x 2 = x = 1 4 x = 8 : 4 9 x = 27 : 9 x = 2 x = 3 x = 2 in I (oder II) x = 3 in I einsetzen: x = 1 in I (oder II) einsetzen: einsetzen: y = 3 (3) + 1 = y = 8 y = 5 ( 2) + 2 = 8 y = 2 ( 2 8) ist die Lösung (3 8) ist die Lösung (1 2) ist die Lösung des LGS. des LGS. des LGS. Gleichungen Zur Kontrolle der Ergenisse knn mn die Lösung in die erste Zeile einsetzen. Wenn eine whre Aussge ruskommt, ist ds Ergenis richtig. Linere Gleichungssysteme (LGS) mit zwei Vrilen Aufgen 1 Setze Klmmern so, dss ds Ergenis stimmt. ) : 7 = 1 ) ( 2) = 48 c) ( 2) = Die lue Fläche in lässt sich uf verschiedene Weisen erechnen. ) Elis git für die erechnung der luen Fläche den folgenden Term n: (x ) (y ) + (x ) + (y ). Zeichne die ls Skizze in dein Heft und teile die lue Fläche entsprechend Eliss Term ein. Erkläre in Worten, wie Elis uf diesen Term kommt. ) Finde zwei weitere Terme, mit denen sich die lue Fläche erechnen lässt. c) Zeige durch eine Rechnung, dss Eliss und deine eiden Terme äquivlent sind. 3 Welche Zhlen knnst du für und einsetzen, sodss die Rechnung stimmt? Finde jeweils mindestens zwei Möglichkeiten. ) : = 3 ) = 3 c) 2 _ = 3 d) 3 = e) 3 = f) 2 = 3 y x 4 Fin ehuptet: Ich he lle Rekorde gerochen. In zwei Stunden he ich Purzeläume geschlgen. Eliseth glut ihm nicht. Knn Fins ehuptung stimmen? egründe durch Rechnung. VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 179

9 5 Phillip reitet in einer Fhrrdwerksttt und ist dfür zuständig, die Rechnungen für die Kunden in Excel zu schreien. Eine unvollständige Rechnung ist in geildet. A D 1 Rechnung Nr Dtum: Artikel Menge Einzelpreis ( ) Gesmtpreis ( ) 4 Schutzlech 2 5,99 11,98 5 remsschuh 4 4,58 6 Pedle 2 32,98 7 Kette 1 29,95 29,95 8 Gepäckträger 1 31,95 31,95 9 Zwischensumme 10 MwSt. (%) Rechnungsetrg 148,96 A D 1 Rechnung Nr Dtum: Artikel Menge Einzelpreis ( ) Gesmtpreis ( ) 4 Schutzlech 2 5,99 = 4*4 5 remsschuh 4 4,58 6 Pedle 2 16,49 7 Kette 1 29,95 = 7*7 8 Gepäckträger 1 31,95 9 Zwischensumme 10 MwSt. (%) Rechnungsetrg Fig. 2 ) erechne die fehlenden Werte in der Telle (). Schreie z..: D5 = ) Phillip erechnet die Werte in Splte D mithilfe von Excel. In Fig. 2 siehst du zwei seiner Eingen. Ergänze mögliche Formeln zur erechnung der fehlenden eträge in Fig. 2 und kontrolliere mit dem Tschenrechner, o deine Formel stimmen knn. 6 Entscheide, o die folgenden Aussgen whr oder flsch sind. egründe. ) Jede ntürliche Zhl lässt sich ls ruch schreien. ) Sutrhiert mn zwei ntürliche Zhlen, erhält mn immer eine ntürliche Zhl. c) Multipliziert mn zwei irrtionle Zhlen, erhält mn immer eine irrtionle Zhl. d) D Wurzeln immer positiv sind, git es keine negtiven irrtionlen Zhlen. e) Es git irrtionle Zhlen, deren 1000-Fches eine rtionle Zhl ist. f) Addiert mn fünf ufeinnder folgende ntürliche Zhlen miteinnder, ist ds Ergenis immer ein Vielfches der Zhl 5. 7 Auf dem Foto (Fig. 3) siehst du etw 1 _ 40 der esucher eines Konzertes von Herert Grönemeyer. Schätze die Anzhl der Konzertesucher. Erläutere dein Vorgehen. Hinweis: Zum Üerprüfen musst du für jede Vrile eine Zhl in die Aufge und in dein Ergenis einsetzen. Es muss jeweils ds Gleiche heruskommen. 8 Vereinfche so weit wie möglich. ) 3 x 4 y + 2 x (5 y) ) 4 (3 7 ) 7 (4 3 ) + 3 (7 4 ) c) 72 x y 2 (4 y (7 y 6 x)) ( 12 x) d) 4 x 2 x - x 2 + (3 x ) 3 3 (5 x - 4) (5 x + 4) e) Üerprüfe deine Ergenisse. 9 p Roert ht Terme ufgestellt, ei denen 1, 2, 6 und 12 heruskommt. ) Welcher Term gehört zu welchem Wert? Jeder untersucht ohne Tschenrechner zwei Terme und stellt seinem Tischnchrn die Rechnungen vor. ) Konstruiert selst einen komplizierten Term mit einem einfchen Ergenis und notiert den Term und ds Ergenis uf zwei Seiten eines Kärtchens. Nutzt die Kärtchen ls Üungsmteril. Fig. 3 ii) i) iv) iii) VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

