12. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele 1. Runde 2009/2010

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1 . Lndeswettewer Mthemtik Byern Lösungseispiele. Runde 009/00 Aufge Wird zu einer ntürlichen Zhl ihre Quersumme ddiert, s erhält mn 00. Bestimme lle Zhlen, ei denen dies zutrifft. Lösung: Die Zhlen 986 und 004 sind die einzigen ntürlichen Zhlen, die ddiert zu ihrer Quersumme 00 ergeen. Vremerkungen: Mit QS(n) ezeichnen wir die Quersumme einer ntürlichen Zhl n. Die gesuchten Zhlen n müssen lle kleiner ls 00 sein, d n + QS(n) = 00 mit QS(n) > 0 gefrdert ist.. Beweisvrschlg: Die größtmögliche Quersumme einer Zhl, die kleiner ls 00 ist, ist 8: Die Zhlen unterhl vn 000 hen die größte Quersumme, wenn lle Ziffern der Zhl möglichst grß sind. Dies ist für 999 der Fll, wei QS(999)=+9+9+9=8. Die Zhlen zwischen 000 und 00 hen ffensichtlich lle eine kleinere Quersumme ls 8. Smit dürfen die gesuchten Zhlen lle höchstens um 8 unterhl vn 00 liegen. Es kmmen ls nur die Zhlen vn 98 is 00 in Frge. Mn knn nun diese 8 Zhlen einfch der Reihe nch durchprieren und die en gennnten Lösungen finden. Durch einfche Üerlegungen knn mn jedch weitere Zhlen usschließen und ds Prieren verkürzen. S knn in jedem der drei Zehnerereiche 980 is 989, 990 is 999 und 000 is 009 höchstens eine Lösung vrhnden sein: Erhöht mn innerhl eines slchen Zehnerereichs nämlich die Zhl um, s erhöht sich uch die zugehörige Quersumme um, d es j keinen Zehnerüergng git. Smit erhöht sich die Summe us der Zhl und ihrer Quersumme um. Nur für höchstens eine Zhl us einem Zehnerereich knn sich ls genu 00 ergeen. Für n = 98 ist 98 + QS(98) = = 00. Die Differenz zu 00 ist ls 8. D die Summe ei jeder Erhöhung der Zhl um um größer wird, muss mn die Zhl 98 um 4 vergrößern, um die richtige Summe 00 zu erhlten. S findet mn die erste Zhl 986. Für n = 990 ist QS(990) = = 009. Für 99 ergit sich ereits 0 ls Summe. In dem Zehnerereich 990 is 999 knn es ls keine Zhlen mit der gesuchten Eigenschft geen. Für n = 000 ist 000+QS(000) = =00. Die Differenz zu 00 ist ls 8. D die Summe ei jeder Erhöhung der Zhl um um größer wird, muss mn die Zhl 000 um 4 vergrößern um die richtige Summe 00 zu erhlten. S findet mn die zweite mögliche Zhl LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite vn

2 . Beweisvrschlg: D n < 00 ist, git es Ziffern,, c und d, us denen n zusmmengesetzt ist. Als n = c + d mit 0 und 0,c,d 9. Außerdem gilt dnn: QS (n) = + + c + d. Es git ls drei Fälle: Fll : = 0 In diesem Fll ist n + QS(n) = ( c + d) + ( + c + d) = 0 + c + d = 4 9 = 06 < 00 Als ist in diesem Fll keine Lösung der Aufge möglich. Fll : = In diesem Fll ist QS(n) = c + d c + d = c + d n + ( ) ( ) Aus n + QS(n) = 00 flgt: 0 + c + d = 009. Wäre 8, s wäre: 0 + c + d = 95 < 009. Smit ist nur = 9 möglich und es flgt: c + d = 009 ; ls: c + d = 00. Nun ist 00 d gerde, ls muss c = 00 d eenflls gerde sein. D ds Prdukt zweier ungerder Zhlen wieder ungerde ist, muss c gerde sein. Wegen 0 d 9 knn 00 d Werte vn 8 is 00 nnehmen. Smit muss c = 8 sein, denn c = 8 ist die einzige gerde Zhl, für die c zwischen 8 und 00 liegt d Zum Schluss flgt nun us c + d = 00, dss d = = 6 sein muss. Als ist in diesem Fll nur die Lösung n = = 986 der Aufge möglich. Fll 3: = In diesem Fll ist QS(n) = c + d c + d = c + d n + ( ) ( ) Aus n + QS(n) = 00 flgt: 0 + c + d = 8. Wäre > 0 der c > 0, s wäre die linke Seite dieser Gleichung zu grß. Es muss ls = c = 0 sein. Smit ergit sich d = 8 der d = 4. Als ist in diesem Fll nur die Lösung n = = 004 möglich. Aus den drei Fällen ergeen sich ls genu die eiden Lösungen 986 und LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite vn

