Relationen: Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen

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1 TH Mittelhessen, Sommersemester 202 Lösungen zu Üungsltt 9 Fchereich MNI, Diskrete Mthemtik 2. Juni 202 Prof. Dr. Hns-Rudolf Metz Reltionen: Äquivlenzreltionen, Ordnungsreltionen Aufge. Welche der folgenden Reltionen uf der Menge {0,, 2, 3} sind Äquivlenzreltionen? Welches sind in diesen Fällen die Äquivlenzklssen? R = {(0, 0), (, ), (2, 2), (3, 3)} R 2 = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} R 3 = {(0, 0), (, ), (, 2), (2, ), (2, 2), (3, 3)} R 4 = {(0, 0), (, ), (, 3), (2, 2), (2, 3), (3, ), (3, 2), (3, 3)} R 5 = {(0, 0), (0, ), (0, 2), (, 0), (, ), (, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} Lösung: Eine Äquivlenzreltion ist eine Reltion, die reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. reflexiv symmetrisch trnsitiv R j j j R 2 nein j nein R 3 j j j R 4 j j nein R 5 j nein nein Bei einer Reltion uf einer Menge mit wenig Elementen lssen sich die Eigenschften leicht n dem Grphen lesen. R : Äquivlenzreltion. 0 Äquivlenzklssen: [0] = {0}, [] = {}, [2] = {2} und [3] = {3}. Copyright c 202 Prof. Dr. Hns-Rudolf Metz. All rights reserved.

2 R 2 : Keine Äquivlenzreltion R 3 : Äquivlenzreltion. 0 Äquivlenzklssen: [0] = {0}, [] = [2] = {, 2} und [3] = {3}. R 4 : Keine Äquivlenzreltion R 5 : Keine Äquivlenzreltion. 0 Aufge 2. Gesucht ist die kleinste Äquivlenzreltion uf der Menge {,, c, d, e}, die die Reltion {(, ), (, c), (d, e)} enthält. 2

3 Lösung: Zunächst stellen wir den Grphen der Reltion R = {(, ), (, c), (d, e)} dr. c d e Die kleinste Äquivlenzreltion, die R umfßt, muß ufgrund der Reflexivität Schlingen n llen Ecken hen; lso nehmen wir diese hinzu. c d e D eine Äquivlenzreltion symmetrisch ist, müssen wir ei Ecken, die durch Pfeile verunden sind, Pfeile in eiden Richtungen hen; lso nehmen wir die entsprechenden Pfeile hinzu. c d e Dmit wir schließlich uch noch Trnsitivität hen, muß R c und c R gelten. Dmit ekommen wir den Grphen der kleinsten Äquivlenzreltion, die unsere ursprüngliche Reltion R umfßt. c d e Hinzugekommen sind lso insgesmt die folgenden Pfeile: 3

4 c d e Wenn wir die Pre ufschreien, die zu R hinzukommen, erhlten wir ls kleinste Äquivlenzreltion, die R enthält, R {(, ), (, ), (c, c), (d, d), (e, e), (, ), (, c), (c, ), (c, ), (e, d)}. Besser schreien, so dß die einzelnen Schritte nchvollziehr sind, knn mn ds mit R R R {(, c), (c, )}, woei mit R die Digonlreltion gemeint ist. R = {(, ), (, ), (c, c), (d, d), (e, e)} Aufge 3. Im folgenden sind drei Reltionen durch ihre gerichteten Grphen gegeen. Stellen Sie fest, o es sich um Ordnungen hndelt. Sind diese prtiell oder totl? c d c d c d Lösung: Eine Ordnung ist eine Reltion, die reflexiv, ntisymmetrisch und trnsitiv ist. reflexiv ntisymmetrisch trnsitiv linker Grph j j nein mittlerer Grph j j nein rechter Grph j j j Nur der Grph rechts stellt eine Ordnung dr. D es Elemente git, die nicht vergleichr sind (zum Beispiel steht weder in Reltion zu c noch steht c in Reltion zu ), ist es eine prtielle Ordnung. 4

5 Aufge 4. Auf jeder der folgenden Mengen ist durch die Teilrkeitsreltion eine prtielle Ordnung gegeen. Zeichnen Sie die zugehörigen Hsse-Digrmme. () () {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} () {, 2, 3, 5, 7,, 3} (c) {, 2, 3, 6, 2, 24, 36, 48} (d) {, 2, 4, 8, 6, 32, 64} Lösung: () (c)