10 10 Denke dir eine elieige Zhl. Verdopple diese Zhl und ddiere nschließend 7. Multipliziere ds Ergenis mit 3 und ddiere nschließend 3. Multipliziere ds Ergenis erneut mit 3 und sutrhiere vom Ergenis die Summe us deiner nfngs gedchten Zhl und 4. Teile ds Ergenis durch 17 und sutrhiere erneut deine nfngs gedchte Zhl. ) Führe die Anweisungen für drei verschiedene Zhlen durch. Ws fällt uf? ) Schreie für deine nfngs gedchte Zhl die Vrile x und stelle einen Term uf, der zu den Anweisungen psst. c) Vereinfche den Term us ) so weit wie möglich und egründe die Entdeckung us ). d) p Denke dir selst ein ähnliches Rätsel us und lsse es von deinem Nchrn lösen. 11 Finde herus, wie viele Hölzchen in den luen zw. roten oxen sind, sodss uf eiden Seiten einer Gleichung gleich viele Hölzchen liegen. Achte druf, dss in jeder luen zw. roten ox innerhl einer Aufge gleich viele Hölzchen liegen müssen. Pollys Tipp: Tipp: Achte uf die richtige Klmmersetzung. Setze nch jedem Schritt eine Klmmer um ds neue Ergenis. ) i) = ii) = ) i) = ii) = und und = = 12 Eine vierköpfige Fmilie ist zusmmen 127 Jhre lt. Ds ältere Kind ist hl so lt wie die Mutter. Die Mutter ist drei Jhre jünger ls der Vter. Ds jüngere Kind ist zwei Jhre jünger ls ds ältere. Wie lt sind die Fmilienmitglieder? 13 Fru Klein ht typische Fehler der Klssenreit ufgeschrieen. Finde und korrigiere sie. Führe nch deiner Korrektur jeweils die Proe durch. ) 18 x + 6 = 14 x 4 14 x 4 x + 6 = x = 10 4 x = 14 ) 9 (3 + 2 x) = x = x = 26 : 2 x = 13 c) (x + 4) 2 + (x 6) 2 = 2 x 2 + x x x 2 36 = 2 x 2 + x 2 x 2 20 = 2 x 2 + x 2 x 2 20 = x 14 Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 2 cm. Verkürzt mn die kürzere Seite um 5 cm und verlängert gleichzeitig die längere Seite um 3 cm, so wird der Flächeninhlt um 55 cm 2 kleiner. Wie lng sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? 15 Gegeen sind die Gleichungen I. 4 x = y und II. 6 2 x 1 _ 6 3 = y. ) Löse ds linere Gleichungssystem rechnerisch. ) Zeichne die Gerden zu I und II in ein Koordintensystem und üerprüfe deine Lösung us ) zeichnerisch. c) x soll der Zeit in Stunden und y der zurückgelegten Strecke eim Wndern in Kilometern entsprechen. Erfinde eine zu den Gleichungen pssende Aufge. d) Ws edeutet die in ) erechnete Lösung im Schzusmmenhng der Aufge us c)? 16 Gi je ein LGS mit zwei Vrilen n, ds die ngegeene Lösung ht. ) (1 2) ) (0 4) c) (5 6) d) ( 3 1) VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 181

11 2 Funktionen Zuordnungen oder Funktionen eschreien Zusmmenhänge von Größen mithilfe von Tellen, Grphen und Gleichungen. Dei werden die Zuordnungen zw. Funktionen oft zum Modellieren, lso zum eschreien der Wirklichkeit, eingesetzt. Prozentrechnung Der Ausdruck 23 % ist eine ndere Schreiweise für _ oder 0,23. Für den Prozentstz gilt: Prozentstz p = Prozentwert W Grundwert G oder kurz p = W _ G. eispiel Von 25 Schülern (Grundwert G) hen 7 Schüler (Prozentwert W) eine Drei in der Mthemtikreit. Ds sind p = _ 7 25 = _ = 0,28 = 28 % der Schüler. W p G uernregel: Durch Adecken der gesuchten Größe lässt sich dem Dreieck die nötige Formel entnehmen. Zinsrechnung Um W oder G zu estimmen, löst mn die Formel für p nch der gesuchten Größe uf: Formel uernregeln eispiel p = _ W G G p = W G = p G W 0,28 = _ W = p G : p W = p G W 7 = 0,28 25 : 0,28 G = _ W p p G 25 = 7 _ 0,28 Jhreszins: Wenn mn ein Guthen G für ein Jhr zu einem Zinsstz p ei der nk nlegt, erhält mn nch Aluf des Jhres G p Zinsen. Tgeszins: Legt mn ds Guthen G nicht für ds gnze Klenderjhr, sondern nur für t t Tge n, so erhält mn nur _ 360 G p Zinsen. Zinseszins: Liegt ein Guthen G für x Jhre zu einem Zinsstz p uf der nk, so knn mn ds Kpitl K nch x Jhren so erechnen: K = (1 + p) x G proportionle Zuordnung Jede proportionle Zuordnung ist eine spezielle linere Funktion. Ursprungsgerde y 2 1 O eispiel Tim legt 2300 zu einem Zinsstz von 3 % n. Legt er sein Geld ein Jhr n, erhält er ,03 = 69 Zinsen. Legt er es 5 Monte n, erhält er 2 _ = 28,75. Legt er es vier Jhre n, ht er ein Kpitl von (1 + 0,03 ) ,67. ei einer proportionlen Zuordnung x y gehört zum 2-; 3- zw. n-fchen der Größe x uch ds 2-; 3- zw. n-fche der Größe y. Der y-wert lässt sich mit einer Gleichung der Form y = m x erechnen. Der Grph einer proportionlen Zuordnung ist eine Gerde, die immer durch den Punkt (0 0) verläuft. eispiel 2 5 Durch die Telle in Fig. 2 wird eine proportionle Zuordnung eschrieen. 0,5 0,5 0,5 X Y 0,5 1 1,5 2,5 3,5 5 Die Zuordnungsvorschrift lutet y = 0,5 x x Der Grph ist in drgestellt. 2 5 Fig. 2 ntiproportionle Zuordnung ei einer ntiproportionlen Zuordnung x y gehört zum 2-; 3-; zw. n-fchen der Größe x der 2-te; 3-te; zw. n-te Teil der Größe y. Der y-wert lässt sich mit einer Gleichung der Form y = _ x erechnen. Der Grph einer ntiproportionlen Zuordnung ist eine Hyperel. 182 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