3 Aufge Jedes regelmäßige 8-Eck knn mn wie in der Figur drgestellt in kngruente* Fünfecke zerlegen. Bestimme die Innenwinkel eines slchen Fünfecks. * Figuren heißen kngruent, wenn sie deckungsgleich ufeinnder gelegt werden können. Lösung: Wie in der neenstehenden Zeichnung ezeichnen wir die Punkte eines slchen Fünfecks wie ülich entgegen dem Uhrzeigersinn mit A, B, C, D und E. Dementsprechend werden die zugehörigen Innenwinkel mit α, β, γ, δ, ε ezeichnet. Diese Innenwinkel sind α = 60, β = 40, γ = 00, δ = 80 und ε = 60.. Beweisvrschlg: Aus der neenstehenden Zeichnung erkennt mn, dss der Winkel ε einer der Innenwinkel im regelmäßigen 8- Eck ist. A B E ε D C Die Innenwinkel im regelmäßigen n-eck sind lle n 80. n Für n = 8 ergit sich ls: 8 8 ε = 80 = 60. Bemerkung: Mn knn die Frmel für die Innenwinkel im 8- Eck uch herleiten: Alle Punkte des regelmäßigen 8-Ecks liegen uf einem Kreis um den Mittelpunkt M. Verindet mn M mit den Eckpunkten s entstehen smit 8 kngruente gleichschenklige Dreiecke mit dem Spitzenwinkel 360 = 0. 8 Q ϕ ϕ P 0 0 M Smit sind die Bsiswinkel ϕ in s einem gleichschenkligen Dreieck PMQ 80 0 ϕ = = 80. Als sind die Innenwinkel im regelmäßigen 8- Eck ε = ϕ = 60.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 3 vn

4 Im Mittelpunkt des 8-Ecks stßen sechs der kngruenten Fünfecke zusmmen, lle diese sechs Fünfecke hen drt den Winkel α. Als ist 6 α = 360 der α = 60. Smit sind α und ε estimmt, es fehlen nch β, γ und δ. α α α α α α Wir etrchten den neenstehend eingezeichneten Punkt P innerhl des 8-Ecks: Hier treffen zwei Fünfecke mit dem Winkel γ und ein Fünfeck mit dem Winkel ε zusmmen. Als gilt: γ + ε = γ + 60 = 360. Smit: γ = 00. Q γ γ ε P Eens entnehmen wir den Winkeln m Punkt R: α + β + ε = 60 + β + 60 = 360. Smit: β = 40. Schließlich ergit sich us den Winkeln m Punkt Q: β + δ = 80 + δ = 360. Smit δ = 80. R β β δ ε α β Dmit sind lle Innenwinkel eines Fünfecks estimmt.. Beweisvrschlg: Wie zu Beginn des. Beweisvrschlgs werden zunächst die Innenwinkel α = 60 und ε = 60 estimmt. Hilfsstz: Alle fünf Seiten im Fünfeck ABCDE sind gleich lng. Beweis des Hilfsstzes: Sind ABCDE und A B C D E zwei slche neeneinnder liegenden Fünfecke, die im Mittelpunkt des 8-Ecks zusmmentreffen, s ist A = A und B = E (siehe neenstehende Zeichnung). D die Fünfecke kngruent sind, ist ußerdem A 'E' = AE. Smit gilt () AE = A'E' = AB. D B E E α α A C D B C. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 4 vn

