P 2 Arbeitsblatt Vierecke und ihre Flächeninhalts- und Umfangformeln

Transkript

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3 IFG Mthemtik Jnur 2011 Mteril 3 Pflichtufgen P 1 reitsltt Vierecke und ihre Eigenschften nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln P 2 reitsltt Vierecke und ihre Flächeninhlts- und Umfngformeln P 3 Gegeen ist ein Trpez mit den Stücken: = 5,2 cm ; = 3,4 cm ; = α = 100 ; = β = 125 ; ( II ) ) Fertige eine Plnfigur n und konstruiere dieses Trpez. ) eschreie deine Konstruktion. c) Ermittle den Flächeninhlt und den Umfng des Trpezes. Entnimm fehlende Mße der Konstruktion. P 4 Gegeen ist ein Prllelogrmm mit den Stücken: = 4,5 cm, = 3,0 cm, = β = 120 ) Fertige eine Plnfigur n und konstruiere dieses Prllelogrmm. ) eschreie deine Konstruktion. c) Ermittle den Flächeninhlt und den Umfng des Prllelogrmms. Entnimm fehlende Mße der Konstruktion. P 5 Eine rechteckige Glsscheie von 2,40 m reite und 1,15 m Länge musste ersetzt werden. 1 m² kostet 65 (mit Mehrwertsteuer). erechne den Preis für die Erstzscheie. P 6 ie ildung zeigt den Grundriss einer Wohnstue. erechne für den Grundriss dieser Wohnstue den Flächeninhlt. Finde zwei verschiedene Lösungswege. 8,0 m 2,0 m 5,5 m Skizze nicht mßstälich! 9,5 m P 7 In einem Prk wird ein trpezförmiges lumeneet ngelegt mit folgenden Mßen: = 8,0 m ; = α = 70 ; = β = 65 ; = 5,0 m ( II ) ) Konstruiere ds eet im Mßst 1:100. ) s eet soll epflnzt werden. Pro Qudrtmeter werden 25 Pflnzen eingeplnt. Ermittle die nzhl der enötigten Pflnzen. c) Um ds eet werden Kntensteine gelegt. Ein Kntenstein ist 25 cm lng. Wie viele Kntensteine werden mindestens enötigt? P 8 uer Josef will von uer Willi eine Pferdekoppel kufen, die die Form einer Rute ht. Eine Seitenlänge ist 60 m und ein Winkel 65. uer Willi sgt: s sind etw m². für gist du mir je ngefngene 100 m² 550 lso Josef ist skeptisch, denn Willi ht ihn schon einml üers Ohr gehuen und er rechnet lieer nch. Wird es Streit geen oder ht Josef ein gutes Geschäft gemcht? LIS Hlle 2011 Seite 1 von 12

4 IFG Mthemtik Jnur 2011 nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln zu ufge P 1 reitsltt: Vierecke und ihre Eigenschften Schneide lle Kästchen us und ordne sie so, dss eine Zeile jeweils zu einer Vierecksrt gehört. Klee die Kästchen dnn uf. (u knnst vor dem ufkleen uch eine Runde Memory mit einem Prtner spielen.) Trpez rchenviereck - lle Winkel sind rechte Winkel - gegenüerliegende Seiten sind gleich lng und prllel - igonlen sind gleich lng und hlieren sich - lle Seiten sind gleich lng - lle Innenwinkel sind rechte Winkel - igonlen sind senkrecht zueinnder, gleich lng und hlieren einnder Rhomus Rechteck - lle Seiten sind gleich lng - igonlen stehen senkrecht zueinnder und hlieren sich - gegenüerliegende Winkel sind gleich groß - gegenüerliegende Seiten sind gleich lng - igonlen hlieren sich - gegenüerliegende Winkel sind gleich groß, je zwei enchrte Winkel ergeen zusmmen 180 Qudrt Prllelogrmm - zwei Pr enchrter Seiten sind gleich lng - ein Pr gegenüerliegender Winkel ist gleich groß - eine igonle ist Symmetriechse, die ndere steht senkrecht dzu und wird von der Symmetriechse hliert - ein Pr Seiten ist prllel zueinnder - zwei Pr enchrter Winkel ergeen jeweils zusmmen 180 LIS Hlle 2011 Seite 2 von 12