12 eispiel Durch die Telle in wird eine ntiproportionle Zuordnung eschrieen. Die Zuordnungsvorschrift lutet y = _ 4 x. Der Grph ist in Fig. 2 drgestellt. ei einer proportionlen sowie ei einer ntiproportionlen Zuordnung lssen sich gesuchte Werte mit dem Dreistz estimmen: eispiel (proportionl) 1200 ø Heizöl kosten 600. Mit dem Dreistz lässt sich erechnen, wie viel 1700 ø Heizöl kosten: : 1200 eispiel (ntiproportionl) Eine Pckung Vogelfutter reicht für drei Vögel 15 Tge. Mit dem Dreistz lässt sich erechnen, wie viele Tge die Pckung für fünf Vögel reicht: Heizölmenge in ø Preis in Anzhl der Vögel Anzhl der Tge : 1200 : 3 1 0, X 0,4 0, Y ,8 : 2 : 5 Achtung! Hier teilen! 3 : 5 Jede ntiproportionle Zuordnung ist eine spezielle Funktion. Hyperel y O Achtung! Auf der einen Seite wird multipliziert und uf der nderen dividiert! x Fig. 3 Zuordnungen x y, ei denen mn zur erechnung des y-wertes eine Gleichung der Form y = m x + n ufstellen knn, heißen linere Funktionen. Der Grph schneidet die y-achse in S (0 n), woei n y-achsenschnitt gennnt wird. Die Steigung m git n, um wie viel der y-wert steigt zw. fällt, wenn x um 1 zunimmt. Linere Funktionen eispiel Die Gerde g geht durch die Punkte A (1 5) und ( 1 1). Die Steigung m von g lässt sich erechnen mit: m = y y A _ x x = _ 1 5 A 1 1 = _ 6 2 = 3 Durch ds Einsetzen von m = 3 und den Koordinten eines Punktes, z.. A (1 5) in y = m x + n, lässt sich n erechnen: 5 = n 3 n = 2 Die Funktionsgleichung von g ist lso: y = 3 x + 2. y-achsenschnitt n = 2 y g A 3 Einheiten nch oen 1 Einheit nch rechts Also ist m = 3 : 1 = 3 und dmit g: y = 3 x x Aufgen 1 20 % ller Nordrhein-Westflen wren noch nie in den Niederlnden. Welche von den folgenden Aussgen edeutet ds Gleiche? Kommentiere deine Antwort. (I) Jeder zwnzigste Nordrhein-Westfle wr noch nie in den Niederlnden. (II) 20 Nordrhein-Westflen wren noch nie in den Niederlnden. (III) Von 15 Nordrhein-Westflen wren durchschnittlich drei noch nie in den Niederlnden. (IV) Von zwnzig Nordrhein-Westflen wr durchschnittlich einer noch nie in den Niederlnden. (V) Jeder fünfte Nordrhein-Westfle wr noch nie in den Niederlnden. VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 183

13 Strecke in km nk A: 3,5 % Zinsen in den ersten eiden Jhren dem dritten Jhr 4,5 % Zinsen nk : 4 % Zinsen ei Anlgezeiten unter einem Jhr werden 10 ereitungsgeühr erhoen Verruch in Litern 80 6, , ,8 2 Antoni erzählt Helene: Ich he für meine neuen Schuhe nur noch 39 ezhlt und he dei 40 % gesprt. Helene erwidert: Meine neuen Schuhe hen ursprünglich 60 gekostet und ich he nur noch 33 für sie ezhlt, lso wurden meine Schuhe noch stärker reduziert ls deine. ) Wie viel Euro hen Antonis neue Schuhe vor dem Preisnchlss gekostet? ) Um wie viel Prozent wurden Helenes neue Schuhe reduziert? c) Wer von den eiden ht ein größeres Schnäppchen gemcht? 3 Mrc möchte 2700 nlegen. Er ht zwei Angeote zur Auswhl (nk A und, siehe Rndsplte). ) Für welches Angeot sollte er sich entscheiden, wenn er ds Geld genu ein Jhr nlegen möchte und wie viele Zinsen erhält er dnn? ) Welches Angeot ist lukrtiver, wenn er sein Geld nur sieen Monte nlegen möchte? c) ei welcher nk ht er nch fünf Jhren mehr Geld uf dem Konto und wie viel? d) Wie viele Jhre müsste er sein Geld mindestens nlegen, dmit sich die Anlge ei nk A lohnt? e) Jons erhält nch 5 Monten ei nk A 42 Zinsen. Wie viel Geld htte er ngelegt? 4 Ds Auto von Herrn Huer verrucht durchschnittlich 8 Liter enzin uf 100 km. Ds Auto von Herrn Schreier verrucht nur 7 Liter uf 100 km, ds von Fru Kruse 9 Liter uf 100 km. Der Grph und die Telle stellen den durchschnittlichen enzinverruch eines dieser Autos dr ) Zu welchem Auto psst die Telle in? egründe. Fig. 2 ) Zu welchem Auto psst der Grph in Fig. 2? egründe. c) Gi für den enzinverruch der drei Autos je eine Funktionsgleichung n, welche die Anzhl der verruchten Liter y in Ahängigkeit von den gefhrenen Kilometern x ngit. d) Julin ezweifelt, dss sich der enzinverruch in Wirklichkeit exkt durch eine linere Funktion eschreien lässt. Nimm Stellung Verruch in ø Strecke in km 5 Nch dem etriesprktikum in Klsse 9 soll jeder Schüler einen Prktikumsericht von 7 Seiten geen. Auf jeder Seite sollen 50 Zeilen Text in der Schrift Aril und der Schriftgröße 12 stehen. Ayse fällt nicht so viel ein, sodss sie unter diesen edingungen nur uf 5 Seiten kommt. Sie üerlegt sich, den Zeilenstnd zu ändern, sodss sttt 50 Zeilen nur 38 Zeilen uf eine Seite pssen. ) Wie viele Seiten ht der ericht von Ayse jetzt? ) Wie viele Seiten hätte ein ericht, der nch den oigen Vorgen (sieen Seiten, 50 Zeilen pro Seite) geschrieen