5 Sind ABCDE, A B C D E, A*B*C*D*E* drei Fünfecke, die wie in der Zeichnung neinnder liegen und den Punkt C = E = C* gemeinsm hen, s ergit sich us den gemeinsmen Strecken: () BC = A'E' = AE, (3) CD = B * C * = BC, (4) C * D * = D'E' flglich CD = DE. Zusmmenfssend ergit sich us den Gleichungen () (4): AB = AE = BC = CD = DE. Alle fünf Seiten im Fünfeck ABCDE sind gleich lng und der Hilfsstz ist ewiesen. A* E* B* D E D*=D C* E C B A A C B D α = 60 und AE = AB (siehe ()), ist ds Dreieck ABE ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Innenwinkel 60 n der Spitze. Die Bsiswinkel des Dreiecks ABE sind dher eenflls 60, ds Dreieck ABE ist smit gleichseitig. Im Viereck BCDE sind smit lle vier Seiten gleich lng, es hndelt sich um eine Rute. Aus den Prllelgrmmeigenschften flgt: δ = 80 γ, ε' = γ und β' = δ. Aus ε ' + 60 = ε = 60 flgt nun γ = ε ' = 00, δ = 80 γ = 80 und β = β ' + 60 = δ + 60 = 40. ε ' = 00 : Dmit sind lle Innenwinkel eines Fünfecks estimmt. Aufge 3 Ds Dreieck ABE ist gleichschenklig mit der Bsis [AB]. Bestimme den Anteil der Fläche des Dreiecks ESC n der Fläche des Dreiecks ABC. Lösung: Der Anteil der Fläche des Dreiecks ESC n der Fläche des Dreiecks ABC eträgt ein Sechstel.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 5 vn

6 . Beweisvrschlg: T ist der Mittelpunkt der Strecke [AB]. D ds Dreieck ABE gleichschenklig ist, ist die Gerde ET Mittelsenkrechte im Dreieck ABE.. Hilfsstz: Die Dreiecke ATE, ETB und BCE sind kngruent. Beweis des. Hilfsstzes: D ET Mittelsenkrechte ist, sind die Dreiecke ATE und ETB kngruent. Für den Winkel CBA gilt nch dem Winkelsummenstz für ds Dreieck ABC: 0 CBA = = 60. Smit ist: CBE = = 30. Die Dreiecke ETB und BCE hen die gemeinsme Seite [EB], ein jeweils nliegender Winkel eträgt 30 und die jeweils gegenüerliegen den Winkel sind 90. Smit sind diese Dreiecke nch dem Kngruenzstz WWS kngruent.. Hilfsstz: Die Dreiecke ESC und SBC hen den gleichen Flächeninhlt. Beweis des. Hilfsstzes: Es gelten die in der neenstehenden Zeichnung eingetrgenen Winkelgrößen: CBE = EBA = 30 wurde ereits en egründet. FCB = 30 nch dem Winkelsummenstz im Dreieck BCF. ACF = 60, d FCB und ACF zusmmen 90 ergeen. BEC = 60 nch dem Winkelsummenstz im Dreieck BCE. Dmit ist Dreieck SBC gleichschenklig und Dreieck ESC sgr gleichseitig. Insesndere gilt: SB = SC = ES. Die Dreiecke ESC und SBC hen smit gleich lnge Grundseiten [ES] zw. [SB] und die gleiche zugehörige Höhe [CH]. Ihr Flächeninhlt ist smit gleich, wdurch der. Hilfsstz ewiesen ist. Aus dem. Hilfsstz flgt, dss ds Dreieck BCE ein Drittel des Flächeninhlts des Ausgngsdreiecks ABC ht. Aus der. Behuptung flgt, dss ds Dreieck ESC die Hälfte des Flächeninhlts des Dreiecks BCE ht. Der Anteil der Fläche des Dreiecks ESC n der Fläche des Dreiecks ABC eträgt ls ein Sechstel.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 6 vn