5 IFG Mthemtik Jnur 2011 nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln Lösungsltt P 1 Qudrt - lle Seiten sind gleich lng - lle Innenwinkel sind rechte Winkel - igonlen sind senkrecht zueinnder, gleich lng und hlieren einnder Rechteck - gegenüerliegende Seiten sind gleich lng und prllel - lle Winkel sind rechte Winkel - igonlen sind gleich lng und hlieren sich Rhomus - gegenüerliegende Seiten sind gleich lng - gegenüerliegende Winkel sind gleich groß, je zwei enchrte Winkel ergeen zusmmen igonlen hlieren sich - lle Seiten sind gleich lng - gegenüerliegende Winkel sind gleich groß - igonlen stehen senkrecht zueinnder und hlieren sich Trpez - ein Pr Seiten ist prllel zueinnder - zwei Pr enchrter Winkel ergeen jeweils zusmmen 180 Prllelogrmm rchenviereck - zwei Pr enchrter Seiten sind gleich lng - ein Pr gegenüerliegender Winkel ist gleich groß - eine igonle ist Symmetriechse, die ndere steht senkrecht dzu und wird von der Symmetriechse hliert LIS Hlle 2011 Seite 3 von 12

6 IFG Mthemtik Jnur 2011 zu P 2 nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln reitsltt Vierecke und ihre Flächeninhlts- und Umfngformeln 2.1 Ergänze die folgende Telle mit Hilfe deines Tfelwerkes. Vierecksrt Formel für den Flächeninhlt = ² Formel für den Umfng Prllelogrmm u = + + c +d rchenviereck = Rhomus 2.2 Löse folgende ufgen uf einem Extrltt. Konstruiere die Vierecke und ermittle jeweils den Flächeninhlt und den Umfng. Entnimm fehlende Mße der Konstruktion. 1. geg: Rechteck = 4,0 cm, = 2,5 cm 2. geg: Rhomus = 3,0 cm, = α = geg: rchenviereck = 3,0 cm, = 5,0 cm, = α = geg: Qudrt = 4,0 cm 5. geg: Trpez = 5,0 cm, = 2,5 cm, = α = 65, = β = geg: Prllelogrmm = 4,0 cm, = 3,0 cm, = α = 60 LIS Hlle 2011 Seite 4 von 12

7 IFG Mthemtik Jnur 2011 nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln Lösung zu P 2: reitsltt Vierecke und ihre Flächeninhlts- und Umfngformeln zu 2.1 Vierecksrt Formel für den Formel für den Umfng Flächeninhlt Qudrt = ² u = 4 Prllelogrmm = h oder = h u = 2 ( + ) Trpez = ½ ( + c) h u = + + c +d rchenviereck = ½ e f u = 2 ( + d) Rechteck = u = 2 ( + ) Rhomus = h oder = ½ e f u = 4 zu Rechteck: = 4,0 cm, = 2,5 cm 2. Rhomus: = 3,0 cm, = α = 60 h = 2,6 cm = 10 cm²; u = 13 cm 3. rchenviereck: α = =110, = 3,0 cm, = 5,0 cm = 7,8 cm²; u = 12 cm 4. Qudrt: = 4,0 cm f = 6,7 cm e = 4,2 cm d = 14,1 cm²; u = 16 cm 5. Trpez: = 5,0 cm, = α = 65, = 2,5 cm, = β = 65 = 16 cm²; u = 16 cm 6. Prllelogrmm: α = = 60 = 4,0 cm, = 3,0 cm, c = 2,8 cm d = 2,5 cm h = 2.3 cm h = 2,6 cm = 9 cm²; u = 12,8 cm = 10,4 cm²; u = 14 cm Hinweis: urch die Verwendung von gemessenen Größen ei einigen erechnungen können geringfügige weichungen zu den hier ngegeenen Lösungen uftreten. LIS Hlle 2011 Seite 5 von 12