wurde, in Ayses Formtierung? Aus den Lernstndserheungen m 3 uschutt sollen trnsportiert werden. Fünf LKW würden dzu jeweils 60 Fhrten enötigen, wenn jeder LKW gleichmäßig elden wird. ) Wie viel m 3 uschutt würde ein LKW dnn pro Fhrt trnsportieren? ) Von den fünf LKW fällt ein LKW us. Er ht is dhin ereits 20 Fhrten gemcht. Die restlichen Fhrten dieses LKW müssen die ürigen LKW üernehmen. Wie viele Fhrten muss dnn jeder der ürigen LKW insgesmt mchen? c) Wie viele Fhrten müsste jeder LKW mchen, wenn zum Atrnsport der 4500 m 3 nur drei LKW zur Verfügung stehen würden? d) Wie viele LKW würden enötigt, wenn jeder LKW genu 25 Fhrten mchen soll? 184 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

14 7 Welcher der Grphen könnte zu welcher Zuordnung gehören? egründe. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ) Zeit zurückgelegter Weg ei konstnter Geschwindigkeit ) rennduer Höhe einer rennenden Kerze c) Volumen Füllhöhe einer uchigen Vse () d) Zeit Geschwindigkeit eim Fhren einer Kurve e) Zeit Astnd vom oden zum Schukelrett. f) Alter eines Menschen seine Körpergröße g) Üerlege dir für den ürig gelieenen Grphen eine pssende Zuordnung. egründe. 8 Alexnder ht die Aufge, die Grphen der lineren Funktionen i) is iii) zu zeichnen, mcht hierei er einige Fehler. Finde die Fehler, indem du die Gleichungen zu den von Alexnder gezeichneten Gerden (Fig. 2 4) ufstellst und erläutere, wie diese Fehler zustnde gekommen sein könnten. Zeichne nschließend die richtigen Grphen. i) y = 3 x + 2 ii) y = _ 2 3 x 1 iii) y = _ 1 4 x + _ Lis möchte ihren Hndy-Trif wechseln. Ihr stehen die zwei Angeote zur Verfügung: Trif 1: 0 Grundgeühr pro Mont 17 ct/min in lle deutschen Netze Trif 2: 7,49 Grundgeühr pro Mont 9 ct/min in lle deutschen Netze ) Für welchen Trif sollte sich Lis entscheiden? egründe rechnerisch und zeichnerisch. ) Der Verkäufer versucht Lis zu üerreden, sich für eine Hndy-Fltrte zu entscheiden. Hierei könnte sie für 24,99 montlich so viel telefonieren, wie sie möchte. Wie viele Minuten müsste Lis montlich telefonieren, dmit sich eine Fltrte für sie lohnt? 10 Mnuel ht gelesen, dss die rennduer einer Kerze liner mit ihre Länge zusmmenhängt. Sie zündet gleichzeitig zwei Kerzen n, misst nch einer estimmten Zeit die Längen und trägt sie in eine Telle ein (Fig. 5). ) Hängt die rennduer einer Kerze nch Mnuels Messungen liner mit ihrer Länge zusmmen? Prüfe rechnerisch und zeichnerisch. ) Gehe dvon us, dss der Zusmmenhng ttsächlich exkt liner ist und je die ersten eiden Messwerte von Mnuel diesen Zusmmenhng für Kerze 1 und 2 eindeutig eschreien. Zu welchem Zeitpunkt sind eide Kerzen gleich lng? 11 Ein Schwimmecken fsst 70 m 3 Wsser. Es wird mit einem Schluch gefüllt, durch den in einer Stunde 1,9 m 3 Wsser fließen. Nch 7 Stunden kommt ein zweiter Schluch hinzu, durch den in 2 Stunden 3,2 m 3 Wsser fließen. ) Zeichne den Grphen der Funktion Zeit Wsservolumen im Schwimmecken. ) Gi die Gleichungen für die Funktion Zeit Wsservolumen im ecken für den Zeitrum is zu sieen Stunden und für den Zeitrum von eginn der 8ten Stunde n. c) Nch wie vielen Stunden ist ds ecken zur Hälfte, gnz zw. zu 85 % gefüllt? i) y O 1 2 ii) O 1 2 iii) y O 1 2 Zeit y Länge 1 x Fig. 2 x Fig. 3 x Fig. 4 Länge 2 2 h 8 cm 7 cm 2,5 h 5 cm 6,1 cm 3 h 24 min 0 cm 4,9 cm Fig. 5 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 185

15 3 Geometrie In der Geometrie geht es um Figuren in der Eene und Körper im Rum. Sowohl ds Zeichnen von estimmten Figuren und Körpern ls uch ds erechnen von uneknnten Seiten, Winkeln, Umfängen, Flächen und Volumin sind wesentliche estndteile. Winkel n Gerden Scheitelwinkel sind gleich groß. Neenwinkel ergänzen sich zu 180. An Prllelen gilt: Stufenwinkel sind gleich groß. Wechselwinkel sind gleich groß. Scheitelwinkel Stufenwinkel g Neenwinkel Wechselwinkel g h h Dreiecke konstruieren (Kongruenzsätze) Ein Dreieck lässt sich eindeutig konstruieren, wenn die folgenden Größen gegeen sind: die drei Seiten (sss). eine Seite und die eiden nliegenden Winkel (wsw). zwei Seiten und der von den Seiten eingeschlossene Winkel (sws). zwei Seiten und der Winkel, der gegenüer von der größeren Seite liegt (Ssw). sss sws wsw Ssw esondere Linien im Dreieck Alle Punkte uf der Mittelsenkrechten zu A und hen zu A und den gleichen Astnd. Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich im Umkreismittelpunkt (). Alle Punkte uf einer Winkelhlierenden hen zu den eiden Schenkeln des Winkels den gleichen Astnd. Die drei Winkelhlierenden eines Dreiecks schneiden sich im Inkreismittelpunkt (Fig. 2). m r A c r M r m c m w A c W r w w c Fig. 2 Stz des Thles A Flächeninhlte von Drei- und Vierecken Liegt der Punkt des Dreiecks A uf dem Hlkreis üer der Strecke A (Strecke A ist Durchmesser des Kreises), so ist c ein rechter Winkel. Umgekehrt gilt: Ht ein Dreieck einen rechten Winkel ei, dnn liegt uf dem Hlkreis üer der Strecke A. Für Dreiecke mit der Grundseite und der zugehörigen Höhe h gilt: A = 1 _ 2 h. Für Prllelogrmme zw. Ruten mit der Grundseite und der zugehörigen Höhe h gilt: A = h. Für Trpeze mit c und der zu gehörigen Höhe h gilt: A = 1 _ 2 ( + c) h. A d d D h D h c c c h A d A D c h A 186 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

16 Für Kreise mit Rdius r gilt: Flächeninhlt: A = π r 2 Umfng: U = 2 π r Für die Kreiszhl π gilt: π 3,14 Für Quder mit den Seiten, und c gilt: V = c O = c + 2 c M r c Kreise Quder Es sei: Volumen: V Oerfläche: O Mntelfläche: M Für Prismen mit der Grundfläche G, der Höhe h und der Mntelfläche M gilt: V = G h. O = 2 G + M. G h h G Prismen Für Zylinder mit dem Rdius r und der Höhe h gilt: V = π r 2 h M = 2 π r h O = M + 2 G = 2 π r h + 2 π r 2 r h h M r r Zylinder Aufgen 1 estimme jeweils die fehlenden Winkel. egründe usführlich. ) ) c) d) c c c ) Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen der Eene und dem erggipfel in? Zeichne im Mßst 1 : ) Um die reite eines Flusses zu estimmen, knn mn von einem Punkt A us, die Punkte und npeilen. Die Peilung ht neenstehende Werte ergeen (Fig. 2). Ermittle die Flussreite mithilfe einer Konstruktion. 1,5 m m 1 : 2000 edeutet, dss 1 cm in der Zeichnung 2000 cm = 20 m in der Wirklichkeit entspricht. 3 In einem Dreieck mit den Innenwinkeln, und c ist um 20 größer ls und c dreiml so groß wie. erechne die Winkel. 60 m 25 A 120 Fig. 2 4 M ist die Mitte der Strecke A. Die Strecke M ist hl so lng wie die Strecke A. estimme die fehlenden Winkel. A M 68,5 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 187

17 Aus den Lernstndserheungen In einem Koordintensystem (1 cm entspricht 2 km) sind die Orte Esenshmm E (6 13) und Schwnewede S (11 1) ngegeen. Durch die Punkte P (9 15) und Q (7 1) verläuft der Fluss Weser nhezu gerdlinig. ) Üertrge den Schverhlt in ein Koordintensystem. ) Wie groß ist die Entfernung der eiden Orte voneinnder? c) Zwischen Esenshmm und Schwnewede soll ein Krftwerk geut werden. Dieses soll einen gleichen, er möglichst geringen Astnd zu Esenshmm und Schwnewede hen. Gleichzeitig ist ufgrund der Hochwssergefhr ein Sicherheitsstnd von 6 km zur Weser einzuhlten. estimme in der Zeichnung die Stelle, n der ds Krftwerk geut werden soll. d) Trge den Ort Mltenkirchen M (1 9) eenflls ins Koordintensystem ein. Konstruiere den Stndort des Krftwerks, sodss dieses von llen drei Orten gleich weit entfernt ist. Wie groß ist dnn die Entfernung des Krftwerks zum Fluss? 6 Entscheide, o die folgenden Aussgen whr oder flsch sind. egründe. ) In einem gleichseitigen Dreieck ist der Innkreismittelpunkt zugleich der Umkreismittelpunkt. ) Es git kein Dreieck mit den Seitenlängen = 3 cm, = 5 cm und c = 9 cm. c) Jedes gleichschenklige Dreieck mit einem 60 -Winkel ist gleichseitig. d) Ein Dreieck mit genu einer Symmetriechse ist gleichschenklig. e) Drei Punkte, die nicht uf einer Gerden liegen, liegen immer uf einem Kreis. Fig. 6 7 ) Ws soll in zum Ausdruck gercht werden? Nenne lle eziehungen, die sich us lesen lssen. ) Welches Viereck könnte gemeint sein? Mnchml git es mehrere Möglichkeiten. (I) Ds Viereck ht vier rechte Winkel und je zwei zueinnder prllele Seiten. (II) Die Digonlen sind gleich lng. (III) Alle vier Seiten sind gleich lng. 8 ) Ein Kästchen soll einem hlen Zentimeter entsprechen. Hen die eiden Figuren (Fig. 2 und Fig. 3) gleiche Flächeninhlte? egründe. erechne ußerdem die Flächeninhlte der eiden Figuren. ) estimme die Flächeninhlte von Fig. 4 und Fig. 5. Erläutere dein Vorgehen. c) Jn ehuptet: Der Flächeninhlt des Kreises knn nicht doppelt so groß sein, wie der des Qudrtes. egründe mithilfe von Fig. 6, ohne die Formel für den Flächeninhlt des Kreises zu verwenden. 9 ) Erkläre den egriff Prism, ohne ds Wort Prism zu nennen. ) Zeichne Fig. 7 in dein Heft und vervollständige zum Netz eines Prisms. c) estimme ds Volumen des Prisms. Rechteck gleichsch. Trpez 23,6 Trpez 18,7 Qudrt 30,2 25,2 Rute Drchen Prllelogrmm Viereck Fig. 2 Fig. 3 15,1 2,7 4,2 3,5 1,4 Fig. 4 Fig. 5 Fig VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