7 . Beweisvrschlg: Dreiecke, die wie ds Ausgngsdreieck ABC die Innenwinkel 90, 60, 30 hen, nennen wir hle gleichseitige Dreiecke. Indem wir Prllelen und Orthgnlen zu den Seiten einzeichnen, leien diese Winkelgrößen erhlten; wir erhlten ls luter neue hle gleichseitige Dreiecke. Wie in der flgenden Zeichnung drgestellt, können wir dmit ds Dreieck ABC in zwölf kleine Dreiecke unterteilen, die lle hle gleichseitige Dreiecke sind. D je zwei enchrte Dreiecke dieser zusmmenhängenden Figur eine Seite gemeinsm hen, sind lle Dreiecke kngruent. Ds mrkierte Dreieck ESC esteht nun us zwei dieser Dreiecke. Der Flächennteil ist ls =. 6 Aufge 4 Die vn Null verschiedenen Zhlen z und z sind die Strtzhlen einer Zhlenflge. Die weiteren Zhlen werden flgendermßen geildet: z3 = z : z, z4 = z 3 : z, Zeige: Ds Prdukt vn 009 ufeinnder flgenden Zhlen dieser Flge ist immer eine Zhl der Flge.. Beweisvrschlg: Es wird gezeigt, dss die Flge peridisch mit der Länge 6 ist und dss ds Prdukt vn 6 ufeinnder flgenden Zhlen immer ist, s dss es nur uf die letzten 5 der 009 ufeinnder flgenden Zhlen nkmmt. Mit z = und z = ergit sich: z 3 = z : z = ; z 4 = z 3 : z = : = ; z 5 = z 4 : z3 = : = ; z 6 = z 5 : z 4 = : = ; z 7 = z 6 : z 5 = : = = z; z 8 = z 7 : z 6 = : = = z ; Mn erkennt, dss die in der Flge vrkmmenden Zhlen nch sechs Zhlen wieder vn vrne eginnen:,,,,,,,,,.usw. Sechs ufeinnderflgende Zhlen der Flge estehen ls immer genu us den Zhlen,,, er nicht unedingt ei eginnend. Ihr Prdukt ist =. D 004 = durch 6 teilr ist, ist ds Prdukt vn 004 ufeinnderflgenden Zhlen der Flge eenflls, denn 004 ufeinnderflgende Zhlen estehen us 334 slchen Sechserpäckchen.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 7 vn

8 Ds Prdukt vn 009 ufeinnderflgenden Zhlen der Flge ist ls gleich dem Prdukt der letzten fünf dieser ufeinnderflgenden Zhlen, denn ds Prdukt der ersten 004 Zhlen ist. Die letzten fünf Zhlen estehen us fünf der Zhlen,,,. Genu eine dieser Zhlen fehlt. Wir schreien u, u, u 3, u 4, u 5 für diese letzten fünf der ufeinnderflgenden Zhlen und x für die nch fehlende Zhl. Dnn ist u u u u x =, u = ls u u u3 u4 u5 =. Smit ist ds Prdukt der letzten fünf Zhlen gerde der x Kehrwert der fehlenden Zhl. Für jede Zhl x unter den Zhlen,,,,, kmmt er uch der Kehrwert x unter den Zhlen, ; wieder vr, wie mn direkt üerprüfen knn. Smit kmmt ds Prdukt vn 009 ufeinnderflgenden Zhlen in der Flge vr.. Beweisvrschlg: Die 009 ufeinnderflgenden Zhlen der Zhlenflge werden wie flgt ezeichnet: z n+ = u, z n+ = u,, z n+ 009 = u009. Mit u = und u = ergit sich: u3 = u : u = ; u4 = u3 : u = : = ; u5 = u4 : u3 = : = ; u6 = u5 : u4 = : = ; u7 = u6 : u5 = : = ; u8 = u7 : u6 = : = ; Mn erkennt, dss unter den 009 ufeinnderflgenden Zhlen nur sechs Zhlen vrkmmen, die sich immer wiederhlen:,,,,,,,,,.usw. D 009 = flgen nch 334 slcher Sechserpäckchen unter den ufeinnderflgenden Zhlen die letzten fünf der ufeinnderflgenden Zhlen: u 005 =, u 006 =, u 007 =, u 008 =, u 009 =. Ds Prdukt der Zhlen eines slchen Sechserpäckchens ist =. Als ist ds Prdukt der ersten 004 der ufeinnderflgenden Zhlen eenflls, denn es wiederhlen sich j nur die ersten sechs Zhlen,, insgesmt 334 ml. Ds Prdukt der 009 ufeinnderflgenden Zhlen der Flge ist ls ds Prdukt der letzten fünf Zhlen, d.h. u u u3... u004 u005 u006 u007 u008 u009 = = D = u 3 = z n + 3 kmmt ds Prdukt ls in der Flge vr.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 8 vn