6 (d) Aufge 5. Zu den folgenden Hsse-Digrmmen sollen die zugehörigen prtiellen Ordnungen ls Mengen von geordneten Pren ngegeen werden. c d d e c d e f g c Lösung:. Linker Grph: R = {(, ), (, ), (, c), (, d), (, ), (, c), (, d), (c, c), (d, d)}. 2. Mittlerer Grph: R = {(, ), (, ), (, c), (, d), (, e), (, ), (, d), (, e), (c, c), (c, e), (d, d), (e, e)}. 3. Rechter Grph: R = {(, ), (, d), (, e), (, f), (, g), (, ), (, d), (, e), (, f), (, g), (c, c), (c, d), (c, e), (c, f), (c, g), (d, d), (e, e), (f, f), (g, d), (g, e), (g, f), (g, g)}. 6

7 Aufge 6. Auf der Menge {, 2, 3, 6, 8, 2, 24, 36} ist durch die Teilrkeitsreltion eine prtielle Ordnung gegeen. Finden Sie eine dzu komptile totle Ordnung. Lösung: Zunächst wird ds Hsse-Digrmm gezeichnet Topologisches Sortieren liefert eine totle Ordnung (von mehreren möglichen), zum Beispiel Aufge 7. Es sei A = N N und R A A, d.h. R sei eine Reltion uf der Menge der geordneten Pre von positiven gnzen Zhlen. Dei sei ((, ), (c, d)) R genu dnn, wenn d = c ist. Zeigen Sie, dß R eine Äquivlenzreltion ist. Welche Elemente sind in der Äquivlenzklsse [(, 2)] enthlten? Wie knn mn die Äquivlenzklssen von R interpretieren? Lösung: Ds Pr (, ) steht genu dnn in Reltion zu dem Pr (c, d), wenn d = c ist, (, ) R (c, d) d = c. Dmit eine Reltion eine Äquivlenzreltion ist, muß sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv sein.. Reflexivität Zu zeigen: Für lle Pre (, ) us A gilt (, ) R (, ). Es ist (, ) R (, ) =, und diese Gleichung gilt für elieige, N. 2. Symmetrie Zu zeigen: (, ) R (c, d) (c, d) R (, ) für elieige Pre (, ) und (c, d) us A. 7

8 Es gilt 3. Trnsitivität (, ) R (c, d) d = c c = d (c, d) R (, ). Zu zeigen: (, ) R (c, d) und (c, d) R (e, f) impliziert (, ) R (e, f) für elieige Pre (, ), (c, d) und (e, f) us A. Es gilt Durch Multipliktion folgt (, ) R (c, d) d = c, (c, d) R (e, f) cf = de. dcf = cde. Wird diese Gleichung durch dc geteilt, ergit sich f = e. Die Division ist zulässig, d dc 0 ist, weil d und c ntürliche Zhlen (lso ungleich Null) sind. Nun ist er f = e (, ) R (e, f), womit wir die Gültigkeit der Impliktion hergeleitet hen. Insgesmt hen wir dmit gezeigt, dß R eine Äquivlenzreltion ist. Die Äquivlenzklsse [(, 2)] esteht us llen Pren (, ), die in Reltion zu (, 2) stehen. Wegen (, 2) R (, ) = 2 2 = sind dies lle Pre, die Zähler und Nenner eines Bruches ilden, der gleich /2 ist. Die Äquivlenzklsse [(, 2)] ist lso { [(, 2)] = (, ), N und = } 2 = {(, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8),...}. Wie knn mn die Äquivlenzklssen von R llgemein interpretieren? D (x, y) R (, ) x = y x y = gilt, ist die von (x, y) erzeugte Äquivlenzklsse gleich der Menge ller Pre (, ), so dß die Brüche x/y und / den gleichen Wert hen, lso { [(x, y)] = (, ), N und = x }. y 8

9 Zu jeder positiven rtionlen Zhl r git es eine Äquivlenzklsse, in der lle Drstellungen von r (mit positivem Zähler und Nenner) enthlten sind. Die Drstellungen sind ls Pre geschrieen. Umgekehrt git es zu jeder Äquivlenzklsse eine entsprechende positive rtionle Zhl. D.h. es git eine ijektive Aildung zwischen der Menge der Äquivlenzklssen und der Menge der positiven rtionlen Zhlen so, dß [(, )] r r =. Definiert mn Rechenopertionen uf der Menge der Äquivlenzklssen, knn mn die rtionlen Zhlen konstruieren (Detils siehe Litertur). 9