18 10 erechne ds Gesmtvolumen der Möelstücke in Fig. 2 und Fig Ein DIN-A4-ltt (21 cm reit und 29,7 cm lng) wird n den kurzen Seiten zusmmengeklet, sodss eine Rolle entsteht (). Der Kleernd eträgt 7 mm. ) estimme den Umfng der Ppierrolle. ) Erläutere, wie mn us den gegeenen Größen den Rdius des Zylinders estimmen knn und zeige rechnerisch, dss r 4,62 cm eträgt. c) estimme rechnerisch ds Volumen des so entstndenen Zylinders und prüfe, o es größer ls ein Liter ist. d) Mn knn ds DIN-A4-ltt uch ndersherum zusmmenrollen. erechne ds Volumen, wenn mn uch hier 7 mm für den Kleernd enötigt. Um wie viel Prozent weicht ds Ergenis von dem in c). e) Hndwerker enutzen zur Kreisumfngerechnung oft die folgende Fustformel: Kreisumfng gleich Durchmesser ml 3 plus 5 Prozent vom Ergenis e1) erechne den Umfng der oigen Ppierrolle (r 4,62 cm) mithilfe der Fustformel. e2) erechne den Näherungswert für π, der ei dieser Fustformel verwendet wird. f) Welche ruchzhl _ m n mit n * {1; 2; 3, 4; 5; 7; 8; 9} ht die geringste Differenz zu π. egründe deine Entscheidung. 2,0 m 0,8 m 0,2 m 1,2 m 0,8 m Fig. 2 0,8 m 1,2 m 2,4 m Fig. 3 0,6 m 12 Die Pizzeri ell Itli ietet Pizzen in zwei verschiedenen Größen und mit unterschiedlichen elägen n. Eine große Pizz Mrgherit (mit Tomten und Käse) mit einem Durchmesser von 30 cm kostet 6,00. ) Wie groß ist die Fläche der großen Pizz Mrgherit und wie lng ist ihr Rnd? ) Die Fläche der großen Pizz ist doppelt so groß wie die Fläche der kleinen Pizz. Wie groß ist der Durchmesser der kleinen Pizz? c) Wenn mn ei der großen Pizz neen den elägen Käse und Tomten zusätzlich Slmi und hmpignons estellt, so ist der Preis der Pizz um 16 % höher. Ws kostet diese Pizz (gerundet uf eine Nchkommstelle)? d) Jede große Pizz Mrgherit ht ußen herum eine 1,5 cm reite Rndfläche, die nicht elegt ist. Wie groß ist die elegte Fläche und wie groß die nicht elegte Fläche der großen Pizz? Wie viel Prozent der Gesmtfläche ist elegt? e) Die Pizzeri ell Itli ietet uch ein Sonderngeot für Fmilien n und zwr eine Fmilienpizz mit 45 cm Durchmesser, die 12,00 kostet. ewerte dieses Sonderngeot. 13 Die Qudrtfolge in Fig. 4 ist nch einem estimmten Muster ufgeut. ) eschreie die Regel zur ildung der Qudrtfolge mit eigenen Worten. ) estimme den Flächeninhlt der Qudrte durch Zerlegung. (Kästchenlänge 1 cm) c) Welche llgemeine Regel zur estimmung der Flächeninhlte der Qudrte lässt sich finden? Fig. 4 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 189

19 4 Stochstik Stochstik umfsst drei Teilgeiete. In der eschreienden Sttistik smmelt mn Dten, estimmt reltive Häufigkeitsverteilungen, stellt sie grfisch dr und eschreit sie durch Kenngrößen. In der Whrscheinlichkeitsrechnung geht es um theoretische Whrscheinlichkeiten, mit denen mn rele reltive Häufigkeiten ei Zufllsexperimenten und sttistischen Erheungen vorhersgen möchte. In der eurteilenden Sttistik, prüft mn, o ngenommene Whrscheinlichkeiten zu reltiven Häufigkeiten pssen. Whrscheinlichkeit (Lplce und nicht Lplce) Den Ergenissen von Zufllsexperimenten oder sttistischen Erheungen knn mn Whrscheinlichkeiten zuordnen, die zusmmen 100 % ergeen müssen. Die Whrscheinlichkeiten geen n, welche reltive Häufigkeit mn uf lnge Sicht erwrtet. Whrscheinlichkeiten sind gut gewählt, wenn sie reltive Häufigkeiten gut vorhersgen. Wenn ei einem Zufllsexperiment mit n möglichen Ergenissen lle n Ergenisse gleich whrscheinlich sind, spricht mn von einem Lplce-Experiment und erechnet die Whrscheinlichkeit p eines Ergenisses mit der Formel p = 1 _ n. Gegenüerliegende Zhlen eines Quders ergeen in der Summe 7 und esitzen die gleiche Whrscheinlichkeit. Summenregel eispiel ei einem Lplce-Würfel ist die Whrscheinlichkeit für jede Augenzhl p = _ 1 6 0,167 = 16,7 %. Ds Würfeln mit Qudern () ist kein Lplce-Experiment, hier muss mn die Whrscheinlichkeiten us reltiven Häufigkeiten schätzen, woei mn uf Symmetrien chtet. Aus reltiven Häufigkeiten ergit sich für die geschätzten Whrscheinlichkeiten: p (1) = p (6) = 0,1 p (2) = p (5) = 0,07 p (3) = p (4) = 0,33. Mn knn mehrere Ergenisse zu einem Ereignis zusmmenfssen. Die zugehörige Whrscheinlichkeit erhält mn, indem mn die Whrscheinlichkeiten der Ergenisse ddiert. eispiel Die Whrscheinlichkeit p für ds Würfeln einer Zhl, die größer ls 2 ist, eträgt mit einem