9 Aufge 5 Im gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck ABC (γ = 90 ) schneidet ein Kreis um C die Kthete [CA] in D und die Kthete [CB] in E. Die Senkrechten vn C und D uf die Gerde AE schneiden die Hyptenuse [AB] in den Punkten F zw. G. Zeige: Die Strecken [GF] und [FB] sind gleich lng.. Beweisvrschlg: (Mit Spiegelung) D ds Dreieck ABC gleichschenklig mit Bsis [AB] ist, ist es chsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten m vn [AB]. Der Kreis um C und dmit uch die Punkte D und E liegen dher symmetrisch zu m. Ds Dreieck AEC geht ls durch die Spiegelung n m in ds Dreieck DBC üer, die eiden Dreiecke sind ls kngruent. Smit ist: β = EAC = CBD und α = CEA = BDC. Außerdem ist α + β = 90 (Winkelsumme im Dreieck AEC). S ist der Spiegelpunkt vn B n C. D γ = 90 ist, ist die Gerde AC die Mittelsenkrechte zur Strecke [BS]. Smit ist ds Dreieck BSD gleichschenklig und dher sind die Bsiswinkel β = CBD und DSC gleich. Sei L der Schnittpunkt der Gerden DS mit AE. Nch der Winkelsumme im Dreieck ESL und wegen α + β = 90 ist ELS = 90. DS ist ls rthgnl zu AE. Dmit ist DS die in der Aufge eschrieen Senkrechte zu AE durch D. Sie schneidet [AB] in G. D uch CF rthgnl zu AE ist, sind CF und SG prllel. Nch Knstruktin ist C der Mittelpunkt vn [BS], smit ist CF Mittelprllele im Dreieck BSG. Die Mittelprllele schneidet die Seite [GB] im Mittelpunkt. Smit ist F der Mittelpunkt vn [GB] und die Behuptung ist ewiesen.. Beweisvrschlg: (Mit Kngruenzsätzen) Ds Dreieck ABC ist gleichschenklig, d. h. AC = BC. D und E liegen uf demselen Kreis um C, d. h. DC = EC. D die Dreiecke AEC und BCD ußerdem im rechten Winkel γ = 90 üereinstimmen, sind sie nch dem Kngruenzstz SWS kngruent und stimmen uch in den Winkeln CEA = BDC = α üerein. S ist der Schnittpunkt der Gerden DG und BC und L ist der Schnittpunkt der Gerden DG und AE.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 9 vn

10 Die Winkel ELS und SCD sind rechte Winkel, d nch Vrussetzung DG Senkrechte zu AE ist zw. γ = 90 gilt. D die Dreiecke DCS und ESL ußer in diesen eiden rechten Winkeln uch nch im Winkel LSE = DSC = σ üereinstimmen, sind uch ihre jeweils dritten Winkel gleich grß: Es gilt: CDS = SEL = CEA = α. Flglich gilt: BDC = α = CDS. D die Dreiecke BCD und SDC die Seite [DC] gemeinsm hen und in den nliegenden Winkeln BDC zw. CDS und dem rechten Winkel üereinstimmen, sind sie nch dem Kngruenzstz WSW kngruent. Deshl sind die Strecken [BC] und [CS] gleich lng. C ist ls der Mittelpunkt der Strecke [BS]. D DG und CF senkrecht uf AE stehen, sind sie prllel. CF ist dher Mittelprllele im Dreieck SGB und hliert ls slche die Strecke [GB]. 3. Beweisvrschlg: (Mit Kngruenzsätzen) Auf der Verlängerung der Strecke [AC] üer C hinus wird ein Punkt D mit CD ' = CD festgelegt. Die Gerden BD und AE schneiden sich in H. Aufgrund der Vrgen gilt: CB = CA, CD ' = CD = CE und BCD ' = ACE = 90 Nch dem SWS-Stz sind demnch die Dreiecke BD C und AEC kngruent. Als gilt: CD'B = CEA Drus flgt üer die Dreiecke BD C und AEC: D'HA = 80 CD'B HAD' = 80 0 CEA EAC = ACE = 90 Flglich steht die Gerde BD eens wie Gerden FC und GD senkrecht uf AE. D.h BD, FC und GD sind prllel. Demnch ist der Strhlenstz nwendr, nch dem gilt: FB : FG = CD' : CD = : F ist Mittelpunkt vn [GB].. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite 0 vn