8 IFG Mthemtik Jnur 2011 Lösungen zu P 3 is P 7 nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln zu P 3 Trpez : = 5,2 cm ; = 3,4 cm ; = α = 100 ; = β = 125 ) Plnfigur: Konstruktion: c = 7,7 cm α β d = 2,9 cm h = 2,8 cm ) Konstruktionseschreiung: (1) ie Strecke = = 5,2 cm zeichnen und die Endpunkte mit und ezeichnen. (2) en Winkel α = 100 in n ntrgen. Es entsteht ein freier Schenkel des Winkels α. (3) en Winkel β = 125 in n ntrgen. Es entsteht ein freier Schenkel des Winkels β. (4) ie Strecke = = 3,4 cm von us uf dem freien Schenkel des Winkels β trgen und den Endpunkt mit ezeichnen. (5) ie Prllele zur Strecke durch den Punkt zeichnen und den Schnittpunkt mit dem freien Schenkel des Winkels α mit ezeichnen. c) erechnung von und u: = ½ ( + c) h = ½ (5,2 cm + 7,7 cm) 2,8 cm 18 cm ² u = + + c + d u = 5,2 cm + 3,4 cm + 7,7 cm + 2,9 cm u = 19,2 cm zu P 4 Prllelogrmm : = 4,5 cm, = 3,0 cm, β = = 120 ) Plnfigur: Konstruktion: β h = 2,6 cm ) Konstruktionseschreiung: (1) ie Strecke = = 4,5 cm zeichnen und die Endpunkte mit und ezeichnen. (2) en Winkel β = 120 in n ntrgen. Es entsteht ein freier Schenkel des Winkels β. (3) ie Strecke = = 3,0 cm von us uf dem freien Schenkel des Winkels β trgen und den Endpunkt mit ezeichnen. (4) ie Prllele zur Strecke durch den Punkt und die Prllele zur Strecke durch den Punkt zeichnen und den Schnittpunkt der eiden Prllelen mit ezeichnen. c) erechnung von und u: = h = 4,5 cm 2,6 cm 12 cm ² u = 2 ( + ) u = 2 (4,5 cm + 3,0 cm) u = 15 cm LIS Hlle 2011 Seite 6 von 12

9 IFG Mthemtik Jnur 2011 zu P 5 Glsscheie geg: Rechteck mit = 2,40 m; = 1,15 m; Preis je m²: 65 ges: ; Preis Lösung: Flächeninhltserechnung: = = 2,40 m 1,15 m = 2,76 m ² nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln Preiserechnung: 65 2,76 m² = 179,40 zu P 6 Grundriss einer Wohnstue 1. Lösungsmöglichkeit: 2. Lösungsmöglichkeit: 2,0 m 7,5 m 1 1,5 m 2 1,5 m 2 6,5 m 8,0 m 1 9,5 m je Rechteck: = 1 = 2,0 m 1,5 m = 3,0 m² 2 = 9,5 m 6,5 m = 61,75 m² Gesmtfläche: = 64,75 m² 9,5 m je Rechteck: = 1 = 9,5 m 8,0 m = 76,0 m² 2 = 7,5 m 1,5 m = 11,25 m² Gesmtfläche: 1 2 = 64,75 m² nmerkung: weitere Lösungen sind möglich zu P 7 lumeneet geg: trpezförmiges lumeneet mit folgenden Mßen: = 8,0 m ; = α = 70 ; = β = 65 ; = 5,0 m ( II ) ) Konstruktion: d = 4,8 m c = 4,2 m ) Flächeninhlt: = ½ ( + c) h = ½ (8,0 m + 4,2 m) 4,5 m 27,45 m ² nzhl der Pflnzen: 27, h = 4,5 m c) Umfng: u = + + c + d u = 8,0 m + 5,0 m + 4,2 m + 4,8 m Konstruktion im Mßst 1:100 LIS Hlle 2011 Seite 7 von 12