Lplce-Würfel p = _ 4 6 0,667 = 66,7 %, d 3, 4, 5 und 6 größer sind ls 2. umdigrmm Pfdregel Mehrstufige Zufllsexperimente eschreit mn durch umdigrmme. Ds umdigrmm unten verdeutlicht die erechnung der Whrscheinlichkeit für ds Ereignis Augensumme 8 eim zweimligen Würfeln mit einem Lplce-Würfel. Die Whrscheinlichkeit eines jeden Pfdes erhält mn, indem mn die Whrscheinlichkeiten längs des Pfdes multipliziert Augensumme 8 eispiel Fig. 2 In Fig. 2 ist die Whrscheinlichkeit für jeden Pfd p = _ 1 6 _ 1 6 = _ D fünf Pfde, (2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3) und (6; 2), zur Augensumme 8 führen, ist die Whrscheinlichkeit für dieses Ereignis nch der Summenregel p = 5 _ 1 36 = _ ,139 = 13,9 %. 190 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

20 emerkung: Für den Quder in ist die Whrscheinlichkeit für Augensumme 8 p = 0,07 0,1 + 0,33 0,07 + 0,33 0,33 + 0,07 0,33 + 0,1 0,07 = 0,1691 = 16,91 % Die Anzhl, mit der ei einer sttistischen Erheung (oder einem Zufllsversuch) Ergenisse uftreten, heißt solute Häufigkeit. Den zugehörigen Anteil n der Gesmtzhl nennt solute Häufigkeit mn reltive Häufigkeit. Es gilt: reltive Häufigkeit = Gesmtzhl. eispiel ei einem Test erzielten 30 Schüler die folgenden Punkte: 2; 3; 5; 5; 4; 7; 6; 8; 3; 6; 6; 2; 7; 2; 5; 5; 5; 3; 6; 3; 4; 5; 5; 7; 1; 2; 4, 5; 7; 9. Durch Auszählen erhält mn die soluten und die reltiven Häufigkeiten der verschiedenen Punkte (). Punkte im Test solute H reltive H. 3,3 % 13,3 % 13,3 % 10,0 % 26,7 % 13,3 % 13,3 % 3,3 % 3,3 % Die Kenngrößen estimmt mn wie folgt: rithmetisches Mittel: ( ) : 30 4,73 Medin (Zentrlwert): Um den Medin lesen zu können, muss mn die Liste sortieren: eschreiende Sttistik Häufigkeiten Kenngrößen Mittelwerte Streuungsmße Minium unteres Qurtil Medin = (5 + 5) : 2 oeres Qurtil Mximum D die Länge der Liste (30) gerde ist, nimmt mn ls Medin den Mittelwert des 15ten und des 16ten Wertes. Mn erhält ls Medin 5. Spnnweite: Mximum Minumum = 9 1 = 8 Qurtilstnd: oeres Qurtil unteres Qurtil = 6 3 = 3 / Streuungsmße Die Dten werden wie folgt in Digrmmen vernschulicht: ,3 % 3,3 % 3,3 % lkendigrmm 10 % 13,3 % 13,3 % 13,3 % 13,3 % 26,7 % 0 4 % 8 % 12 % 16 % 20 % 24 % 28 % Medin Arith. Mittel oxplot Mximum oeres Qurtil unteres Qurtil Minimum Digrmme 9 3 % 8 3 % 7 13 % 6 13 % 5 28 % 1 3 % Kreisdigrmm 2 14 % 3 13 % 4 10 % Aufgen 1 estimme ei dem Glücksrd in Fig. 2 die Whrscheinlichkeiten für die Ereignisse. ) Rot ) 7 c) ungerde Zhl d) Teiler von 10 e) Die Summe der gedrehten Zhlen eim zweimligen Drehen ist 6 f) Ds Produkt der gedrehten Zhlen eim zweimligen Drehen ist durch 3 teilr Fig. 2 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 191

21 Quder mit qudrtischer Grundfläche Würfel W keiten 1 10% 2 10% 3 40% 4 20% 5 10% 6 10% Fig. 2 2 In einer Urne efinden sich eine gele, drei rote, zwei lue und vier grüne Kugeln. Die Whrscheinlichkeit für grün ist dmit _ 4 10 = 40 %. Wie ändert sich die Whrscheinlichkeit für ds Ziehen einer grünen Kugel wenn mn ) von jeder Fre eine Kugel dzulegt, ) von jeder Fre eine Kugel wegnimmt, c) zwei grüne und drei gele dzulegt, d) eine grüne und lle luen wegnimmt, e) jeweils die Anzhl der Kugeln verdoppelt? 3 Die Summe gegenüerliegender Zhlen ist ei Qudern und Würfeln stets 7. ) Ist die Whrscheinlichkeit für 6 eim Quder oder eim Würfel größer? egründe. ) eim Quder ist die Whrscheinlichkeit für eine 4 10 %. Wie groß müssen dnn die Whrscheinlichkeiten für die ürigen Zhlen sein? Welche Annhmen mchst du ei deiner Rechnung? c) estimme für den Quder und den Würfel die Whrscheinlichkeiten für ds Ereignis In zwei Würfen ist die Augensumme größer ls 6 mithilfe eines umdigrmms. d) estimme die Whrscheinlichkeit des Ereignisses In drei Würfen keine 1. 4 In der 8 hen die Schüler nch vielen Versuchen die Whrscheinlichkeiten eines Lego-Vierers wie in geschätzt. ) Erläutere, wie die 8 dei vorgegngen sein könnte. ) erechne mit der Schätzung der 8 die Whrscheinlichkeit dfür, dss mn eim viermligen Würfeln mit dem Lego-Vierer mindestens zweiml die 4 (Noppen oen) erhält. c) Ing steckt zwei der Lego-Vierer zu einem Doppelvierer zusmmen (vgl. Fig. 2). eschreie, wie sich ddurch die Whrscheinlichkeiten ändern. Gi eine Schätzung n. d) Üerprüfe die Schätzung durch eine Versuchsreihe mit 100 Würfen eines Doppelvierers. 