11 Durch einen Druckfehler wurde die ursprüngliche Aufgenstellung verändert. Sttt wie geplnt wurde die Zhl gedruckt. Auch diese veränderte Aufgenstellung erg eine sinnvlle und entwrtre Frge. Hier werden Lösungen vn eiden Aufgen drgestellt. Aufge 6 (wie im Angenltt gedruckt) Ein Glücksspielutmt wählt zufällig einen Teiler der Zhl us und zeigt seine Einerziffer n. Auf welche Ziffer sllte ein Spieler setzen? Lösung: Die 0 und die 5 sind die häufigsten Einerziffern unter den Teilern vn Als sllte mn uf die 0 der die 5 setzen. Beweisvrschlg Es gilt die Primfktrzerlegung: = Der Nchweis, dss 859 und 339 Primzhlen sind, knn erflgen durch - einen Verweis uf eine Primzhltelle, - den Nchweis, dss keine Primzhl 859 < 30 zw. 339 < 49 Teiler vn 859 zw. 339 ist. Dmit ht die flgenden Teiler: Teiler: 495 = = = = = = = = = = = Mn sieht: Die Endziffern 0 und 5 kmmen ei jeweils genu vier Teilern vr, während die Endziffern,, 8 und 9 nur ei jeweils zwei Teilern vrkmmt. Dmit erhält mn die flgende Whrscheinlichkeitsverteilung: Endziffer: Whrscheinlichkeit: Mn sllte ls uf die Ziffer 0 der die Ziffer 5 setzen.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite vn

12 Aufge 6 (wie ursprünglich vrgesehen) Ein Glücksspielutmt wählt zufällig einen Teiler der Zhl Einerziffer n. Auf welche Ziffer sllte ein Spieler setzen? us und zeigt seine Lösung: Die ist die häufigste Einerziffer unter den Teilern vn Als sllte mn uf die setzen. Beweisvrschlg Vremerkung: Die Einerziffer des Prdukts zweier Zhlen und ist die Einerziffer des Prdukts der Einerziffer vn mit der Einerziffer vn. Begründung: Wenn die Einerziffer vn ist, s existiert eine Zhl mit = 0 +. Anlg gilt = 0 +, wei die Einerziffer vn ist. = = Die Einerziffer vn ist ls die Einerziffer vn. Dmit gilt: ( ) ( ) ( ) Nun zum Beweis der Aufge. Die Zhl 009 ht die Primfktrzerlegung 7 4 Dmit ht die Zhl die Primfktrzerlegung Ein Teiler der Zhl ht ls die Frm 7 m 4 n mit 0 m 400 und 0 n 00. Nch der Vremerkung ist die Einerziffer vn 4 n für lle n immer. Wieder nch der Vremerkung ist dmit die Einerziffer vn 7 m 4 n gerde die Einerziffer vn 7 m. Der Expnent m knn dei 40 verschiedene Werte nnehmen. Die Ptenzen zur Bsis 7 hen flgende Einerziffern: Einerziffer vn 7 0 : Einerziffer vn 7 : 7 Einerziffer vn 7 : 9 Einerziffer vn 7 3 : 3 Einerziffer vn 7 4 : Einerziffer vn 7 5 : 7 usw. Nch der Vremerkung wiederhlen sich nun die Ziffern, 7, 9, 3,, 7, 9, 3, d die nächste Einerziffer us der vrigen immer durch Multipliktin mit 7 hervrgeht. Die gezeigte Ziffer ist, wenn der Expnent m ein Vielfches vn 4 ist. Ds geschieht in 006 vn 40 möglichen Fällen. Die gezeigte Ziffer ist 7, wenn der Expnent m ei der Divisin durch 4 den Rest ht. Ds geschieht in 005 vn 40 möglichen Fällen. Die gezeigte Ziffer ist 9, wenn der Expnent m ei der Divisin durch 4 den Rest ht. Ds geschieht in 005 vn 40 möglichen Fällen. Die gezeigte Ziffer ist 3, wenn der Expnent m ei der Divisin durch 4 den Rest 3 ht. Ds geschieht in 005 vn 40 möglichen Fällen, d 400 durch 4 teilr ist. Smit kmmt die ls Einerziffer m häufigsten vr. Dmit ist die Whrscheinlichkeit, dss der Autmt die Ziffer nzeigt, etws größer (006 > 005) ls dss er die Ziffern 3, 7 der 9 nzeigt. D er die ürigen Ziffern gr nicht nzeigt, sllte der Spieler uf die Ziffer setzen.. LWMB 009/00 Lösungseispiele. Runde Seite vn.