10 IFG Mthemtik Jnur 2011 zu P 8 Pferdekoppel nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln geg: rutenförmige Pferdekoppel = 60 m ; α = = 65 Lösung: (1) mßstäliche Zeichnung zur Ermittlung der Höhe oder der Längen der igonlen für die erechnung des Flächeninhlts f = 65 m h = 55 m e = 101 m (2) Ermittlung des Flächeninhlts mit Seitenlänge und Höhe = h = 60 m 55 m = m² mit den igonlen = ½ e f = ½ 101 m 65 m = 3 282,5 m² m² (3) erechnung des Preises Preis für 100 m²: 550 Preis für m²: (4) Schlussfolgerung Josef ht ein gutes Geschäft gemcht, denn ds Grundstück ist größer ls m², ds heißt er sprt LIS Hlle 2011 Seite 8 von 12

11 IFG Mthemtik Jnur 2011 Whlufgen zu Vierecken nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln 1 ein Klssenrum ) In deinem Klssenrum sollen die Fenster gereinigt werden. Pro Qudrtmeter erechnet die Fensterputzfirm 0,78 ohne Mehrwertsteuer. Ermittle die Reinigungskosten für deinen Klssenrum einschließlich der Mehrwertsteuer, wenn diese 19% eträgt. ) ie Wände müssen neu gestrichen werden. Ein Eimer Fre reicht für 20 m². Ermittle, wie viele Eimer Fre enötigt werden. 2 In einem Wohnzimmer soll der Fußoden neu gefliest werden. ie reite und Länge der verwendeten Fliesen eträgt jeweils 0,5 m. ie Fliesen werden nur in Pketen zu jeweils 16 Stück verkuft. er Fußoden des Zimmers ht folgende Form: 1 cm in der Zeichnung entspricht 1 m im Originl! ) Wie viele Fliesen werden mindestens enötigt? ) einige Fliesen sicherlich eschnitten werden müssen oder eventuell zu ruch gehen, kuft der Wohnungsinher lieer mindestens 15 % mehr Fliesen. Wie viele Pkete Fliesen müssen gekuft werden? 3 In einem Prk efindet sich die im ild drgestellte Fläche, uf der Rsen gesät werden soll. 50 m Rsensmen wird in Säcken zu je 50 kg verkuft. 25 m 45 m Ermittle die nzhl zu kufender Säcke mit Rsensmen, wenn pro Qudrtmeter 90 g Smen eingeplnt werden. 30 m (ild nicht mßstälich!) LIS Hlle 2011 Seite 9 von 12

12 IFG Mthemtik Jnur 2011 nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln 4 Fmilie Schulz ist uf der Suche nch einem Grundstück für ihr neues Eigenheim. Sie möchten möglichst ein Grundstück in der chstrße erweren. ieses soll mindestens 300 m² groß sein und drf ihr eingeplntes udget von nicht üerschreiten. Im Lgepln (siehe ild) sehen sie, dss noch drei Grundstücke zum Verkuf stehen. Entscheide durch erechnung, welche Grundstücke für Fmilie Schulz in Frge kommen. chstrße je m² chstrße je m² chstrße je m² chstrße chstrße 15 VERKUFT! chstrße 13 VERKUFT! Mßst: 1 : Um die Ecke gedcht iese ufgen sind für kleine enker und geschickte Konstruierer. Konstruiere folgende Vierecke. Fertige dzu im Vorfeld Plnfiguren n. ) Trpez mit II c = c = 4 cm; h = 3 cm; = α = 60 ; = β = 60 ) Prllelogrmm h = 4 cm; = α = 70 ; = 24 cm² c) Rechteck = = 5 cm; = e = 6 cm d) rchenviereck = f = 8 cm; = 20 ; δ = 80 LIS Hlle 2011 Seite 10 von 12