5 Auf einem Fest hst du die Möglichkeit, zwischen zwei Lottovrinten zu wählen: 3 us 5 und 5 us 7. Du erhältst nur dnn einen Preis, wenn du lle Zhlen richtig hst. ) Schätze die Gewinnwhrscheinlichkeiten der eiden Lottovrinten. ) Simuliere die eiden Lottovrinten zusmmen mit deinem Nchrn jeweils 50-ml mit einem Würfel zw. einem Krtenspiel. erechne die reltiven Häufigkeiten für Spiel gewonnen zw. Spiel verloren. c) erechne die Whrscheinlichkeiten für ds Ereignis Spiel gewonnen für eide Lottovrinten mithilfe eines umdigrmms. Für welche sollte mn sich entscheiden und inwiefern estätigt die Simultion in ) die theoretisch ermittelten Whrscheinlichkeiten? d) Die Vrinte 3 us 5 kostet einen Euro Einstz. Ht mn drei Zhlen richtig, gewinnt mn 5, ht mn nur zwei von drei Zhlen richtig, erhält mn 2 und ei einer richtigen Zhl erhält mn seinen Einstz zurück. erechne mithilfe der Simultion us ) die reltiven Häufigkeiten für 0, 1, 2, und 3 Treffer und nschließend die Whrscheinlichkeiten. Muss mn ei dieser Spielvrinte uf lnge Sicht mit Einnhmen oder Verlusten rechnen? 6 Die Schüler der 8d wurden efrgt, wie viele Stunden sie täglich im Netz verringen. Die Antworten werden im Folgenden ufgelistet (lle Angen in h): 3; 2; 0; 1; 5; 1; 1; 3; 4; 2; 3; 2; 3; 7; 4; 1; 5; 4; 6; 2; 2; 3; 4; 2; 5; 3; 3; 5, 4 ) estimme ds Minimum, ds Mximum, die Spnnweite, ds rithmetische Mittel, den Medin und den Qurtilstnd der ufgeführten Dten. ) estimme die soluten und reltiven Häufigkeiten der uftretenden Zeiten und vernschuliche die Ergenisse der efrgung in einem Säulendigrmm sowie einem oxplot. c) In der 8c verringen die Schüler im Durchschnitt vier Stunden m Tg im Netz. Gi zu diesem Durchschnittswert mindestens zwei mögliche Dtenreihen mit jeweils 21 Dten n. 192 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen

22 7 Die 24 Schüler der Klsse 8 mchten die folgenden Angen zu ihrer Lielingssportrt: Sieen Schüler nnnten Fußll, ein Drittel nnnte Volleyll und 25 % dminton. Alle nderen Schüler wählten sketll. Jeder Schüler durfte nur eine Sportrt ngeen. ) Stelle ds Whlverhlten der Schüler in einem Kreisdigrmm dr. ) Jn möchte den Mittelwert ller Dten erechnen, knn sich er nicht erinnern, wie ds geht. Knnst du ihr helfen? 8 In einer Umfrge wurden Erwchsene nch ihren montlichen Ausgen fürs Hndy gefrgt. Die Umfrgeergenisse in Euro sind in einem oxplot drgestellt (). Entscheide, o die folgenden Aussgen whr oder flsch sind. egründe und korrigiere gegeenenflls. ) 50 % ller Fruen geen zwischen 65 und 140 us. ) Der sprsmste Mnn git weniger ls 5 us. c) 25 % der Fruen geen zwischen 45 und 65 us. d) Mehr ls 50 % der Fruen geen mehr ls 80 us. e) Weniger ls 50 % der Männer geen mehr ls 40 us. f) Von den Männern geen mehr ls 25 % zwischen 35 und 60 us. 9 In der Telle in Fig. 3 ist ds Ergenis einer Umfrge zum Them E-Mil-Versnd ufgeführt. efrgt wurden Erwchsene im Alter von 25 is 65 Jhren. Zu den Umfrgeergenissen wurde ein Zeitungsrtikel (Fig. 2) verfsst. ) Der Artikel enthält fünf ehuptungen. Welche dvon knnst du ufgrund der Dten estätigen, welche nicht? egründe durch geeignete Rechnung. ) Stelle die Dten der Telle in Fig. 3 in einem oxplot dr. Anzhl der versndten Anzhl der Personen E-Mil, die schnelle Post E-Mils pro Tg is 30 Jhre üer 30 Jhre Ds Versenden von E-Mils wird immer elieter Vor llem junge Menschen nutzen diese Möglichkeit intensiv. Immerhin versenden üer die Hälfte von ihnen regelmäßig mehr ls 4 E-Mils pro Tg, unter den üer Jährigen sind dies nur 30 % Auch scheint sich die Gruppe der unter Jährigen üer die Vorteile der elektronischen Post einig zu sein, senden doch mehr ls 50 % von ihnen zwischen 4 und 8 E-Mils pro Tg, während in der älteren Gruppe die Spnne von 0 is 12 E-Mils pro Tg reicht Fig. 2 Fig In einer Autohnustelle drf höchstens Tempo 60 gefhren werden. Die Polizei führt Geschwindigkeitskontrollen durch. Nch 15 Messungen knn mn Folgendes sgen: Der Medin der gemessenen Geschwindigkeiten eträgt 63 km/h. Von den 15 Messwerten sind hier 14 ufgelistet (lle Angen in km/h): 55; 58; 59; 59; 60; 61; 62; 63; 64; 65; 65; 78; 97; 140. ) Gi zwei mögliche eispiele für die fehlende Geschwindigkeit n. egründe. ) Ds rithmetische Mittel ller gemessenen Geschwindigkeiten eträgt 70 km/h. erechne den noch fehlenden Geschwindigkeitswert. c) Worn liegt es, dss in diesem eispiel ds rithmetische Mittel viel größer ist ls der Medin? Wie könnte mn ds rithmetische Mittel vergrößern oder verkleinern, ohne den Medin zu verändern? 140 Euro Männer Fruen Aus den Lernstndserheungen 2007 VI Kompetenzen trinieren und vertiefen 193