13 IFG Mthemtik Jnur 2011 Lösungen zu den Whlufgen zu Vierecken nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln zu 1 Hinweise: Klssenrum iese ufge verindet ds Messen und erechnen m relen Ojekt. Ein konkretes Lösungsltt knn deshl nicht vorgegeen werden, sondern muss von der Lehrkrft selst erstellt werden. Vorschlg für ds Vorgehen zu 1): - zu ermittelnde Größen für jeden Fenstertyp reite, Höhe, nzhl - Ermittlung der entsprechenden Rechteckflächen für jeden Fenstertyp - Ermittlung der Gesmtfensterfläche und Eineziehung der nzhlen - Ermittlung der Kosten ohne und mit Mehrwertsteuer Vorschlg für ds Vorgehen zu 1): - zu ermittelnde Größen für jede Wnd, Fenster, Türen reite, Höhe - Ermittlung der entsprechenden Fläche für jede Wnd - Ermittlung der Gesmtwndfläche - Ermittlung der nzhl der Eimer Fre zu 2 Wohnzimmer ) - eine mögliche Zerlegung der Figur ist in ein Rechteck und ein Trpez Flächeninhlt Rechteck: R = 18 m² Flächeninhlt Trpez: T = 5 m² Gesmtflächeninhlt: = 23 m² - Flächeninhlt einer Fliese: = 0,25 m² - nzhl mindestens enötigter Fliesen: 92 c = 4 m T h T= 1 m R = 6 m = 3 m Skizze nicht mßstälich! ) 15 % von 92 Fliesen sind 13,8 14 Fliesen = 106, 106 Fliesen werden mindestens eingeplnt. 106 : 16 = 6,625 7 In Pketen zu jeweils 16 Stück sind 7 Pkete (112 Fliesen) zu kufen. zu 3 Rsensmen - Zerlegung der Fläche in ein Trpez und ein Prllelogrmm Flächeninhlt Prllelogrmm: P = 1000 m² Flächeninhlt Trpez: T = 1000 m² Gesmtflächeninhlt: = 2000 m² - erechnung der Msse des Rsensmens: 2000 m² 90 = g = 180 kg - erechnung der nzhl der Säcke Rsensmen: 180 kg : 50 kg = 3,6 4 4 Säcke mit Rsensmen müssen gekuft werden. 50 m h = 20 m P 45 m T 25 m 30 m Skizze nicht mßstälich! LIS Hlle 2011 Seite 11 von 12

14 IFG Mthemtik Jnur 2011 zu 4 Grundstücke nregungen für ufgenprktikum eispiel 2: Wochenpln chstrße 14 chstrße 16 chstrße 17 Trpez Prllelogrmm Qudrt = ½ ( + c) h = ½ (27,5 m + 21 m) 15 m = 363,75 m² 364 m² Mindestgröße erreicht = h = 27,5 m 17,5 m = 481,25 m² 481 m² Mindestgröße erreicht = ² = (20 m)² = 400 m² Mindestgröße erreicht 364 m² 45 = im udget 481 m² 43 = üer dem udget = im udget Fmilie Schulz knn zwischen den Grundstücken chstrße 14 und 17 wählen. zu 5 Um die Ecke gedcht zu ) Trpez mit II c = c = 4,0 cm; h = 3,0 cm; = α = 60 ; = β = 60 Üerlegung: = γ = 120 und = δ = 120 zu ) Prllelogrmm h = 4,0 cm; = α = 70 ; = 24,0 cm² Üerlegung: us = h folgt für die Seite = 6,0 cm h h zu c) Rechteck = = 5,0 cm; = e = 6,0 cm Üerlegung: lle Winkel 90 zu d) rchenviereck = f = 8,0 cm; = 20 ; δ = 80 Üerlegung: f ist Symmetriechse und hliert die Winkel δ und β e f LIS Hlle 2011 Seite 12 von 12